In der flüssigen Dynamik beschreibt potenzieller Fluss das Geschwindigkeitsfeld als der Anstieg einer Skalarfunktion: das Geschwindigkeitspotenzial. Infolgedessen wird ein potenzieller Fluss durch ein rotationsfreies Geschwindigkeitsfeld charakterisiert, das eine gültige Annäherung für mehrere Anwendungen ist. Der irrotationality eines potenziellen Flusses ist wegen der Locke eines Anstiegs, der immer der Null gleich ist.

Im Fall von einem Incompressible-Fluss befriedigt das Geschwindigkeitspotenzial die Gleichung von Laplace, und potenzielle Theorie ist anwendbar. Jedoch sind potenzielle Flüsse auch verwendet worden, um komprimierbare Flüsse zu beschreiben. Die potenzielle Fluss-Annäherung kommt im Modellieren von beiden stationären sowie nichtstationären Flüssen vor.

Anwendungen des potenziellen Flusses sind zum Beispiel: das Außenfluss-Feld für Tragflächen, Wasserwellen, electroosmotic Fluss und Grundwasser-Fluss.

Für Flüsse (oder Teile davon) mit starken vorticity Effekten ist die potenzielle Fluss-Annäherung nicht anwendbar.

Eigenschaften und Anwendungen

Beschreibung und Eigenschaften

In der flüssigen Dynamik wird ein potenzieller Fluss mittels eines Geschwindigkeitspotenzials φ beschrieben, eine Funktion der Zeit und Raums seiend. Die Fluss-Geschwindigkeit v ist ein Vektorfeld, das dem Anstieg, , des Geschwindigkeitspotenzials φ gleich ist:

:

Manchmal wird auch die Definition v = φ, mit minus das Zeichen, verwendet. Aber hier werden wir die Definition oben, ohne minus das Zeichen verwenden. Von der Vektor-Rechnung ist es bekannt, dass die Locke eines Anstiegs der Null gleich ist:

:

und folglich ist der vorticity, die Locke des Geschwindigkeitsfeldes v, Null:

:

Das deutet an, dass ein potenzieller Fluss ein rotationsfreier Fluss ist. Das hat direkte Folgen für die Anwendbarkeit des potenziellen Flusses. In Fluss-Gebieten, wo, wie man bekannt, vorticity, wie Kielwasser und Grenzschichten wichtig ist, ist potenzielle Fluss-Theorie nicht im Stande, angemessene Vorhersagen des Flusses zur Verfügung zu stellen. Glücklich gibt es häufig große Gebiete eines Flusses, wo die Annahme von irrotationality gültig ist, der ist, warum potenzieller Fluss für verschiedene Anwendungen verwendet wird. Zum Beispiel in: Fluss um das Flugzeug, Grundwasser-Fluss, Akustik, Wasserwellen und Electroosmotic-Fluss.

Fluss von Incompressible

Im Falle eines Incompressible-Flusses — zum Beispiel einer Flüssigkeit oder eines Benzins an niedrigen Machzahlen; aber nicht für Schallwellen — hat die Geschwindigkeit v Nullabschweifung:

:

mit dem Punkt, der das Skalarprodukt anzeigt. Infolgedessen muss das Geschwindigkeitspotenzial φ die Gleichung von Laplace befriedigen

:

wo der Maschinenbediener von Laplace (manchmal auch schriftlich) ist. In diesem Fall kann der Fluss völlig von seinem kinematics bestimmt werden: die Annahmen von irrotationality und Nullabschweifung des Flusses. Triebkräfte müssen nur später angewandt werden, wenn man sich für den Rechendruck interessiert: zum Beispiel für den Fluss um Tragflächen durch den Gebrauch des Grundsatzes von Bernoulli.

In zwei Dimensionen nimmt potenzieller Fluss zu einem sehr einfachen System ab, das mit der komplizierten Analyse (sieh unten) analysiert wird.

