In der Ersatzalgebra ist die Dimension von Krull eines Rings R, genannt nach Wolfgang Krull (1899-1971), das Supremum der Zahl von strengen Einschließungen in eine Kette von Hauptidealen. Die Dimension von Krull braucht sogar für einen Ring von Noetherian nicht begrenzt zu sein.

Ein Feld k hat Dimension von Krull 0; mehr allgemein, hat Dimension von Krull n. Ein ideales Hauptgebiet, das nicht ein Feld ist, hat Dimension von Krull 1.

Erklärung

Wir sagen dass eine strenge Kette von Einschließungen von Hauptidealen der Form:

ist von der Länge n. D. h. es zählt die Zahl von strengen Einschließungen, nicht die Zahl der Blüte auf, obwohl sich diese nur durch 1 unterscheiden. In Anbetracht einer Blüte definieren wir die Höhe, geschrieben, um das Supremum des Satzes zu sein

Wir definieren die Dimension von Krull, das Supremum der Höhen von ganzer seiner Blüte zu sein.

Nagata hat ein Beispiel eines Rings angeführt, der unendliche Dimension von Krull hat, wenn auch jedes Hauptideal begrenzte Höhe hat. Nagata hat auch ein Beispiel eines Rings von Noetherian angeführt, wo nicht jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden kann. Ringe, in denen jede Kette von Hauptidealen zu einer maximalen Kette erweitert werden kann, sind als Kettenringe bekannt.

Dimension von Krull und Schemas

Es folgt sogleich aus der Definition des Spektrums eines Rings, des Raums von Hauptidealen von ausgestatteten mit der Topologie von Zariski, dass die Dimension von Krull dessen der nicht zu vereinfachenden Dimension seines Spektrums genau gleich ist. Das folgt sofort von der Verbindung von Galois zwischen Idealen und geschlossenen Teilmengen und der Beobachtung, dass, durch die Definition, jedes Hauptideal dessen einem allgemeinen Punkt der geschlossenen Teilmenge entspricht, die zu über die Verbindung von Galois vereinigt ist.

Beispiele

• Die Dimension eines polynomischen Rings über ein Feld ist die Zahl von indeterminates d. Diese Ringe entsprechen affine Räumen auf der Sprache von Schemas, so kann von diesem Ergebnis als foundational gedacht werden. Im Allgemeinen, wenn R ein Ring von Noetherian der Dimension d ist, dann ist die Dimension von R [x] d + 1. Wenn die Hypothese von Noetherianity fallen gelassen ist, dann kann R [x] Dimension überall zwischen d + 1 und 2. + 1 haben.
• Der Ring von ganzen Zahlen hat Dimension 1.
• Ein integriertes Gebiet ist ein Feld, wenn, und nur wenn seine Dimension von Krull Null ist. Gebiete von Dedekind, die nicht Felder sind (zum Beispiel, getrennte Schätzungsringe) haben Dimension ein. Im Allgemeinen ist ein Ring von Noetherian Artinian, wenn, und nur wenn seine Dimension von Krull 0 ist.

Krull Dimension eines Moduls

Wenn R ein Ersatzring ist, und M ein R-Modul ist, definieren wir die Dimension von Krull der M, um die Dimension von Krull des Quotienten von R das Bilden der M ein treues Modul zu sein. D. h. wir definieren es durch die Formel:

wo, der Vernichter, der Kern der natürlichen Karte von R in den Ring - geradlinige Endomorphismen darauf ist.

Auf der Sprache von Schemas werden begrenzte Typ-Module als zusammenhängende Bündel interpretiert, oder haben begrenzte Reihe-Vektor-Bündel verallgemeinert.

Siehe auch

• Dimensionstheorie (Algebra)
• Regelmäßiger lokaler Ring

Referenzen

Bibliografie

• Irving Kaplansky, Ersatzringe (revidierte Hrsg.), Universität der Chikagoer Presse, 1974, internationale Standardbuchnummer 0-226-42454-5. Seite 32.
• A.I. Kostrikin und I.R. Shafarevich (edd), Algebra II, Enzyklopädie von Mathematischem Scieinces 18, Springer-Verlag, 1991, internationale Standardbuchnummer 3-540-18177-6. Sekte 4.7.