In der Mathematik ist eine teilweise Differenzialgleichung (PDE) eine Differenzialgleichung, die unbekannte mehrvariable Funktionen und ihre partiellen Ableitungen enthält. PDEs werden verwendet, um Probleme zu formulieren, die Funktionen von mehreren Variablen einschließen, und werden entweder mit der Hand gelöst oder verwendet, um ein relevantes Computermodell zu schaffen.

PDEs kann verwendet werden, um ein großes Angebot an Phänomenen wie Ton, Hitze, Elektrostatik, Elektrodynamik, Flüssigkeitsströmung oder Elastizität zu beschreiben. Diese anscheinend verschiedenen physischen Phänomene können identisch in Bezug auf PDEs formalisiert werden, der zeigt, dass sie durch dasselbe geregelt werden, das dynamisch unterliegt. Ebenso gewöhnliche Differenzialgleichungen häufig dynamische eindimensionale Mustersysteme, teilweise Differenzialgleichungen häufig mehrdimensionale Mustersysteme. PDEs finden ihre Verallgemeinerung in stochastischen teilweisen Differenzialgleichungen.

Einführung

Eine teilweise Differenzialgleichung (PDE) für die Funktion ist eine Gleichung der Form

:

Wenn F eine geradlinige Funktion von u und seinen Ableitungen ist, dann wird der PDE geradlinig genannt. Allgemeine Beispiele von geradlinigem PDEs schließen die Hitzegleichung, die Wellengleichung und die Gleichung von Laplace ein.

Ein relativ einfacher PDE ist

:

Diese Beziehung deutet an, dass die Funktion u (x, y) von x unabhängig ist. Jedoch gibt die Gleichung keine Information über die Abhängigkeit der Funktion von der Variable y. Folglich ist die allgemeine Lösung dieser Gleichung

:

wo f eine willkürliche Funktion von y ist. Die analoge gewöhnliche Differenzialgleichung ist

:

der die Lösung hat

:

wo c jeder unveränderliche Wert ist. Diese zwei Beispiele illustrieren, dass allgemeine Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen (ODEN) willkürliche Konstanten einschließen, aber Lösungen von PDEs schließen willkürliche Funktionen ein. Eine Lösung eines PDE ist allgemein nicht einzigartig; zusätzliche Bedingungen müssen allgemein an der Grenze des Gebiets angegeben werden, wo die Lösung definiert wird. Zum Beispiel, im einfachen Beispiel oben, kann die Funktion f (y) bestimmt werden, wenn u auf der Linie x = 0 angegeben wird.

Existenz und Einzigartigkeit

Obwohl das Problem der Existenz und die Einzigartigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen eine sehr befriedigende Antwort mit dem Picard-Lindelöf Lehrsatz haben, der vom Fall für teilweise Differenzialgleichungen weit ist. Der Lehrsatz von Cauchy-Kowalevski stellt fest, dass das Problem von Cauchy für jede teilweise Differenzialgleichung, deren Koeffizienten in der unbekannten Funktion und seinen Ableitungen analytisch sind, eine lokal einzigartige analytische Lösung hat. Obwohl dieses Ergebnis scheinen könnte, die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen zu setzen, gibt es Beispiele von geradlinigen teilweisen Differenzialgleichungen, deren Koeffizienten Ableitungen aller Ordnungen haben (die dennoch nicht analytisch sind), aber die keine Lösungen überhaupt haben: Sieh Lewy (1957). Selbst wenn die Lösung einer teilweisen Differenzialgleichung besteht und einzigartig ist, kann sie dennoch unerwünschte Eigenschaften haben. Die mathematische Studie dieser Fragen ist gewöhnlich im stärkeren Zusammenhang von schwachen Lösungen.

Ein Beispiel des pathologischen Verhaltens ist die Folge von Problemen von Cauchy (abhängig von n) für die Gleichung von Laplace

:

mit Grenzbedingungen

::

wo n eine ganze Zahl ist. Die Ableitung von u in Bezug auf y nähert sich 0 gleichförmig in x als n Zunahmen, aber die Lösung ist

:

Diese Lösung nähert sich Unendlichkeit, wenn nx nicht eine von vielfache ganze Zahl ist

π für jeden Nichtnullwert von y. Das Cauchy Problem für die Gleichung von Laplace wird schlecht-aufgestellt oder nicht gut aufgestellt genannt, da die Lösung unaufhörlich auf die Daten des Problems nicht abhängt. Solche schlecht-aufgestellten Probleme sind für physische Anwendungen nicht gewöhnlich befriedigend.