Komprimierbarer Fluss

Unveränderlicher Fluss

Potenzielle Fluss-Theorie kann auch verwendet werden, um rotationsfreien komprimierbaren Fluss zu modellieren. Durch die volle potenzielle Gleichung, einen unveränderlichen Fluss beschreibend, wird gegeben:

:

\begin {richten }\aus

&

\left (1 - M_x^2 \right) \frac {\\Partial^2 \Phi} {\\teilweiser x^2 }\

+ \left (1 - M_y^2 \right) \frac {\\Partial^2 \Phi} {\\teilweiser y^2 }\

+ \left (1 - M_z^2 \right) \frac {\\Partial^2 \Phi} {\\teilweiser z^2 }\

\\

& \quad

- 2 M_x M_y \frac {\\Partial^2 \Phi} {\\teilweiser x \, \partial y }\

- 2 M_y M_z \frac {\\Partial^2 \Phi} {\\teilweiser y \, \partial z }\

- 2 M_z M_x \frac {\\Partial^2 \Phi} {\\teilweiser z \, \partial x\

= 0,

\end {richten }\aus

</Mathematik>

mit Machzahl-Bestandteilen

: und

wo der lokalen Geschwindigkeit des Tons zu sein. Die Fluss-Geschwindigkeit v ist wieder  Φ, mit Φ das Geschwindigkeitspotenzial gleich. Die volle potenzielle Gleichung ist für sub - trans- und Überschallfluss im willkürlichen Winkel des Angriffs gültig, so lange die Annahme von irrotationality anwendbar ist.

Entweder im Falle Unterschall- oder im Falle Überschall-(aber nicht transsonic oder Hyperschall-) Fluss, in kleinen Winkeln des Angriffs und der dünnen Körper, kann eine zusätzliche Annahme gemacht werden: Das Geschwindigkeitspotenzial wird in eine unbeeinträchtigte onflow Geschwindigkeit V in der X-Richtung, und klein eine Unruhe-Geschwindigkeit  φ davon gespalten. So:

:

In diesem Fall kann die linearized Potenzial-Gleichung der kleinen Unruhe — eine Annäherung an die volle potenzielle Gleichung — verwendet werden:

:

\left (1-M_\infty^2\right) \frac {\\Partial^2 \varphi} {\\teilweiser x^2} + \frac {\\Partial^2 \varphi} {\\teilweiser y^2} + \frac {\\Partial^2 \varphi} {\\teilweiser z^2} = 0,

</Mathematik>

mit der M = V / die Machzahl des eingehenden freien Stroms. Diese geradlinige Gleichung ist viel leichter zu lösen als die volle potenzielle Gleichung: Es kann in die Gleichung von Laplace durch eine einfache Koordinate umgearbeitet werden, die sich in der X-Richtung streckt.

Schallwellen

Schallwellen des kleinen Umfangs kann mit dem folgenden Modell des potenziellen Flusses näher gekommen werden:

:

der eine geradlinige Wellengleichung für das Geschwindigkeitspotenzial φ ist. Wieder ist der Schwingungsteil des Geschwindigkeitsvektoren v mit dem Geschwindigkeitspotenzial durch v =  φ verbunden, während wie zuvor Δ der Maschinenbediener von Laplace ist, und ā die durchschnittliche Geschwindigkeit des Tons im homogenen Medium ist. Bemerken Sie, dass auch die Schwingungsteile des Drucks p und der Dichte ρ jeder individuell die Wellengleichung in dieser Annäherung befriedigen.

Anwendbarkeit und Beschränkungen

Potenzieller Fluss schließt alle Eigenschaften von Flüssen nicht ein, auf die in der echten Welt gestoßen wird. Zum Beispiel schließt potenzieller Fluss Turbulenz aus, auf die in der Natur allgemein gestoßen wird. Außerdem kann an potenzielle Fluss-Theorie nicht wegen klebriger innerer Flüsse gewandt werden. Richard Feynman hat gedacht, dass Potenzial fließt, um so unphysisch zu sein, dass die einzige Flüssigkeit, um den Annahmen zu folgen, "trockenes Wasser" (zitierender John von Neumann) war.

