In der Topologie ist ein getrennter Raum ein besonders einfaches Beispiel einer topologischen ähnlichen oder Raumstruktur, derjenigen, in der die Punkte von einander im gewissen Sinne "isoliert" werden.

Definitionen

In Anbetracht eines Satzes X:

• die getrennte Topologie auf X wird definiert, indem sie jede Teilmenge X offen sein lässt (und folglich auch geschlossen), und X ist ein getrennter topologischer Raum, wenn es mit seiner getrennten Topologie ausgestattet wird;
• die getrennte Gleichförmigkeit auf X wird durch das Lassen jeder Obermenge der Diagonale {(x, x) definiert: X ist in X\in X × X, eine Umgebung sein, und X ist ein getrennter gleichförmiger Raum, wenn er mit seiner getrennten Gleichförmigkeit ausgestattet wird.
• das getrennte metrische auf X wird durch definiert

:

\left\{\\beginnen {Matrix}

1 &\\mbox {wenn }\\x\neq y, \\

0 &\\mbox {wenn }\\x = y

\end {Matrix-}\\Recht.

</Mathematik>

für irgendwelchen. In diesem Fall wird einen getrennten metrischen Raum oder einen Raum von isolierten Punkten genannt.

• ein Satz S ist in einem metrischen Raum weil getrennt, wenn für jeden, dort einige (je nachdem) solch das für alle besteht; solch ein Satz besteht aus isolierten Punkten. Ein Satz S ist im metrischen Raum weil gleichförmig getrennt, wenn dort ε> 0 solches das für irgendwelche zwei verschieden,> ε besteht.

Wie man

sagt, ist ein metrischer Raum gleichförmig getrennt, wenn dort solch besteht, dass, für irgendwelchen, man hat entweder oder. Die Topologie, die einem metrischen Raum unterliegt, kann ohne das metrische gleichförmig getrennte Wesen getrennt sein: zum Beispiel das übliche metrische auf dem Satz {1, 1/2, 1/4, 1/8...} reeller Zahlen.

Eigenschaften

Die zu Grunde liegende Gleichförmigkeit auf einem getrennten metrischen Raum ist die getrennte Gleichförmigkeit, und die zu Grunde liegende Topologie auf einem getrennten gleichförmigen Raum ist die getrennte Topologie.

So sind die verschiedenen Begriffe des getrennten Raums miteinander vereinbar.

Andererseits kann die zu Grunde liegende Topologie eines nichtgetrennten gleichförmigen oder metrischen Raums getrennt sein; ein Beispiel ist der metrische Raum X: = {1/n: n = 1,2,3...} (mit dem metrischen, der von der echten Linie geerbt ist und durch d (x, y) = |x &minus gegeben ist; y).

Offensichtlich ist das nicht das getrennte metrische; auch ist dieser Raum nicht abgeschlossen und folglich als ein gleichförmiger Raum nicht getrennt.

Dennoch ist es als ein topologischer Raum getrennt.

Wir sagen, dass X topologisch getrennt, aber nicht gleichförmig getrennt oder metrisch getrennt ist.

Zusätzlich:

• Die topologische Dimension eines getrennten Raums ist 0 gleich.
• Ein topologischer Raum ist getrennt, wenn, und nur wenn sein Singleton offen ist, der der Fall ist, wenn, und nur wenn er keine Anhäufungspunkte enthält.
• Der Singleton bildet eine Basis für die getrennte Topologie.
• Ein gleichförmiger Raum X ist wenn und nur wenn die Diagonale {(x, x) getrennt: X ist darin X\ist eine Umgebung.
• Jeder getrennte topologische Raum befriedigt jedes der Trennungsaxiome; insbesondere jeder getrennte Raum ist Hausdorff, d. h. getrennt.
• Ein getrennter Raum ist kompakt, wenn, und nur wenn es begrenzt ist.
• Jeder getrennte gleichförmige oder metrische Raum ist abgeschlossen.
• Die obengenannten zwei Tatsachen verbindend, wird jeder getrennte gleichförmige oder metrische Raum völlig begrenzt, wenn, und nur wenn es begrenzt ist.
• Jeder getrennte metrische Raum wird begrenzt.
• Jeder getrennte Raum ist erst-zählbar; es ist außerdem zweit-zählbar, wenn, und nur wenn es zählbar ist.
• Jeder getrennte Raum mit mindestens zwei Punkten wird völlig getrennt.
• Jeder nichtleere getrennte Raum ist die zweite Kategorie.
• Irgendwelche zwei getrennten Räume mit demselben cardinality sind homeomorphic.
• Jeder getrennte Raum ist metrizable (durch das getrennte metrische).
• Ein begrenzter Raum ist metrizable nur, wenn es getrennt ist.
• Wenn X ein topologischer Raum ist und Y ein Satz ist, der die getrennte Topologie trägt, dann X wird durch gleichmäßig bedeckt (die Vorsprung-Karte ist die gewünschte Bedeckung)
• Die Subraumtopologie auf den ganzen Zahlen als ein Subraum der echten Linie ist die getrennte Topologie.