Notation

In PDEs ist es üblich, partielle Ableitungen mit Subschriften anzuzeigen. Das ist:

::

Besonders in der Physik del wird () häufig für Raumableitungen, und für Zeitableitungen verwendet. Zum Beispiel kann die Wellengleichung (beschrieben unten) als geschrieben werden

: (Physik-Notation),

oder

: (Mathenotation),

wo Δ der Maschinenbediener von Laplace ist.

Beispiele

Hitzegleichung in einer Raumdimension

Die Gleichung für die Leitung der Hitze in einer Dimension für einen homogenen Körper hat die Form

:

wo u (t, x) Temperatur ist, und α eine positive Konstante ist, die die Diffusionsgeschwindigkeit beschreibt. Das Cauchy Problem für diese Gleichung besteht im Spezifizieren u (0, x) = f (x), wo f (x) eine willkürliche Funktion ist.

Allgemeine Lösungen der Hitzegleichung können durch die Methode der Trennung von Variablen gefunden werden. Einige Beispiele erscheinen im Hitzegleichungsartikel.

Sie sind Beispiele der Reihe von Fourier für periodischen f, und Fourier verwandelt sich für nichtperiodischen f. Das Verwenden vom Fourier verwandelt sich, ein

die allgemeine Lösung der Hitzegleichung hat die Form

:

wo F eine willkürliche Funktion ist. Um die anfängliche Bedingung zu befriedigen, wird F vom Fourier gegeben verwandeln sich f, der ist

:

Wenn f eine sehr kleine, aber intensive Quelle der Hitze vertritt, dann kann dem integrierten Vorangehen durch den Delta-Vertrieb näher gekommen werden, der mit der Kraft der Quelle multipliziert ist. Für eine Quelle, deren Kraft zu 1 normalisiert wird, ist das Ergebnis

:

und die resultierende Lösung der Hitzegleichung ist

:

Das ist integrierter Gaussian. Es kann bewertet werden, um zu erhalten

:

Dieses Ergebnis entspricht der normalen Wahrscheinlichkeitsdichte für x mit bösartigem 0 und Abweichung 2αt. Die Hitzegleichung und ähnlichen Verbreitungsgleichungen sind nützliche Werkzeuge, um zufällige Phänomene zu studieren.

Wellengleichung in einer Raumdimension

Die Wellengleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion u (t, x) von der Form

:

Hier könnte u die Versetzung einer gestreckten Schnur vom Gleichgewicht, oder den Unterschied im Luftdruck in einer Tube oder den Umfang eines elektromagnetischen Feldes in einer Tube beschreiben, und c ist eine Zahl, die der Geschwindigkeit der Welle entspricht. Das Cauchy Problem für diese Gleichung besteht im Vorschreiben der anfänglichen Versetzung und Geschwindigkeit einer Schnur oder anderen Mediums:

::

wo f und g willkürliche gegebene Funktionen sind. Die Lösung dieses Problems wird durch die Formel von d'Alembert gegeben:

:

Diese Formel deutet an, dass die Lösung an (t, x) nur auf die Daten auf dem Segment der anfänglichen Linie abhängt, die durch den Eigenschaft Kurven ausgeschnitten wird

:

das wird umgekehrt von diesem Punkt gezogen. Diese Kurven entsprechen Signalen, die sich mit der Geschwindigkeit c vorwärts und rückwärts fortpflanzen.

Umgekehrt pflanzt sich der Einfluss der Daten an jedem gegebenen Punkt auf der anfänglichen Linie mit der begrenzten Geschwindigkeit c fort: Es gibt keine Wirkung außerhalb eines Dreiecks durch diesen Punkt, dessen Seiten charakteristische Kurven sind. Dieses Verhalten

ist

von der Lösung für die Hitzegleichung sehr verschieden, wo die Wirkung einer Punkt-Quelle (mit dem kleinen Umfang) sofort an jedem Punkt im Raum erscheint. Die Lösung, die oben gegeben ist, ist auch gültig, wenn t negativ ist, und die ausführliche Formel zeigt, dass die Lösung glatt auf die Daten abhängt: Sowohl der nachschicken als auch die rückwärts gerichteten Probleme von Cauchy für die Wellengleichung werden gut aufgestellt.