Potenzial-Fluss von Incompressible macht auch mehrere ungültige Vorhersagen wie das Paradox von d'Alembert, das feststellt, dass die Schinderei auf jedem Gegenstand, der sich durch eine unendliche Flüssigkeit sonst ruhig bewegt, Null ist.

Genauer kann potenzieller Fluss nicht für das Verhalten von Flüssen verantwortlich sein, die eine Grenzschicht einschließen.

Dennoch ist das Verstehen potenziellen Flusses in vielen Zweigen der flüssigen Mechanik wichtig. Insbesondere einfache potenzielle Flüsse (hat elementare Flüsse genannt), wie der freie Wirbelwind und das Besitzen bereiter analytischer Lösungen. Diese Lösungen können superaufgestellt werden, um kompliziertere Flüsse zu schaffen, die eine Vielfalt von Grenzbedingungen befriedigen. Diese Flüsse entsprechen nah zu wahren Flüssen über ganze flüssige Mechanik; außerdem entstehen viele wertvolle Einblicke, wenn sie die Abweichung (häufig als gering) zwischen einem beobachteten Fluss und dem entsprechenden potenziellen Fluss betrachten.

Potenzieller Fluss findet viele Anwendungen in Feldern wie Flugzeugsdesign. Zum Beispiel, in der rechenbetonten flüssigen Dynamik, soll eine Technik eine potenzielle Fluss-Lösung außerhalb der Grenzschicht zu einer Lösung der Grenzschicht-Gleichungen innerhalb der Grenzschicht verbinden.

Die Abwesenheit von Grenzschicht-Effekten bedeutet, dass jede Stromlinie durch eine feste Grenze ohne Änderung im Fluss-Feld, eine in vielen aerodynamischen Designannäherungen verwendete Technik ersetzt werden kann. Eine andere Technik würde der Gebrauch von Festkörpern von Riabouchinsky sein.

Analyse für den zweidimensionalen Fluss

Der potenzielle Fluss in zwei Dimensionen ist einfach, das Verwenden conformal kartografisch darstellend durch den Gebrauch von Transformationen des komplizierten Flugzeugs zu analysieren. Jedoch,

der Gebrauch von komplexen Zahlen ist bezüglich des Beispiels in der klassischen Analyse der Flüssigkeitsströmung vorbei an einem Zylinder nicht erforderlich. Es ist nicht möglich, einen potenziellen Fluss mit komplexen Zahlen in drei Dimensionen zu lösen.

Die Grundidee ist, einen holomorphic zu verwenden (auch hat analytisch genannt), oder Meromorphic-Funktion f, der das physische Gebiet (x, y) zum umgestalteten Gebiet (φ,ψ) kartografisch darstellt. Während x, y, φ und ψ alle geschätzt echt sind, ist es günstig, die komplizierten Mengen zu definieren

: und

Jetzt, wenn wir den kartografisch darstellenden f als schreiben

: oder

Dann, weil f ein holomorphic oder Meromorphic-Funktion ist, muss er die Gleichungen von Cauchy-Riemann befriedigen

:

\frac {\\partial\varphi} {\\teilweise x\= \frac {\\partial\psi} {\\teilweise y\,

\qquad

\frac {\\partial\varphi} {\\teilweise y\=-\frac {\\partial\psi} {\\teilweise x\.

</Mathematik>

Die Geschwindigkeitsbestandteile (u, v), in (x, y) Richtungen beziehungsweise, kann direkt bei f durch das Unterscheiden in Bezug auf z erhalten werden. Das ist

:

So wird das Geschwindigkeitsfeld v = (u, v) durch angegeben

:

u = \frac {\\partial\varphi} {\\teilweise x\= \frac {\\partial\psi} {\\teilweise y\, \qquad

v = \frac {\\partial\varphi} {\\teilweise y\=-\frac {\\partial\psi} {\\teilweise x\.

</Mathematik>

Sowohl φ als auch ψ befriedigen dann die Gleichung von Laplace:

: und

So kann φ als das Geschwindigkeitspotenzial identifiziert werden und ψ die Strom-Funktion genannt wird. Linien von unveränderlichem ψ sind als Stromlinien bekannt, und Linien von unveränderlichem φ sind als equipotential Linien bekannt (sieh equipotential erscheinen).

