In der Mathematik, rufen Sie mehr spezifisch Theorie, einen Zweig der abstrakten Algebra an, der Jacobson, der eines Rings R radikal ist, ist ein Ideal, das aus jenen Elementen in R besteht, die alle einfachen richtigen R-Module vernichten. Es geschieht, dass das Ersetzen "verlassen" im Platz "direkt" in der Definition dasselbe Ideal nachgibt, und so ist der Begriff symmetrisch nach links richtig. Der eines Rings radikale Jacobson wird oft durch J(R) oder rad (R) angezeigt; jedoch, um Verwirrung mit anderen Radikalen von Ringen zu vermeiden, wird die ehemalige Notation in diesem Artikel bevorzugt. Der radikale Jacobson wird nach Nathan Jacobson genannt, der erst war, um es für willkürliche Ringe darin zu studieren.

Der eines Rings radikale Jacobson hat zahlreiche innere Charakterisierungen einschließlich einiger Definitionen, die erfolgreich den Begriff zu Ringen ohne Einheit erweitern. Der Radikale eines Moduls erweitert die Definition des Jacobsons, der radikal ist, um Module einzuschließen. Der Jacobson radikale Spiele eine prominente Rolle in vielen klingelt und Modul theoretische Ergebnisse wie das Lemma von Nakayama.

Intuitive Diskussion

Als mit anderen Radikalen von Ringen kann vom radikalen Jacobson als eine Sammlung von "schlechten" Elementen gedacht werden. In diesem Fall besteht das "schlechte" Eigentum darin, dass diese Elemente alle einfachen linken und richtigen Module des Rings vernichten. Zum Zwecke des Vergleichs, denken Sie den nilradical eines Ersatzrings, der aus allen Elementen besteht, die nilpotent sind. Tatsächlich für jeden Ring sind die nilpotent Elemente im Zentrum des Rings auch im radikalen Jacobson. Also, für Ersatzringe wird der nilradical im radikalen Jacobson enthalten.

Der radikale Jacobson ist dem nilradical in einem intuitiven Sinn sehr ähnlich. Ein schwächerer Begriff, schlecht, schwächer zu sein, als, ein Nullteiler zu sein, ist eine Nichteinheit (nicht invertible unter der Multiplikation). Der eines Rings radikale Jacobson besteht aus Elementen, die ein stärkeres Eigentum befriedigen als, bloß eine Nichteinheit - in einem Sinn zu sein, muss ein Mitglied des radikalen Jacobsons als eine Einheit" in keinem Modul "handeln, das "zum Ring inner ist." Genauer muss ein Mitglied des radikalen Jacobsons unter dem kanonischen Homomorphismus zur Null jedes "richtigen Abteilungsrings" vorspringen (dessen jedes Nichtnullelement ein richtiges Gegenteil hat), inner zum fraglichen Ring. Kurz muss es jedem maximalen richtigen Ideal des Rings gehören. Diese Begriffe sind natürlich ungenau, aber erklären mindestens, warum der nilradical eines Ersatzrings im radikalen Jacobson des Rings enthalten wird.

Auf noch eine einfachere Weise können wir an den Jacobson denken, der eines Rings als Methode zu "mod schlechte Elemente" des Rings - d. h. Mitglieder des Jacobsons radikale Tat als 0 im Quotient-Ring, R/J(R) radikal ist. Wenn N der nilradical des Ersatzrings R ist, dann hat der Quotient-Ring R/N keine nilpotent Elemente. Ähnlich für jeden Ring R hat der Quotient-Ring J (R/J(R)) = {0}, und so sind alle "schlechten" Elemente im radikalen Jacobson durch modding J(R) entfernt worden. Elemente des Jacobsons radikal und nilradical können deshalb als Generalisationen 0 gesehen werden.

Gleichwertige Charakterisierungen

Der eines Rings radikale Jacobson hat verschiedene innere und äußerliche Charakterisierungen. Die folgenden Gleichwertigkeiten erscheinen in vielen Nichtersatzalgebra-Texten solcher als, und.

Der folgende ist gleichwertige Charakterisierungen des Jacobsons, der in Ringen mit der Einheit radikal ist (Charakterisierungen für Ringe ohne Einheit werden sofort später gegeben):