Verallgemeinerte hitzeähnliche Gleichung in einer Raumdimension

Wo hitzeähnliche Gleichung Gleichungen der Form bedeutet:

:

wo ein Sturm-Liouville Maschinenbediener ist (Jedoch, sollte es bemerkt werden, dass dieser Maschinenbediener tatsächlich von der Form sein kann, wo w (x) die Gewichtungsfunktion ist, in Bezug auf die die eigenfunctions dessen orthogonal sind) in der X-Koordinate. Thema den Grenzbedingungen:

:

Dann:

Wenn:

:::::wo:

Kugelwellen

Kugelwellen sind Wellen, deren Umfang nur auf die radiale Entfernung r von einer Mittelpunkt-Quelle abhängt. Für solche Wellen nimmt die dreidimensionale Wellengleichung die Form an

:

Das ist zu gleichwertig

:

und folglich befriedigt die Menge ru die eindimensionale Wellengleichung. Deshalb hat eine allgemeine Lösung für Kugelwellen die Form

:

wo F und G völlig willkürliche Funktionen sind. Die Radiation von einer Antenne entspricht dem Fall, wo G identisch Null-ist. So hat die von einer Antenne übersandte Welle-Form keine Verzerrung rechtzeitig: Der einzige Verzerren-Faktor ist 1/r. Diese Eigenschaft der unverzerrten Fortpflanzung von Wellen ist nicht da, wenn es zwei Raumdimensionen gibt.

Gleichung von Laplace in zwei Dimensionen

Die Laplace Gleichung für eine unbekannte Funktion von zwei Variablen φ hat die Form

:

Lösungen der Gleichung von Laplace werden harmonische Funktionen genannt.

Verbindung mit Holomorphic-Funktionen

Lösungen der Gleichung von Laplace in zwei Dimensionen werden mit analytischen Funktionen einer komplizierten Variable (a.k.a. holomorphic Funktionen) vertraut verbunden: Die echten und imaginären Teile jeder analytischen Funktion sind verbundene harmonische Funktionen: Sie beide befriedigen die Gleichung von Laplace, und ihre Anstiege sind orthogonal. Wenn f=u+iv, dann setzen die Gleichungen von Cauchy-Riemann das fest

:

und hieraus folgt dass

:

Umgekehrt, in Anbetracht jeder harmonischen Funktion in zwei Dimensionen, ist es der echte Teil einer analytischen Funktion mindestens lokal. Details werden in der Gleichung von Laplace gegeben.

Ein typisches Grenzwertproblem

Ein typisches Problem für die Gleichung von Laplace ist, eine Lösung zu finden, die willkürliche Werte an der Grenze eines Gebiets befriedigt. Zum Beispiel können wir eine harmonische Funktion suchen, die die Werte u (θ) auf einem Kreis des Radius ein übernimmt. Die Lösung wurde von Poisson gegeben:

:

Petrovsky (1967, p. 248) zeigt, wie diese Formel durch das Summieren einer Reihe von Fourier für φ erhalten werden kann. Wenn r

Advektive Gleichung

Die advektive Gleichung beschreibt den Transport eines erhaltenen Skalars ψ in einem Geschwindigkeitsfeld. Es ist:

:

Wenn das Geschwindigkeitsfeld solenoidal ist (d. h.), dann kann die Gleichung zu vereinfacht werden

:

Im eindimensionalen Fall, wo u nicht unveränderlich ist und ψ gleich ist, wird die Gleichung die Gleichung des Burgers genannt.

Ginzburg-Landauer-Gleichung

Die Ginzburg-Landauer-Gleichung wird im Modellieren der Supraleitfähigkeit verwendet. Es ist

:

wo p, q  C und γ  R Konstanten sind und ich die imaginäre Einheit bin.