Stromlinien und equipotential Linien sind zu einander, seitdem orthogonal

:

\nabla \phi \cdot \nabla \psi =

\frac {\\partial\phi} {\\teilweiser x }\\frac {\\partial\psi} {\\teilweise x\+

\frac {\\partial\phi} {\\teilweiser y }\\frac {\\partial\psi} {\\teilweise y\=

{\\teilweiser \psi \over \partial y\{\\teilweiser \psi \over \partial x\-

{\\teilweiser \psi \over \partial x\{\\teilweiser \psi \over \partial y\= 0.

</Mathematik>

So kommt der Fluss entlang den Linien von unveränderlichem ψ und rechtwinklig zu den Linien von unveränderlichem φ vor.

Es ist interessant zu bemerken, dass Δψ = 0 auch, diese Beziehung zufrieden ist, die zu ×v = 0 gleichwertig ist. So ist der Fluss rotationsfrei. Die automatische Bedingung  Ψ / (x y) =  Ψ / (y x) gibt dann die incompressibility Einschränkung  · v = 0.

Beispiele von zweidimensionalen potenziellen Flüssen

Allgemeine Rücksichten

Jede Differentiable-Funktion kann dafür verwendet werden. Die Beispiele, die folgen, verwenden eine Vielfalt von Elementarfunktionen; spezielle Funktionen können auch verwendet werden.

Bemerken Sie, dass mehrgeschätzte Funktionen wie der natürliche Logarithmus verwendet werden können, aber Aufmerksamkeit muss auf eine einzelne Oberfläche von Riemann beschränkt werden.

Macht-Gesetze

Im Falle dass das folgende Macht-Gesetz conformal Karte, von z = x+iy zu w = φ + iψ angewandt wird:

:

dann, z in Polarkoordinaten als schreibend, haben wir

: und

In den Zahlen zu den richtigen Beispielen werden für mehrere Werte von n gegeben. Die schwarze Linie ist die Grenze des Flusses, während die dunkleren blauen Linien Stromlinien sind, und die helleren blauen Linien equi-potenzielle Linien sind. Einige interessante Mächte n sind:

• n = ½: Das entspricht dem Fluss um einen halbunendlichen Teller,
• n = ⅔: Fluss um eine richtige Ecke,
• n = 1: ein trivialer Fall des gleichförmigen Flusses,
• n = 2: Fließen Sie durch eine Ecke, oder in der Nähe von einem Stagnationspunkt und
• n =-1: Fließen Sie wegen einer Quelldublette

Der unveränderliche A ist ein kletternder Parameter: Sein absoluter Wert |A bestimmt die Skala, während sein Argument arg {Ein} Einführen einer Folge (wenn Nichtnull).

Macht-Gesetze mit n

1: gleichförmiger Fluss ====

Wenn, d. h. ein Macht-Gesetz mit, die Stromlinien (d. h. Linien der Konstante) ein System der Parallele der Geraden zur X-Achse sind.

Das ist am leichtesten, durch das Schreiben in Bezug auf echte und imaginäre Bestandteile zu sehen:

:

f (x+iy) =A\times (x+iy) =Ax+i\cdot Ja

</Mathematik>

so das Geben und. Dieser Fluss kann als gleichförmige Fluss-Parallele zur X-Achse interpretiert werden.

Macht-Gesetze mit n

2 = ===

Wenn, dann und die Stromlinie entsprechend einem besonderen Wert dessen sind jene Punkte, die befriedigen

:

\psi=Ar^2\sin 2\theta, \,

</Mathematik>

der ein System von rechteckigen Hyperbeln ist. Das kann durch das neue Neuschreiben in Bezug auf echte und imaginäre Bestandteile gesehen werden. Die Anmerkung, dass und das Neuschreiben und es gesehen werden (bei der Vereinfachung), der die Stromlinien durch gegeben werden

:

\psi=2Axy. \,

</Mathematik>

Durch das Geschwindigkeitsfeld wird, oder gegeben

:

