Das Konzept eines geradlinigen Subraums (oder Vektor-Subraums) ist in der geradlinigen Algebra und den verwandten Feldern der Mathematik wichtig.

Ein geradliniger Subraum wird gewöhnlich einfach einen Subraum genannt, wenn der Zusammenhang dient, um ihn von anderen Arten von Subräumen zu unterscheiden.

Definition und nützliche Charakterisierung und Subraum

Lassen Sie K ein Feld (wie das Feld von reellen Zahlen) sein, und V ein Vektorraum über K sein zu lassen.

Wie gewöhnlich nennen wir Elemente von V Vektoren und Anruf-Elemente von K Skalaren.

Nehmen Sie an, dass W eine Teilmenge V ist.

Wenn W ein Vektorraum selbst mit denselben Vektorraum-Operationen ist, wie V hat, dann ist es ein Subraum V.

Um diese Definition zu verwenden, müssen wir nicht beweisen, dass alle Eigenschaften eines Vektorraums für W halten.

Statt dessen können wir einen Lehrsatz beweisen, der uns eine leichtere Weise gibt zu zeigen, dass eine Teilmenge eines Vektorraums ein Subraum ist.

Lehrsatz:

Lassen Sie V ein Vektorraum über Feld K sein, und W eine Teilmenge V sein zu lassen.

Dann ist W ein Subraum, wenn, und nur wenn er die folgenden drei Bedingungen befriedigt:

1. Der Nullvektor, 0, ist in W.
2. Wenn u und v Elemente von W sind, dann ist jede geradlinige Kombination von u und v ein Element von W;
3. Wenn u ein Element von W ist und c ein Skalar von K ist, dann ist das Skalarprodukt cu ein Element von W;

Beweis:

Erstens stellt Eigentum 1 sicher, dass W nichtleer ist. Auf die Definition eines Vektorraums schauend, sehen wir, dass Eigenschaften 2 und 3 oben Verschluss von W unter der Hinzufügung und Skalarmultiplikation sichern, so werden die Vektorraum-Operationen gut definiert. Da Elemente von W notwendigerweise Elemente V sind, sind Axiome 1, 2 und 5-8 eines Vektorraums zufrieden. Durch den Verschluss von W unter der Skalarmultiplikation (spezifisch durch 0 und-1) sind Axiome 3 und 4 eines Vektorraums zufrieden.

Umgekehrt, wenn W Subraum V ist, dann ist W selbst ein Vektorraum unter den durch veranlassten Operationen

V, so sind Eigenschaften 2 und 3 zufrieden. Durch das Eigentum 3 ist-w in W, wann auch immer w, und hieraus folgt dass ist

W wird unter der Subtraktion ebenso geschlossen. Seitdem

W ist nichtleer, es gibt ein Element x in W und

ist in W, so ist Eigentum 1 zufrieden. Man kann auch behaupten, dass da W nichtleer ist, gibt es ein Element x in W, und 0 ist in Feld K so, und deshalb ist Eigentum 1 zufrieden.

Beispiel I:

Lassen Sie Feld K der Satz R von reellen Zahlen sein, und den Vektorraum V der Euklidische Raum R sein zu lassen.

Nehmen Sie W, um der Satz aller Vektoren in V zu sein, dessen letzter Bestandteil 0 ist.

Dann ist W ein Subraum V.

Beweis:

1. Gegebener u und v in W dann können sie als u = (u, u, 0) und v = (v, v, 0) ausgedrückt werden. Dann u + v = (u+v, u+v, 0+0) = (u+v, u+v, 0). So u + ist v ein Element von W auch.
2. Gegebener u in W und einem Skalar c in R, wenn u = (u, u, 0) wieder, dann cu = (cu, cu, c0) = (cu, cu, 0). So ist cu ein Element von W auch.

Beispiel II:

Lassen Sie das Feld R wieder sein, aber jetzt den Vektorraum die Euklidische Geometrie R sein zu lassen.