Die Dym Gleichung

Die Gleichung von Dym wird für Harry Dym genannt und kommt in der Studie von solitons vor. Es ist

:

Anfänglich-Grenzwertprobleme

Viele Probleme der mathematischen Physik werden als Anfänglich-Grenzwertprobleme formuliert.

Das Vibrieren der Schnur

Wenn die Schnur zwischen zwei Punkten gestreckt wird, wo x=0 und x=L und u den Umfang der Versetzung der Schnur anzeigen, dann befriedigt u die eindimensionale Wellengleichung im Gebiet wo 0

sowie die anfänglichen Bedingungen

:

Die Methode der Trennung von Variablen für die Wellengleichung

:

führt zu Lösungen der Form

:wo:

wo der unveränderliche k bestimmt werden muss. Die Grenzbedingungen deuten dann an, dass X ein Vielfache der Sünde kx ist, und k die Form haben muss

:

wo n eine ganze Zahl ist. Jeder Begriff in der Summe entspricht einer Weise des Vibrierens der Schnur. Die Weise mit n=1 wird die grundsätzliche Weise genannt, und die Frequenzen der anderen Weisen sind alle Vielfachen dieser Frequenz. Sie bilden die Oberton-Reihe der Schnur, und sie sind die Basis für die Musikakustik. Die anfänglichen Bedingungen können dann durch das Darstellen f und g als unendliche Summen dieser Weisen zufrieden sein.

Blasinstrumente entsprechen normalerweise Vibrationen einer Luftsäule mit einem Ende offen und einem geschlossenem Ende. Die entsprechenden Grenzbedingungen sind

:

Die Methode der Trennung von Variablen kann auch in diesem Fall angewandt werden, und es führt zu einer Reihe von sonderbaren Obertönen.

Das allgemeine Problem dieses Typs wird in der Sturm-Liouville Theorie behoben.

Das Vibrieren der Membran

Wenn eine Membran über eine Kurve C gestreckt wird, der die Grenze eines Gebiets D im Flugzeug bildet, werden seine Vibrationen durch die Wellengleichung geregelt

:

wenn t> 0 und (x, y) in D ist. Die Grenzbedingung ist u (t, x, y) = 0, wenn (x, y) auf C ist. Die Methode der Trennung von Variablen führt zur Form

:

der der Reihe nach befriedigen muss

: :

Die letzte Gleichung wird die Helmholtz Gleichung genannt. Der unveränderliche k muss beschlossen werden, einem nichttrivialen v zu erlauben, die Grenzbedingung auf C zu befriedigen. Solche Werte von k werden den eigenvalues von Laplacian in D genannt, und die verbundenen Lösungen sind der eigenfunctions von Laplacian in D. Die Sturm-Liouville Theorie kann zu diesem elliptischen eigenvalue Problem (Jost, 2002) erweitert werden.

Andere Beispiele

Die Gleichung von Schrödinger ist ein PDE am Herzen der nichtrelativistischen Quant-Mechanik. In der WKB Annäherung ist es die Gleichung von Hamilton-Jacobi.

Abgesehen von der Gleichung von Dym und der Ginzburg-Landauer-Gleichung sind die obengenannten Gleichungen im Sinn geradlinig, dass sie in der Form Au = f für einen gegebenen geradlinigen Maschinenbediener A und eine gegebene Funktion f geschrieben werden können. Andere wichtige nichtlineare Gleichungen schließen ein Navier-schürt Gleichungen, die den Fluss von Flüssigkeiten und die Feldgleichungen von Einstein der allgemeinen Relativität beschreiben.

Siehe auch die Liste von nichtlinearen teilweisen Differenzialgleichungen.

Klassifikation

Einige geradlinig zweite Ordnung können teilweise Differenzialgleichungen als parabolisch, hyperbolisch oder elliptisch klassifiziert werden. Andere wie die Euler-Tricomi Gleichung haben verschiedene Typen in verschiedenen Gebieten. Die Klassifikation stellt einem Führer zur Verfügung, um anfängliche und Grenzbedingungen, und zur Glätte der Lösungen zu verwenden.

