In der Mathematik ist die Euklidische Entfernung oder Euklidisch metrisch die "gewöhnliche" Entfernung zwischen zwei Punkten, dass man mit einem Lineal messen würde, und durch die Pythagoreische Formel gegeben wird. Durch das Verwenden dieser Formel als Entfernung werden Euklidischer Raum (oder sogar jeder Skalarprodukt-Raum) ein metrischer Raum. Die verbundene Norm wird die Euklidische Norm genannt. Ältere Literatur kennzeichnet das metrische als metrischer Pythagoreer.

Definition

Die Euklidische Entfernung zwischen Punkten p und q ist die Länge des Liniensegmentes, das sie verbindet.

In Kartesianischen Koordinaten, wenn p = (p, p..., p) und q = (q, q..., q) zwei Punkte im Euklidischen N-Raum sind, dann wird durch die Entfernung von p bis q, oder von q bis p gegeben:

Die Position eines Punkts in einem Euklidischen N-Raum ist ein Euklidischer Vektor. Also, p und q sind Euklidische Vektoren, vom Ursprung des Raums anfangend, und ihre Tipps zeigen zwei Punkte an. Die Euklidische Norm, oder die Euklidische Länge oder der Umfang eines Vektoren messen die Länge des Vektoren:

wo die letzte Gleichung das Punktprodukt einschließt.

Ein Vektor kann als ein geleitetes Liniensegment vom Ursprung des Euklidischen Raums (Vektor-Schwanz), zu einem Punkt in diesem Raum (Vektor-Tipp) beschrieben werden. Wenn wir denken, dass seine Länge wirklich die Entfernung von seinem Schwanz bis seinen Tipp ist, wird es klar, dass die Euklidische Norm eines Vektoren gerade ein spezieller Fall der Euklidischen Entfernung ist: die Euklidische Entfernung zwischen seinem Schwanz und seinem Tipp.

Die Entfernung zwischen Punkten p und q kann eine Richtung haben (z.B von p bis q), so kann es durch einen anderen Vektoren vertreten werden, der durch gegeben ist

In einem dreidimensionalen Raum (n=3) ist das ein Pfeil von p bis q, der auch als die Position von q hinsichtlich p betrachtet werden kann. Es kann auch einen Versetzungsvektoren genannt werden, wenn p und q zwei Positionen desselben Punkts in zwei aufeinander folgenden Momenten der Zeit vertreten.

Die Euklidische Entfernung zwischen p und q ist gerade die Euklidische Länge dieser Entfernung (oder Versetzung) Vektor:

der zur Gleichung 1 gleichwertig ist, und auch zu:

Eine Dimension

In einer Dimension ist die Entfernung zwischen zwei Punkten auf der echten Linie der absolute Wert ihres numerischen Unterschieds. So, wenn x und y zwei Punkte auf der echten Linie sind, dann wird durch die Entfernung zwischen ihnen gegeben:

In einer Dimension gibt es eine Single homogen, Übersetzung-invariant metrisch (mit anderen Worten, eine Entfernung, die durch eine Norm veranlasst wird), bis zu einem Einteilungsfaktor der Länge, die die Euklidische Entfernung ist. In höheren Dimensionen gibt es andere mögliche Normen.

Zwei Dimensionen

Im Euklidischen Flugzeug, wenn p = (p, p) und q = (q, q) dann die Entfernung durch gegeben wird

Das ist zum Pythagoreischen Lehrsatz gleichwertig.

Wechselweise folgt es , dass, wenn die Polarkoordinaten des Punkts p (r, θ) sind und diejenigen von q sind (r, θ), dann ist die Entfernung zwischen den Punkten

Drei Dimensionen

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum ist die Entfernung

N Dimensionen

Im Allgemeinen, für einen n-dimensional Raum, ist die Entfernung

Karierte euklidische Entfernung

Die Euklidische Standardentfernung kann quadratisch gemacht werden, um progressiv größeres Gewicht auf Gegenständen zu legen, die weiter einzeln sind. In diesem Fall wird die Gleichung

Karierte Euklidische Entfernung ist nicht ein metrischer, weil sie die Dreieck-Ungleichheit nicht befriedigt, jedoch wird sie oft in Optimierungsproblemen verwendet, in denen Entfernungen nur verglichen werden müssen.

Es wird auch quadrance innerhalb des Feldes der vernünftigen Trigonometrie genannt.

Siehe auch

• Entfernung von Mahalanobis normalisiert gestützt auf einer Kovarianz-Matrix, um die Entfernung metrische Skala-invariant zu machen.
• Entfernung von Manhattan misst Entfernung im Anschluss an nur Achse-ausgerichtete Richtungen.
• Entfernungsmaßnahme-Entfernung von Tschebyscheff, die nur die bedeutendste Dimension annimmt, ist wichtig.
• Entfernung von Minkowski ist eine Generalisation, die Euklidische Entfernung, Entfernung von Manhattan und Entfernung von Tschebyscheff vereinigt.
• Metrischer
• Pythagoreische Hinzufügung
• Elena Deza & Michel Marie Deza (2009) Enzyklopädie von Entfernungen, Seite 94, Springer.
• http://www.statsoft.com/textbook/cluster-analysis/, am 2. März 2011