In der Mathematik ist eine partielle Ableitung einer Funktion von mehreren Variablen seine Ableitung in Bezug auf eine jener Variablen mit festgehaltenen anderen (im Vergleich mit der Gesamtableitung, in der allen Variablen erlaubt wird sich zu ändern). Partielle Ableitungen werden in der Vektor-Rechnung und Differenzialgeometrie verwendet.

Die partielle Ableitung einer Funktion f in Bezug auf die Variable x wird durch verschiedenartig angezeigt

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Das Symbol der partiellen Ableitung ist . Die Notation wurde von Adrien-Marie Legendre eingeführt und hat allgemeine Annahme nach seiner Wiedereinführung durch Carl Gustav Jacob Jacobi gewonnen.

Einführung

Nehmen Sie an, dass ƒ eine Funktion von mehr als einer Variable ist. Zum Beispiel,

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Der Graph dieser Funktion definiert eine Oberfläche im Euklidischen Raum. Zu jedem Punkt auf dieser Oberfläche gibt es eine unendliche Zahl von Tangente-Linien. Teilweise Unterscheidung ist die Tat, eine dieser Linien zu wählen und seinen Hang zu finden. Gewöhnlich sind die Linien vom grössten Teil des Interesses diejenigen, die zum xz-plane parallel sind und diejenigen, die zum yz-plane parallel sind.

Den Hang der Linientangente zur Funktion daran zu finden, ist zum xz-plane parallel, die y Variable wird als unveränderlich behandelt. Der Graph und dieses Flugzeug werden rechts gezeigt. Auf dem Graphen darunter sehen wir die Weise, wie die Funktion das Flugzeug betrachtet. Durch die Entdeckung der Ableitung der Gleichung, während er annimmt, dass y eine Konstante, ist, wie man findet, ist der Hang von ƒ am Punkt:

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So an, durch den Ersatz, ist der Hang 3. Deshalb

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am Punkt.. D. h. die partielle Ableitung von z in Bezug auf x daran ist 3.

Definition

Grundlegende Definition

Die Funktion f kann als eine Familie von Funktionen einer durch die anderen Variablen mit einem Inhaltsverzeichnis versehener Variable wiederinterpretiert werden:

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Mit anderen Worten definiert jeder Wert von x eine Funktion, hat f angezeigt, der eine Funktion einer Variable ist. Das, ist

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Sobald ein Wert von x, sagen wir a, dann f gewählt wird (x, y) bestimmt eine Funktion f, der y an + ja + y sendet:

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In diesem Ausdruck, einer Konstante, nicht einer Variable zu sein, so ist f eine Funktion von nur einer echter Variable, dieser, y seiend. Folglich gilt die Definition der Ableitung für eine Funktion einer Variable:

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Das obengenannte Verfahren kann für jede Wahl von a durchgeführt werden. Die Versammlung der Ableitungen zusammen in eine Funktion gibt eine Funktion, die die Schwankung von f in der y Richtung beschreibt:

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Das ist die partielle Ableitung von f in Bezug auf y. Hier ist  ein rund gemachter d genannt das Symbol der partiellen Ableitung. Um es aus dem Brief d zu unterscheiden, wird  manchmal "del" oder "teilweise" statt "dee" ausgesprochen.

Im Allgemeinen wird die partielle Ableitung einer Funktion f (x..., x) in der Richtung x am Punkt (a..., a) definiert, um zu sein:

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Im obengenannten Unterschied-Quotienten werden alle Variablen außer x fest gehalten. Diese Wahl von festen Werten bestimmt eine Funktion einer Variable, und definitionsgemäß,

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Mit anderen Worten, die verschiedenen Wahlen eines Index eine Familie von Ein-Variable-Funktionen ebenso im Beispiel oben. Dieser Ausdruck zeigt auch, dass die Berechnung von partiellen Ableitungen zur Berechnung von Ein-Variable-Ableitungen abnimmt.

Ein wichtiges Beispiel einer Funktion von mehreren Variablen ist von einer skalargeschätzten Funktion f (x... x) auf einem Gebiet im Euklidischen Raum R (z.B, auf R oder R) der Fall. In diesem Fall hat f eine partielle Ableitung f /  x in Bezug auf jede Variable x. Am Punkt a definieren diese partiellen Ableitungen den Vektoren

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Dieser Vektor wird den Anstieg von f an a genannt. Wenn f differentiable an jedem Punkt in einem Gebiet ist, dann ist der Anstieg eine Vektor-geschätzte Funktion f, der den Punkt zum Vektoren f (a) nimmt. Folglich erzeugt der Anstieg ein Vektorfeld.

Ein allgemeiner Missbrauch der Notation soll den del Maschinenbediener () wie folgt im dreidimensionalen Euklidischen Raum R mit Einheitsvektoren definieren:

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Oder, mehr allgemein, für den n-dimensional Euklidischen Raum R mit Koordinaten (x, x, x..., x) und Einheitsvektoren :

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Formelle Definition

Wie gewöhnliche Ableitungen wird die partielle Ableitung als eine Grenze definiert. Lassen Sie U eine offene Teilmenge von R und f sein: U  R eine Funktion. Die partielle Ableitung von f am Punkt = (a..., a)  U in Bezug auf die i-th Variable definiert als zu sein

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\lim_ {h \rightarrow 0} {\

f (a_1, \dots, a_ {i-1}, a_i+h, a_ {i+1}, \dots, a_n) -

f (a_1, \dots, a_i, \dots, a_n) \over h }\

</Mathematik>

Selbst wenn alle partiellen Ableitungen f /  (a) an einem gegebenen Punkt a bestehen, braucht die Funktion nicht dort dauernd zu sein. Jedoch, wenn alle partiellen Ableitungen in einer Nachbarschaft von a bestehen und dort dauernd sind, dann ist f völlig differentiable in dieser Nachbarschaft, und die Gesamtableitung ist dauernd. In diesem Fall wird es gesagt, dass f eine C-Funktion ist. Das kann verwendet werden, um für geschätzte Funktionen des Vektoren zu verallgemeinern (f: U  R') durch das sorgfältige Verwenden eines componentwise Arguments.