Gleichungen der ersten Ordnung

Gleichungen der zweiten Ordnung

Wenn er

, die allgemeine zweite Ordnung annimmt, hat PDE in zwei unabhängigen Variablen die Form

:

wo die Koeffizienten A, B, C usw. von x und y abhängen können. Wenn über ein Gebiet des xy Flugzeugs der PDE zweite Ordnung in diesem Gebiet ist. Diese Form ist der Gleichung für eine konische Abteilung analog:

:

Genauer verwandelt sich das Ersetzen durch X, und ebenfalls für andere Variablen (formell wird das von einem Fourier getan), wandelt einen unveränderlichen Koeffizienten PDE in ein Polynom desselben Grads, mit dem Spitzengrad (ein homogenes Polynom, hier eine quadratische Form) um am bedeutendsten für die Klassifikation zu sein.

Da man konische Abteilungen und quadratische Formen in den parabolischen, das hyperbolische, und elliptisch gestützt auf dem discriminant klassifiziert, kann dasselbe für eine zweite Ordnung PDE an einem gegebenen Punkt getan werden. Jedoch wird der discriminant in einem PDE durch den erwarteten der Tagung des Xy-Begriffes gegeben 2B aber nicht B zu sein; formell ist der discriminant (der verbundenen quadratischen Form) mit dem Faktor von 4 fallen gelassenen für die Einfachheit.

1. : Hyperbelgleichungen behalten irgendwelche Diskontinuitäten von Funktionen oder Ableitungen in den anfänglichen Daten. Ein Beispiel ist die Wellengleichung. Der Bewegung einer Flüssigkeit mit Überschallgeschwindigkeiten kann mit hyperbolischem PDEs näher gekommen werden, und die Euler-Tricomi Gleichung ist wo x> 0 hyperbolisch.

Wenn es n unabhängige Variablen x, x..., x gibt, hat eine allgemeine geradlinige teilweise Differenzialgleichung der zweiten Ordnung die Form

:

Die Klassifikation hängt von der Unterschrift des eigenvalues der mitwirkenden Matrix ab.

1. Elliptisch: Die eigenvalues sind alle positiv oder die ganze Verneinung.
2. Parabolisch: Die eigenvalues sind alle positiv oder die ganze Verneinung, sparen diejenige, die Null ist.
3. Hyperbolisch: Es gibt nur einen negativen eigenvalue, und der ganze Rest sind positiv, oder es gibt nur einen positiven eigenvalue, und der ganze Rest sind negativ.
4. Ultrahyperbolisch: Es gibt mehr als einen positiven eigenvalue und mehr als einen negativen eigenvalue, und es gibt keine Null eigenvalues. Es gibt nur beschränkte Theorie für Ultrahyperbelgleichungen (Courant und Hilbert, 1962).

Systeme von Gleichungen der ersten Ordnung und charakteristischen Oberflächen

Die Klassifikation von teilweisen Differenzialgleichungen kann zu Systemen von Gleichungen der ersten Ordnung erweitert werden, wo der unbekannte u jetzt ein Vektor mit der M Bestandteile ist, und der Koeffizient matrices M durch die M matrices dafür ist. Die teilweise Differenzialgleichung nimmt die Form an

:

wo der Koeffizient matrices A und der Vektor B von x und u abhängen kann. Wenn eine Hyperoberfläche S in der impliziten Form gegeben wird

:

wo φ einen Nichtnullanstieg hat, dann ist S eine charakteristische Oberfläche für den Maschinenbediener L an einem gegebenen Punkt, wenn die charakteristische Form verschwindet:

:

Die geometrische Interpretation dieser Bedingung ist wie folgt: Wenn Daten für u auf der Oberfläche S vorgeschrieben werden, dann kann es möglich sein, die normale Ableitung von u auf S von der Differenzialgleichung zu bestimmen. Wenn die Daten auf S und der Differenzialgleichung die normale Ableitung von u auf S bestimmen, dann ist S nichtcharakteristisch. Wenn die Daten auf S und der Differenzialgleichung die normale Ableitung von u auf S nicht bestimmen, dann ist die Oberfläche charakteristisch, und die Differenzialgleichung schränkt die Daten auf S ein: Die Differenzialgleichung ist zu S inner.