Nehmen Sie W, um der Satz von Punkten (x, y) von solchem R dass x = y zu sein.

Dann ist W ein Subraum von R.

Beweis:

1. Lassen Sie p = (p, p) und q = (q, q) Elemente von W, d. h. Punkten im solchem Flugzeug dass p = p und q = q sein. Dann p + q = (p+q, p+q); seitdem p = p und q = q, dann p + q = p + q, so p + ist q ein Element von W.
2. Lassen Sie p = (p, p) ein Element von W, d. h. einem Punkt im solchem Flugzeug sein, dass p = p, und c ein Skalar in R sein lassen. Dann Bedienungsfeld = (Bedienungsfeld, Bedienungsfeld); seitdem p = p, dann Bedienungsfeld = Bedienungsfeld, so ist Bedienungsfeld ein Element von W.

Im Allgemeinen wird jede Teilmenge eines Euklidischen Raums R, der durch ein System von homogenen geradlinigen Gleichungen definiert wird, einen Subraum nachgeben.

(Die Gleichung im Beispiel ich war z = 0, und die Gleichung im Beispiel II, war x = y.)

Geometrisch sind diese Subräume Punkte, Linien, Flugzeuge und so weiter, die den Punkt 0 durchführen.

Beispiele haben sich auf die Rechnung bezogen

Beispiel III:

Nehmen Sie wieder das Feld, um R zu sein, aber jetzt den Vektorraum V der Satz R von allen Funktionen von R bis R sein zu lassen.

Lassen Sie C(R) die Teilmenge sein, die aus dauernden Funktionen besteht.

Then C(R) ist ein Subraum von R.

Beweis:

1. Wir wissen von der Rechnung dass 0  C(R)  R.
2. Wir wissen von der Rechnung die Summe von dauernden Funktionen ist dauernd.
3. Wieder wissen wir von der Rechnung, dass das Produkt einer dauernden Funktion und einer Zahl dauernd ist.

Beispiel IV:

Behalten Sie dasselbe Feld und Vektorraum wie zuvor, aber betrachten Sie jetzt den Satz als Diff(R) aller Differentiable-Funktionen.

Dieselbe Sorte des Arguments zeigt wie zuvor, dass das ein Subraum auch ist.

Beispiele, die diese Themen erweitern, sind in der Funktionsanalyse üblich.

Eigenschaften von Subräumen

Eine Weise, Subräume zu charakterisieren, besteht darin, dass sie unter geradlinigen Kombinationen geschlossen werden.

D. h. ein nichtleerer Satz W ist ein Subraum, wenn, und nur wenn jede geradlinige Kombination (begrenzt viele) Elemente von W auch W gehört.

Bedingungen 2 und 3 für einen Subraum sind einfach die grundlegendsten Arten von geradlinigen Kombinationen.

Operationen auf Subräumen

Gegebene Subräume U und W eines Vektorraums V, dann ihre Kreuzung U  W: = {v  V: V ist ein Element sowohl von U als auch von ist W\auch ein Subraum V.

Beweis:

1. Lassen Sie v und w Elemente von U  W. Then v sein, und w gehören sowohl U als auch W. Weil U ein Subraum ist, dann v + gehört w U. Ähnlich, da W ein Subraum ist, dann v + gehört w W. So v + gehört w U  W.
2. Lassen Sie v U  W gehören, und c ein Skalar sein lassen. Dann gehört v sowohl U als auch W. Da U und W Subräume sind, gehört Lebenslauf sowohl U als auch W.
3. Da U und W Vektorräume sind, dann 0 gehört beiden Sätzen. So, 0 gehört U  W.

Für jeden Vektorraum V ist der Satz {0} und V selbst Subräume V.

Wenn V ein Skalarprodukt-Raum ist, dann ist die orthogonale Ergänzung jedes Subraums V wieder ein Subraum.

Siehe auch

• Geben Sie Subraum Zeichen

Links

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