Der kleine Lehrsatz von Fermat (so genannt, um es vom letzten Lehrsatz von Fermat zu unterscheiden), stellt das fest, wenn p eine Primzahl, dann für eine ganze Zahl a, ein  ein Wille ist, durch p gleichmäßig teilbar sein. Das kann in der Notation der Modularithmetik wie folgt ausgedrückt werden:

Eine Variante dieses Lehrsatzes wird in der folgenden Form festgesetzt: Wenn p eine Blüte ist und einer ganzen Zahl coprime zu p zu sein, dann wird ein  1 durch p gleichmäßig teilbar sein. In der Notation der Modularithmetik:

Der kleine Lehrsatz von Fermat ist die Basis für den Fermat primality Test. Der Lehrsatz wird nach Pierre de Fermat genannt.

Geschichte

Pierre de Fermat hat zuerst festgestellt, dass der Lehrsatz in einem Brief am 18. Oktober 1640, seinem Freund und Vertrautem Frénicle de Bessy als der folgende datiert hat: P teilt einen  1, wann auch immer p erst ist und coprime zu p zu sein.

Wie gewöhnlich hat Fermat seine Behauptung nicht bewiesen, nur festsetzend:

Euler hat zuerst einen Beweis 1736 in einer Zeitung betitelt "Anzeige von Theorematum Quorundam Numeros Primos Spectantium Demonstratio" veröffentlicht, aber Leibniz hat eigentlich denselben Beweis in einem unveröffentlichten Manuskript von einmal vor 1683 verlassen.

Der Begriff "der Kleine Lehrsatz von Fermat" wurde zuerst 1913 in Zahlentheorie von Kurt Hensel gebraucht:

Es wurde zuerst in Englisch in einem Artikel von Irving Kaplansky, "die Tests von Lucas auf Mersenne Zahlen," Amerikaner Mathematisch Monatlich, 52 (Apr 1945) verwendet.

Weitere Geschichte

Einige Mathematiker haben unabhängig die zusammenhängende Hypothese gemacht (manchmal falsch hat die chinesische Hypothese genannt), dass p eine Blüte wenn und nur wenn ist. Das ist ein spezieller Fall des kleinen Lehrsatzes von Fermat. Jedoch, "wenn" ein Teil dieser Hypothese falsch ist: Zum Beispiel, aber 341 = 11 × 31 ist eine Pseudoblüte. Sieh unten.

Beweise

Fermat hat seinen Lehrsatz ohne einen Beweis gegeben. Der erste, der einen Beweis gegeben hat, war Gottfried Leibniz in einem Manuskript ohne ein Datum, wo er auch geschrieben hat, dass er einen Beweis vor 1683 gewusst hat.

Generalisationen

Eine geringe Generalisation des Lehrsatzes, der daraus sofort folgt, ist: Wenn p erst ist und M und n positive solche ganze Zahlen dass sind

: dann.

Das folgt, wie M von der Form, so ist.

In dieser Form wird der Lehrsatz verwendet, um die RSA öffentliche Schlüsselverschlüsselungsmethode zu rechtfertigen.

Der kleine Lehrsatz von Fermat wird durch den Lehrsatz von Euler verallgemeinert: Für jedes Modul n und jede ganze Zahl ein coprime zu n haben wir

wo φ (n) die Totient-Funktion von Euler anzeigt, die ganzen Zahlen zwischen 1 und n aufzählend, die coprime zu n sind. Das ist tatsächlich eine Generalisation, weil, wenn n = p eine Primzahl, dann φ (p) = p  1 ist.

Das kann weiter zum Lehrsatz von Carmichael verallgemeinert werden.

Der Lehrsatz hat auch eine nette Generalisation in begrenzten Feldern.

Pseudoblüte

Wenn a und p coprime solche Zahlen sind, dass ein  1 durch p teilbar ist, dann braucht p nicht erst zu sein. Wenn es nicht ist, dann wird p eine Pseudoblüte genannt, um a zu stützen. F. Sarrus 1820 hat 341 = 11 × 31 als eine der ersten Pseudoblüte gefunden, um 2 zu stützen.

Eine Nummer p, die eine Pseudoblüte ist, um für jede Zahl einen coprime zu p zu stützen, wird eine Zahl von Carmichael (z.B 561) genannt. Abwechselnd, jede Zahl, die die Gleichheit befriedigt

ist entweder eine Hauptzahl oder Zahl von Carmichael.

Gegenteilig

Der gegenteilige vom kleinen Lehrsatz von Fermat ist nicht allgemein wahr, weil er für Zahlen von Carmichael scheitert. Jedoch ist eine ein bisschen stärkere Form des Lehrsatzes wahr, und ist als der Lehrsatz von Lehmer bekannt. Der Lehrsatz ist wie folgt:

Wenn dort ein solcher dass besteht

und für den ganzen ersten q, der sich p-1 teilt

dann ist p erst.

Dieser Lehrsatz bildet die Basis für den Test von Lucas-Lehmer, einen wichtigen Primality-Test.

Siehe auch

• Bruchteile mit ersten Nenner-Zahlen mit dem Verhalten in Zusammenhang mit dem kleinen Lehrsatz von Fermat
• RSA
• P-Abstammung
• Endomorphismus von Frobenius

Zeichen

• Paulo Ribenboim (1995). Das Neue Buch von Primzahl-Aufzeichnungen (3. Hrsg.). New York: Springer-Verlag. Internationale Standardbuchnummer 0-387-94457-5. Seiten 22-25, 49.
• János Bolyai und die Pseudoblüte (in Ungarisch)

Links

• Der kleine Lehrsatz von Fermat an der Knoten-Kürzung
• Euler Funktion und Lehrsatz an der Knoten-Kürzung
• Der kleine Lehrsatz von Fermat und der Beweis von Sophie
• Text und Übersetzung des Briefs von Fermat an Frenicle