1. Ein Systemlu=0 der ersten Ordnung ist elliptisch, wenn keine Oberfläche für L charakteristisch ist: Die Werte von u auf S und der Differenzialgleichung bestimmen immer die normale Ableitung von u auf S.
2. Ein System der ersten Ordnung ist an einem Punkt hyperbolisch, wenn es eine raumähnliche Oberfläche S mit normalem ξ an diesem Punkt gibt. Das bedeutet dass, in Anbetracht jedes nichttrivialen Vektoren η orthogonal zu ξ und einem Skalarvermehrer λ, die Gleichung

:

hat M echte Wurzeln λ, λ..., λ. Das System ist ausschließlich hyperbolisch, wenn diese Wurzeln immer verschieden sind. Die geometrische Interpretation dieser Bedingung ist wie folgt: Die charakteristische Form Q (ζ) = 0 definiert einen Kegel (der normale Kegel) mit homogenen Koordinaten ζ. Im Hyperbelfall hat dieser Kegel M Platten und die Achse ζ = λ ξ Läufe innerhalb dieser Platten: Es schneidet keinen von ihnen durch. Aber wenn versetzt, vom Ursprung durch η schneidet diese Achse jede Platte durch. Im elliptischen Fall hat der normale Kegel keine echten Platten.

Gleichungen des Mischtyps

Wenn ein PDE Koeffizienten hat, die nicht unveränderlich sind, ist es möglich, dass es keiner dieser Kategorien gehören wird, aber eher vom Mischtyp ist. Ein einfaches, aber wichtiges Beispiel ist die Euler-Tricomi Gleichung

:

der elliptisch-hyperbolisch genannt wird, weil es im Gebiet x elliptisch

ist

Unendliche Ordnung PDEs in der Quant-Mechanik

Weyl quantization im Phase-Raum führt zu Quant-Gleichungen von Hamilton für Schussbahnen von Quant-Partikeln. Jene Gleichungen sind unendliche Ordnung PDEs. Jedoch in der halbklassischen Vergrößerung hat man ein begrenztes System von ODEN an jeder festen Ordnung dessen. Die Gleichung der Evolution der Funktion von Wigner ist unendliche Ordnung PDE auch. Die Quant-Schussbahnen sind Quant-Eigenschaften mit dem Gebrauch, dessen die Evolution der Funktion von Wigner berechnen kann.

Analytische Methoden, PDEs zu lösen

Trennung von Variablen

In der Methode der Trennung von Variablen reduziert man einen PDE auf einen PDE in weniger Variablen, der eine ODE ist, wenn in einer Variable - diese der Reihe nach leichter sind zu lösen.

Das ist für einfache PDEs möglich, die trennbare teilweise Differenzialgleichungen genannt werden, und das Gebiet allgemein ein Rechteck (ein Produkt von Zwischenräumen) ist. Trennbare PDEs entsprechen Diagonalmatrizen - das Denken "an den Wert für festen x" als eine Koordinate, jede Koordinate kann getrennt verstanden werden.

Das verallgemeinert zur Methode von Eigenschaften, und wird auch im Integral verwendet verwandelt sich.

Methode von Eigenschaften

In speziellen Fällen kann man charakteristische Kurven finden, auf denen die Gleichung zu einer ODE abnimmt - erlauben sich ändernde Koordinaten im Gebiet, um diese Kurven gerade zu machen, Trennung von Variablen, und werden die Methode von Eigenschaften genannt.

Mehr allgemein kann man charakteristische Oberflächen finden.

Integriert verwandeln sich

Ein Integral verwandelt sich kann den PDE in einen einfacheren, insbesondere ein trennbarer PDE umgestalten. Das entspricht diagonalizing ein Maschinenbediener.

Ein wichtiges Beispiel davon ist Analyse von Fourier, der diagonalizes die Hitzegleichung mit dem eigenbasis von sinusförmigen Wellen.

Wenn das Gebiet begrenzt oder periodisch ist, ist eine unendliche Summe von Lösungen wie eine Reihe von Fourier passend, aber ein Integral von Lösungen wie ein integrierter Fourier ist allgemein für unendliche Gebiete erforderlich. Die Lösung für eine Punkt-Quelle für die Hitzegleichung, die oben gegeben ist, ist ein Beispiel für den Gebrauch eines integrierten Fouriers.