Die partielle Ableitung kann als eine andere Funktion gesehen werden, die auf U definiert ist, und kann wieder teilweise unterschieden werden. Wenn alle zweiten partiellen Mischordnungsableitungen an einem Punkt (oder auf einem Satz) dauernd sind, wird f eine C-Funktion an diesem Punkt (oder auf diesem Satz) genannt; in diesem Fall können die partiellen Ableitungen durch den Lehrsatz von Clairaut ausgetauscht werden:

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Beispiele

Der Band V eines Kegels hängt von der Höhe des Kegels h und seinem Radius r gemäß der Formel ab

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Die partielle Ableitung V in Bezug auf r ist

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der die Rate vertritt, mit der sich ein Volumen eines Kegels ändert, wenn sein Radius geändert wird und seine Höhe unveränderlich behalten wird. Die partielle Ableitung in Bezug auf h ist

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der die Rate vertritt, mit der sich das Volumen ändert, wenn seine Höhe geändert wird und sein Radius unveränderlich behalten wird.

Im Vergleich ist die Gesamtableitung V in Bezug auf r und h beziehungsweise

:und:

Der Unterschied zwischen der ganzen und partiellen Ableitung ist die Beseitigung von indirekten Abhängigkeiten zwischen Variablen in partiellen Ableitungen.

Wenn (aus einem willkürlichen Grund) die Verhältnisse des Kegels dasselbe bleiben müssen, und die Höhe und der Radius in einem festen Verhältnis k, sind

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Das gibt die Gesamtableitung in Bezug auf r:

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Der vereinfacht zu:

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Ähnlich ist die Gesamtableitung in Bezug auf h:

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Gleichungen, die partielle Ableitungen einer unbekannten Funktion einschließen, werden teilweise Differenzialgleichungen genannt und sind in Physik, Technik, und anderen Wissenschaften und angewandten Disziplinen üblich.

Notation

Für die folgenden Beispiele, lassen Sie f eine Funktion in x, y und z sein.

Partielle Ableitungen der ersten Ordnung:

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Partielle Ableitungen der zweiten Ordnung:

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Zweite Ordnung hat Ableitungen gemischt:

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Höherwertige teilweise und Mischableitungen:

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Wenn, sich mit Funktionen von vielfachen Variablen befassend, einige dieser Variablen mit einander verbunden sein können, und es notwendig sein kann, ausführlich anzugeben, welche Variablen festgehalten werden. In Feldern wie statistische Mechanik wird die partielle Ableitung von f in Bezug auf x, y und z Konstante haltend, häufig als ausgedrückt

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Antiabgeleitete Entsprechung

Es gibt ein Konzept für partielle Ableitungen, das Antiableitungen für regelmäßige Ableitungen analog ist. In Anbetracht einer partiellen Ableitung berücksichtigt es die teilweise Wiederherstellung der ursprünglichen Funktion.

Denken Sie das Beispiel dessen. Das "teilweise" Integral kann in Bezug auf x genommen werden (y als unveränderlich, auf eine ähnliche Weise zur teilweisen Abstammung behandelnd):

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Hier ist die "Konstante" der Integration nicht mehr eine Konstante, aber stattdessen eine Funktion aller Variablen der ursprünglichen Funktion außer x. Der Grund dafür besteht darin, dass alle anderen Variablen als unveränderlich behandelt werden, wenn man die partielle Ableitung nimmt, so wird jede Funktion, die nicht einschließt, verschwinden, wenn sie die partielle Ableitung nehmen wird, und wir dafür verantwortlich sein müssen, wenn wir die Antiableitung nehmen. Die allgemeinste Weise, das zu vertreten, ist, die "Konstante" zu haben, vertreten eine unbekannte Funktion aller anderen Variablen.

So vertritt der Satz von Funktionen, wo g Funktion des irgendwelchen-Arguments ist, den kompletten Satz von Funktionen in Variablen x, y, der die x-partielle-Ableitung 2x+y erzeugt haben könnte.

Wenn alle partiellen Ableitungen einer Funktion bekannt sind (zum Beispiel, mit dem Anstieg), dann können die Antiableitungen über den oben erwähnten Prozess verglichen werden, um die ursprüngliche Funktion bis zu einer Konstante wieder aufzubauen.

Siehe auch

• Maschinenbediener von d'Alembertian
• Kettenregel
• Locke (Mathematik)
• Richtungsableitung
• Abschweifung
• Außenableitung
• Anstieg
• Matrix von Jacobian und Determinante
• Laplacian
• Symmetrie der zweiten Ableitungen
• Dreifache Produktregel, auch bekannt als die zyklische Kettenregel.

Referenzen

Links

• Partielle Ableitungen an MathWorld