• J(R) kommt der Kreuzung aller maximalen richtigen Ideale des Rings gleich. Es ist auch wahr, dass J(R) der Kreuzung aller maximalen linken Ideale innerhalb des Rings gleichkommt. Diese Charakterisierungen sind zum Ring seit einzigen Bedürfnissen inner, die maximalen richtigen Ideale des Rings zu finden. Zum Beispiel, wenn ein Ring lokal ist, und ein einzigartiges maximales richtiges Ideal hat, dann ist dieses einzigartige maximale richtige Ideal ein Ideal, weil es genau J(R) ist. Maximale Ideale sind gewissermaßen leichter zu suchen als Vernichter von Modulen. Diese Charakterisierung ist jedoch unzulänglich, weil es sich nützlich nicht erweist, wenn es rechenbetont mit J(R) arbeitet. Die nach links richtige Symmetrie dieser zwei Definitionen ist bemerkenswert und hat verschiedene interessante Folgen. Diese Symmetrie Standplätze im Gegensatz zum Mangel an der Symmetrie in den Sockeln von R, dafür können das soc (R) zufällig, ist soc (R) nicht gleich. Jedoch ist J(R) der Kreuzung aller maximalen (zweiseitigen) Ideale innerhalb von R nicht notwendigerweise gleich. Zum Beispiel, wenn V eine zählbare direkte Summe von Kopien eines Feldes k und R=End (V) ist (der Ring von Endomorphismen V als ein K-Modul), dann J(R) =0, weil, wie man bekannt, R von Neumann regelmäßig ist, aber gibt es genau ein maximales zweiseitiges Ideal in R, der aus Endomorphismen mit dem endlich-dimensionalen Image besteht.
• J(R) kommt der Summe aller überflüssigen richtigen Ideale (oder symmetrisch, der Summe aller überflüssigen linken Ideale) von R gleich. Das mit der vorherigen Definition vergleichend, kommt die Summe von überflüssigen richtigen Idealen der Kreuzung von maximalen richtigen Idealen gleich. Dieses Phänomen wird Doppel-für den richtigen Sockel von R widerspiegelt: Soc (R) ist sowohl die Summe von minimalen richtigen Idealen als auch die Kreuzung von wesentlichen richtigen Idealen. Tatsächlich halten diese zwei erstaunlichen Beziehungen für die Radikalen und Sockel von Modulen im Allgemeinen.
• Wie definiert, in der Einführung kommt J(R) der Kreuzung aller Vernichter von einfachen richtigen R-Modulen gleich, jedoch ist es auch wahr, dass es die Kreuzung von Vernichtern von einfachen linken Modulen ist. Ein Ideal, das der Vernichter eines einfachen Moduls ist, ist als ein primitives Ideal bekannt, und so stellt eine neue Darlegung davon fest, dass der radikale Jacobson die Kreuzung aller primitiven Ideale ist. Obwohl diese Charakterisierung rechenbetont nicht nützlich, oder so nützlich ist wie die vorherigen zwei Charakterisierungen im Helfen Intuition, ist es in studierenden Modulen über Ringe nützlich. Zum Beispiel, wenn U richtiges R-Modul ist, und V ein maximales Untermodul von U, U ist · J(R) wird in V, wo U enthalten · J(R) zeigt alle Produkte von Elementen von J(R) (die "Skalare") mit Elementen in U rechts an. Das folgt aus der Tatsache, dass das Quotient-Modul, U/V einfach und folglich durch J(R) vernichtet ist. Als ein anderes Beispiel motiviert dieses Ergebnis das Lemma von Nakayama.
• J(R) ist das einzigartige richtige Ideal von mit dem Eigentum maximalem R, dass jedes Element richtiger Quasistammkunde ist. Wechselweise konnte man "direkt" durch "den linken" im vorherigen Satz ersetzen. Diese Charakterisierung des radikalen Jacobsons ist sowohl rechenbetont als auch im Helfen Intuition nützlich. Außerdem ist diese Charakterisierung in studierenden Modulen über einen Ring nützlich. Das Lemma von Nakayama ist vielleicht das wohl bekannteste Beispiel davon. Obwohl jedes Element von J(R), nicht notwendigerweise quasiregelmäßig ist, ist jedes quasiregelmäßige Element notwendigerweise ein Mitglied von J(R).
• Während nicht jedes quasiregelmäßige Element in J(R) ist, kann es gezeigt werden, dass y in J(R) ist, wenn, und nur wenn xy quasiregelmäßig für den ganzen x in R. verlassen wird

Für Ringe ohne Einheit ist es für R=J(R), jedoch die Gleichung möglich, die J (R/J(R)) = {0} noch hält. Der folgende ist gleichwertige Charakterisierungen von J(R) für Ringe ohne Einheit erscheinen in:

• Der Begriff der linken Quasiregelmäßigkeit kann folgendermaßen verallgemeinert werden. Rufen Sie ein Element in verlassenem R hat quasiregelmäßig verallgemeinert, wenn dort c in solchem R dass c+a-ca = 0 besteht. Then J(R) besteht aus jedem Element, für den ra verallgemeinerter Quasistammkunde für den ganzen r in R verlassen wird. Es kann überprüft werden, dass diese Definition mit der vorherigen quasiregelmäßigen Definition für Ringe mit der Einheit zusammenfällt.
• Für einen Ring ohne Einheit, die Definition eines linken einfachen Moduls wird M durch das Hinzufügen der Bedingung dass R amendiert · M  0. Mit diesem Verstehen kann J(R) als die Kreuzung von allen einfach definiert werden hat R Module, oder gerade R verlassen, wenn dort nicht einfach sind, hat R Module verlassen. Ringe ohne Einheit ohne einfache Module bestehen wirklich, in welchem Fall R=J(R) und der Ring einen radikalen Ring genannt werden. Durch das Verwenden der verallgemeinerten quasiregelmäßigen Charakterisierung des Radikalen ist es dass klar, wenn man einen Ring mit der J(R) Nichtnull findet, dann ist J(R) ein radikaler Ring, wenn betrachtet, als ein Ring ohne Einheit.