Änderung von Variablen

Häufig kann ein PDE auf eine einfachere Form mit einer bekannten Lösung durch eine passende Änderung von Variablen reduziert werden. Zum Beispiel der Schwarze-Scholes PDE

:ist

auf die Hitzegleichung reduzierbar

:

durch die Änderung von Variablen (für ganze Details sieh Lösung der Schwarzen Scholes Gleichung)

::::

Grundsätzliche Lösung

Gleichungen von Inhomogeneous können häufig (für den unveränderlichen Koeffizienten PDEs gelöst werden, immer gelöst werden) durch die Entdeckung der grundsätzlichen Lösung (die Lösung für eine Punkt-Quelle), dann die Einnahme der Gehirnwindung mit den Grenzbedingungen, die Lösung zu bekommen.

Das ist im Signal analog, das zum Verstehen eines Filters durch seine Impuls-Antwort in einer Prozession geht.

Überlagerungsgrundsatz

Weil jede Überlagerung von Lösungen eines geradlinigen, homogenen PDE wieder eine Lösung ist, können die besonderen Lösungen dann verbunden werden, um allgemeinere Lösungen zu erhalten.

Methoden für nichtlineare Gleichungen

:See auch die Liste von nichtlinearen teilweisen Differenzialgleichungen.

Es gibt keine allgemein anwendbaren Methoden, nichtlinearen PDEs zu lösen. Und doch, Existenz und Einzigartigkeitsergebnisse (wie der Lehrsatz von Cauchy-Kowalevski) sind häufig möglich, wie Beweise von wichtigen qualitativen und quantitativen Eigenschaften von Lösungen sind (das Bekommen dieser Ergebnisse ist ein Hauptteil der Analyse). Die rechenbetonte Lösung des nichtlinearen PDEs, der Methode des Spalt-Schritts, besteht für spezifische Gleichungen wie nichtlineare Gleichung von Schrödinger.

Dennoch können einige Techniken für mehrere Typen von Gleichungen verwendet werden. Der H-Grundsatz ist die stärkste Methode, underdetermined Gleichungen zu lösen. Die Theorie von Riquier-Janet ist eine wirksame Methode, um Information über viele analytische überentschlossene Systeme zu erhalten.

Die Methode von Eigenschaften (Ähnlichkeitstransformationsmethode) kann in einigen ganz besonderen Fällen verwendet werden, um teilweise Differenzialgleichungen zu lösen.

In einigen Fällen kann ein PDE über die Unruhe-Analyse gelöst werden, in der, wie man betrachtet, die Lösung eine Korrektur zu einer Gleichung mit einer bekannten Lösung ist. Alternativen sind numerische Analyse-Techniken von einfachen begrenzten Unterschied-Schemas bis den reiferen Mehrbratrost und begrenzten Element-Methoden. Viele interessante Probleme in der Wissenschaft und Technik werden auf diese Weise mit Computern, manchmal hohen Leistungssupercomputern behoben.

Lügen Sie Gruppenmethode

Von 1870 hat Sophus Lüge-Arbeit die Theorie von Differenzialgleichungen gestellt

auf einem befriedigenderen Fundament. Er hat dass die Integration gezeigt

Theorien der älteren Mathematiker, können durch die Einführung dessen, was jetzt genannt wird, Liegen Gruppen, zu einer allgemeinen Quelle verwiesen werden; und das

gewöhnliche Differenzialgleichungen, die dieselben unendlich kleinen Transformationen zulassen, präsentieren vergleichbare Schwierigkeiten der Integration. Er

auch betont das Thema von Transformationen des Kontakts.

Eine allgemeine Annäherung, um den Gebrauch von PDE das Symmetrie-Eigentum von Differenzialgleichungen, die dauernden unendlich kleinen Transformationen von Lösungen von Lösungen zu lösen (Liegen Theorie). Dauernde Gruppentheorie, Lügen Sie Algebra und Differenzialgeometrie werden verwendet, um die Struktur von geradlinigen und nichtlinearen teilweisen Differenzialgleichungen zu verstehen, um integrable Gleichungen zu erzeugen, seine Lockeren Paare, recursion Maschinenbediener zu finden, Bäcklund verwandeln sich und schließlich Entdeckung genauer analytischer Lösungen des PDE.