\begin {pmatrix}

u

\\

v

\end {pmatrix} =

\begin {pmatrix}

\displaystyle {\\teilweiser \varphi \over \partial x }\

\\[2ex]

\displaystyle {\\teilweiser \varphi \over \partial y\

\end {pmatrix} =\begin {pmatrix}

\displaystyle + {\\teilweiser \psi \over \partial y }\

\\[2ex]

\displaystyle - {\\teilweiser \psi \over \partial x }\

\end {pmatrix} =

\begin {pmatrix }\

+2Ax

\\[2ex]

- 2Ay

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

In der flüssigen Dynamik entspricht der flowfield in der Nähe vom Ursprung einem Stagnationspunkt. Bemerken Sie, dass die Flüssigkeit am Ursprung beruhigt ist (das macht Unterscheidung an gleich weiter).

Die Stromlinie ist besonders interessant: Es hat zwei (oder vier) Zweige im Anschluss an die Koordinatenäxte, d. h. und.

Als keine Flüssigkeitsströmungen über die X-Achse kann es (die X-Achse) als eine feste Grenze behandelt werden. Es ist so möglich, den Fluss im niedrigeren Halbflugzeug wo zu ignorieren

Mit dieser Interpretation ist der Fluss der eines vertikal geleiteten Strahles, das an einen horizontalen flachen Teller stößt.

Der Fluss kann auch als Fluss in eine 90 Grad-Ecke interpretiert werden, wenn die Gebiete, die dadurch angegeben sind (sagen)

Macht-Gesetze mit n

3 = ===

Wenn der resultierende Fluss eine Art sechseckige Version des Falls ist, der oben in Betracht gezogen ist. Durch Stromlinien wird gegeben, und der Fluss kann in diesem Fall als Fluss in eine 60 Grad-Ecke interpretiert werden.

Macht-Gesetze mit n

1: Dublette ====

Wenn die Stromlinien durch gegeben werden

:

\psi =-\frac {r }\\sin\theta.

</Mathematik>

Das wird leichter in Bezug auf echte und imaginäre Bestandteile interpretiert:

:::

X^2 +\left (y +\frac {2\psi }\\Recht) ^2 =\left (\frac {2\psi }\\Recht) ^2.

</Mathematik>

So sind die Stromlinien Kreise, die Tangente zur X-Achse am Ursprung sind.

Die Kreise im oberen Halbflugzeug fließen so im Uhrzeigersinn, diejenigen im niedrigeren Halbflugzeug-Fluss gegen den Uhrzeigersinn. Bemerken Sie, dass die Geschwindigkeitsbestandteile dazu proportional sind; und ihre Werte am Ursprung sind unendlich. Dieses Fluss-Muster wird gewöhnlich eine Dublette genannt und kann als die Kombination des Quellbecken-Paares der unendlichen Kraft interpretiert werden, die in einer unendlich klein kleinen Entfernung einzeln behalten ist.

Das Geschwindigkeitsfeld wird durch gegeben

:

(u, v) = \left ({\\teilweiser \psi \over \partial y}, - {\\teilweiser \psi \over \partial x\\right) =

\left (A\frac {y^2-x^2} {(x^2+y^2) ^2},-a\frac {2xy} {(x^2+y^2) ^2 }\\Recht).

</Mathematik>

oder in Polarkoordinaten:

:

(u_r, u_\theta) = \left (\frac {1} {r} {\\teilweiser \psi \over \partial \theta}, - {\\teilweiser \psi \over \partial r\\right) =

\left (-\frac {r^2 }\\cos\theta,-\frac {r^2 }\\sin\theta\right).

</Mathematik>

Macht-Gesetze mit n

2: Quadrupol ====

Wenn die Stromlinien durch gegeben werden:

Das ist das mit einem Quadrupol vereinigte Fluss-Feld.

Siehe auch

• Strom-Funktion
• Feld von Laplacian
• Conformal, der kartografisch darstellt
• Flownet
• Geschwindigkeitspotenzial
• Aerodynamischer potenzieller Fluss codiert

Referenzen

Weiterführende Literatur

Links

• — Java applets, um Conformal-Karten zu erforschen