Beispiele

• Ringe, für die J(R) {0} ist, werden halbprimitive Ringe, oder manchmal "Jacobson halbeinfache Ringe" genannt. Der Jacobson, der jedes Feldes, jeder von Neumann regelmäßiger Ring und jeder linke oder richtige primitive Ring radikal ist, ist {0}. Der der ganzen Zahlen radikale Jacobson ist {0}.
• Der des Rings radikale Jacobson Z/12Z (sieh Modularithmetik), ist 6Z/12Z, der die Kreuzung der maximalen Ideale 2Z/12Z und 3Z/12Z ist.
• Wenn K ein Feld ist und R der Ring des ganzen oberen Dreiecksn-by-n matrices mit Einträgen in K ist, dann besteht J(R) aus dem ganzen oberen dreieckigen matrices mit Nullen auf der Hauptdiagonale.
• Wenn K ein Feld und R = K ist
• Fangen Sie mit einem begrenzten, acyclic Zittern Γ und Feld K an und betrachten Sie die Zittern-Algebra als KΓ (wie beschrieben, im Zittern-Artikel). Der dieses Rings radikale Jacobson wird durch alle Pfade in Γ der Länge  1 erzeugt.

• Der Jacobson, der C*-algebra radikal ist, ist {0}. Das folgt aus dem Gelfand-Naimark Lehrsatz, und die Tatsache für C*-algebra, topologisch nicht zu vereinfachend *-representation auf einem Raum von Hilbert ist algebraisch nicht zu vereinfachend, so dass sein Kern ein primitives Ideal im rein algebraischen Sinn ist (sieh Spektrum C*-algebra).

Eigenschaften

• Wenn R unital ist und nicht der triviale Ring {0} ist, ist der radikale Jacobson immer von R verschieden, da Ringe mit der Einheit immer maximale richtige Ideale haben. Jedoch ziehen einige wichtige Lehrsätze und Vermutungen in der Ringtheorie den Fall in Betracht, wenn J(R) = R - "Wenn R ein Null-Ring ist (d. h. ist jedes seiner Elemente nilpotent), der polynomische Ring R [x] gleich seinem radikalen Jacobson ist?" ist zur offenen Vermutung von Köthe gleichwertig.
• Der Jacobson, der des Rings R/J(R) radikal ist, ist Null. Ringe mit der Null radikaler Jacobson werden halbprimitive Ringe genannt.
• Ein Ring ist halbeinfach, wenn, und nur wenn es Artinian und sein radikaler Jacobson ist, Null ist.
• Wenn f: R  ist S ein Surjective-Ringhomomorphismus, dann f (J(R))  J (S).
• Wenn M ein begrenzt erzeugtes linkes R-Modul mit J(R) M = M, dann M = 0 (das Lemma von Nakayama) ist.
• J(R) enthält alle nilpotent Hauptelemente, aber enthält keine idempotent Elemente abgesehen von 0.
• J(R) enthält jedes Null-Ideal von R. Wenn R verlassen wird oder richtiger Artinian, dann ist J(R) ein nilpotent Ideal. Das kann wirklich stärker gemacht werden: Wenn eine Zusammensetzungsreihe für das richtige R-Modul R ist (solch eine Reihe wird gewiss bestehen, wenn R richtiger artinian ist, und es eine ähnliche linke Zusammensetzungsreihe gibt, wenn R artinian verlassen wird), dann. (Beweis: Da die Faktoren einfache richtige R-Module sind, vernichtet die richtige Multiplikation durch jedes Element von J(R) diese Faktoren. Mit anderen Worten, woher. Folglich Induktion über zeige mich, dass alle natürlichen Zahlen i und u (für den der folgende Sinn hat) befriedigen. Wenn ich das auf u = anwende, gebe ich = k das Ergebnis nach.) Bemerken jedoch, dass im Allgemeinen der radikale Jacobson aus nur den nilpotent Elementen des Rings nicht zu bestehen braucht.
• Wenn R auswechselbar und als ein Z-Modul begrenzt erzeugt ist, dann ist J(R) dem nilradical von R gleich.
• Der Jacobson, der (unital) Ring radikal ist, ist sein größtes überflüssiges Recht (gleichwertig, verlassen) Ideal.

Referenzen

• N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.

Siehe auch

• Nilradical
• Radikal eines Moduls
• Radikal eines Ideales
• Untergruppe von Frattini