Wie man

anerkannt hat, haben Symmetrie-Methoden Differenzialgleichungen studiert, die in Mathematik, Physik, Technik und vielen anderen Disziplinen entstehen.

Halbanalytische Methode

Das adomian Zerlegungserfahren der Lyapunov sind künstliche kleine Parameter-Methode und Er homotopy Unruhe-Methode sind alle speziellen Fälle der allgemeineren homotopy Analyse-Methode. Es gibt Reihenentwicklungsmethode, aber dort sind von kleinen physischen Rahmen im Vergleich zu dich der weithin bekannten Unruhe-Theorie unabhängig.

Numerische Methoden, PDEs zu lösen

Die drei am weitesten verwendeten numerischen Methoden, PDEs zu lösen, sind die begrenzte Element-Methode (FEM), begrenzten Volumen-Methoden (FVM) und begrenzten Unterschied-Methoden (FDM). Der FEM hat eine prominente Position unter diesen Methoden und besonders seiner außergewöhnlich effizienten höherwertigen Version hp-FEM. Andere Versionen von FEM schließen ein

die verallgemeinerte begrenzte Element-Methode (GFEM), erweiterte begrenzte Element-Methode (XFEM), geisterhafte begrenzte Element-Methode (SFEM), meshfree begrenzte Element-Methode, diskontinuierliche Galerkin begrenzte Element-Methode (DGFEM), usw.

Begrenzte Element-Methode

Die begrenzte Element-Methode (FEM) (seine praktische Anwendung, die häufig als begrenzte Element-Analyse (FEA) bekannt ist), ist eine numerische Technik, um ungefähre Lösungen von teilweisen Differenzialgleichungen (PDE) sowie von Integralgleichungen zu finden. Die Lösungsannäherung basiert irgendein auf dem Beseitigen der Differenzialgleichung völlig (unveränderliche Zustandprobleme), oder Übergabe des PDE in ein näher kommendes System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen, die dann mit Standardtechniken wie die Methode von Euler, Runge-Kutta usw. numerisch integriert werden.

Begrenzte Unterschied-Methode

Methoden des begrenzten Unterschieds sind numerische Methoden, für den Lösungen von Differenzialgleichungen mit begrenzten Unterschied-Gleichungen näher zu kommen, um Ableitungen näher zu kommen.

Begrenzte Volumen-Methode

Ähnlich der begrenzten Unterschied-Methode oder begrenzten Element-Methode werden Werte an getrennten Plätzen auf einer netzartigen Geometrie berechnet. "Begrenztes Volumen" bezieht sich auf das kleine Volumen, das jeden Knotenpunkt auf einem Ineinandergreifen umgibt. In der begrenzten Volumen-Methode werden Volumen-Integrale in einer teilweisen Differenzialgleichung, die einen Abschweifungsbegriff enthalten, zu Oberflächenintegralen mit dem Abschweifungslehrsatz umgewandelt. Diese Begriffe werden dann als Flüsse an den Oberflächen jedes begrenzten Volumens bewertet. Weil der Fluss, der in ein gegebenes Volumen eingeht, zu diesem Verlassen des angrenzenden Volumens identisch ist, sind diese Methoden konservativ.

Siehe auch

• Grenzwertproblem
• Unterschied-Gleichung
• Laplace verwandeln sich angewandt auf Differenzialgleichungen
• Liste von dynamischen Systemen und Differenzialgleichungsthemen
• Matrixdifferenzialgleichung
• Gewöhnliche Differenzialgleichung
• Trennung von Variablen
• Stochastische teilweise Differenzialgleichungen
• Numerische teilweise Differenzialgleichungen
• Stochastische Prozesse und Grenze schätzen Probleme
• Grenzbedingung von Dirichlet
• Grenzbedingung von Neumann
• Rotkehlchen-Grenzbedingung
• Wellen

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Außenverbindungen

• Teilweise Differenzialgleichungen: Genaue Lösungen an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Teilweise Differenzialgleichungen: Index an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Teilweise Differenzialgleichungen: Methoden an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Beispiel-Probleme mit Lösungen an exampleproblems.com
• Teilweise Differenzialgleichungen an mathworld.wolfram.com
• Dispersive PDE Wiki
• NEQwiki, die nichtlineare Gleichungsenzyklopädie