Jede Funktion von einem getrennten topologischen Raum bis einen anderen topologischen Raum ist dauernd, und jede Funktion von einem getrennten gleichförmigen Raum bis einen anderen gleichförmigen Raum ist gleichförmig dauernd. D. h. der getrennte Raum X ist auf dem Satz X in der Kategorie von topologischen Räumen und dauernden Karten oder in der Kategorie von gleichförmigen Räumen und gleichförmig dauernden Karten frei. Diese Tatsachen sind Beispiele eines viel breiteren Phänomenes, in dem getrennte Strukturen gewöhnlich auf Sätzen frei sind.

Mit metrischen Räumen sind Dinge mehr kompliziert, weil es mehrere Kategorien von metrischen Räumen, abhängig davon gibt, was für den morphisms gewählt wird. Sicher ist der getrennte metrische Raum frei, wenn die morphisms alle gleichförmig dauernden Karten oder alle dauernden Karten sind, aber das sagt nichts Interessantes über die metrische Struktur, nur die gleichförmige oder topologische Struktur. Für die metrische Struktur mehr wichtige Kategorien können durch das Begrenzen des morphisms auf Lipschitz dauernde Karten oder auf kurze Karten gefunden werden; jedoch haben diese Kategorien freie Gegenstände (auf mehr als einem Element) nicht. Jedoch ist der getrennte metrische Raum in der Kategorie von begrenzten metrischen Räumen und Lipschitz dauernde Karten frei, und es ist in der Kategorie von metrischen Räumen frei, die durch 1 und kurze Karten begrenzt sind. D. h. jede Funktion von einem getrennten metrischen Raum bis einen anderen begrenzten metrischen Raum ist Lipschitz dauernd, und jede Funktion von einem getrennten metrischen Raum bis einen anderen metrischen Raum, der durch 1 begrenzt ist, ist kurz.

Die andere Richtung gehend, ist eine Funktion f von einem topologischen Raum Y zu einem getrennten Raum X dauernd, wenn und nur es, wenn im Sinn lokal unveränderlich ist, dass jeder Punkt in Y eine Nachbarschaft hat, auf der f unveränderlich ist.

Gebrauch

Eine getrennte Struktur wird häufig als die "Verzug-Struktur" auf einem Satz verwendet, der keine andere natürliche Topologie, Gleichförmigkeit, oder metrisch trägt; getrennte Strukturen können häufig als "äußerste" Beispiele verwendet werden, um besondere Annahmen zu prüfen. Zum Beispiel kann jede Gruppe als eine topologische Gruppe betrachtet werden, indem sie ihm die getrennte Topologie gibt, andeutend, dass Lehrsätze über topologische Gruppen für alle Gruppen gelten. Tatsächlich können sich Analytiker auf das Übliche, nichttopologische Gruppen beziehen, die durch algebraists als "getrennte Gruppen" studiert sind. In einigen Fällen kann das zum Beispiel in der Kombination mit der Dualität von Pontryagin nützlich angewandt werden. Eine 0-dimensionale Sammelleitung (oder differentiable oder analytische Sammelleitung) ist nichts als ein getrennter topologischer Raum. Wir können deshalb jede getrennte Gruppe als eine 0-dimensionale Lüge-Gruppe ansehen.

Ein Produkt zählbar unendlicher Kopien des getrennten Raums von natürlichen Zahlen ist homeomorphic zum Raum von irrationalen Zahlen mit dem durch die fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung gegebenen homeomorphism. Ein Produkt zählbar unendlicher Kopien des getrennten Raums {0,1} ist homeomorphic zum Kantor-Satz; und tatsächlich gleichförmig gehen homeomorphic dem Kantoren unter, wenn wir die Produktgleichförmigkeit auf dem Produkt verwenden. Solch ein homeomorphism wird durch die dreifältige Notation von Zahlen gegeben. (Sieh Kantor-Raum.)

In den Fundamenten der Mathematik ist die Studie von Kompaktheitseigenschaften von Produkten {0,1} zur topologischen Annäherung an den Ultrafiltergrundsatz zentral, der eine schwache Form der Wahl ist.

Homogene Räume

In mancher Hinsicht ist das Gegenteil der getrennten Topologie die triviale Topologie (auch hat die homogene Topologie genannt), der die geringstmöglichen offenen Sätze (gerade der leere Satz und der Raum selbst) hat. Wo die getrennte Topologie anfänglich oder frei ist, ist die homogene Topologie endgültig oder cofree: Jede Funktion von einem topologischen Raum bis einen homogenen Raum ist usw. dauernd.

Kostenvoranschlag

• Stanislaw Ulam hat Los Angeles als "ein getrennter Raum charakterisiert, in dem es einen Laufwerk einer Stunde zwischen Punkten gibt".

Siehe auch

• Zylinder hat gesetzt