Freie Gruppe

In der Mathematik wird eine Gruppe G frei genannt, wenn es eine Teilmenge S von solchem G gibt, dass jedes Element von G auf eine und nur eine Weise als ein Produkt von begrenzt vielen Elementen von S und ihren Gegenteilen geschrieben werden kann (triviale Schwankungen wie der St. = suut ignorierend). Abgesondert von der Existenz von Gegenteilen besteht keine andere Beziehung zwischen den Generatoren einer freien Gruppe.

Ein zusammenhängender, aber verschiedener Begriff ist eine freie abelian Gruppe.

Geschichte

Freie Gruppen sind zuerst in der Studie der Hyperbelgeometrie, als Beispiele von Gruppen von Fuchsian (getrennte Gruppen entstanden, die auf Isometrien auf dem Hyperbelflugzeug handeln). In einer 1882-Zeitung hat Walther von Dyck darauf hingewiesen, dass diese Gruppen die einfachstmöglichen Präsentationen haben. Die algebraische Studie von freien Gruppen wurde von Jakob Nielsen 1924 begonnen, der ihnen ihren Namen gegeben hat und viele ihrer grundlegenden Eigenschaften eingesetzt hat. Max Dehn hat die Verbindung mit der Topologie begriffen, und hat den ersten Beweis des vollen Lehrsatzes von Nielsen-Schreier erhalten. Otto Schreier hat einen algebraischen Beweis davon veröffentlicht laufen auf 1927 hinaus, und Kurt Reidemeister hat eine umfassende Behandlung von freien Gruppen in seinem 1932-Buch auf der kombinatorischen Topologie eingeschlossen. Später in den 1930er Jahren hat Wilhelm Magnus die Verbindung zwischen der niedrigeren Hauptreihe von freien Gruppen und den freien Lüge-Algebra entdeckt.

Beispiele

Die Gruppe (Z, +) ganzer Zahlen ist frei; wir können S = {1} nehmen. Eine freie Gruppe auf einem Zwei-Elemente-Satz S kommt im Beweis des Paradoxes von Banach-Tarski vor und wird dort beschrieben.

Andererseits kann jede nichttriviale begrenzte Gruppe nicht frei sein, da die Elemente eines freien Erzeugen-Satzes einer freien Gruppe unendliche Ordnung haben.

In der algebraischen Topologie ist die grundsätzliche Gruppe eines Buketts von k Kreisen (eine Reihe von k Schleifen, die nur einen Punkt gemeinsam hat), die freie Gruppe auf einer Reihe von k Elementen.

Aufbau

Die freie Gruppe F mit dem freien Erzeugen ist untergegangen S kann wie folgt gebaut werden. S ist eine Reihe von Symbolen, und wir denken für jeden s in S es gibt ein entsprechendes "umgekehrtes" Symbol, s, in einem Satz S. Lassen Sie T = S  S, und definieren Sie ein Wort in S, um jedes schriftliche Produkt von Elementen von T zu sein. D. h. ein Wort in S ist ein Element des durch T erzeugten monoid. Das leere Wort ist das Wort ohne Symbole überhaupt. Zum Beispiel, wenn S = {a, b, c}, dann T = {a, a, b, b, c, c}, und

:

ist ein Wort in S. Wenn ein Element von S sofort neben seinem Gegenteil liegt, kann das Wort durch das Auslassen des s, s Paar vereinfacht werden:

:

Ein Wort, das weiter nicht vereinfacht werden kann, wird reduziert genannt. Die freie Gruppe F wird definiert, um die Gruppe aller reduzierten Wörter in S zu sein. Die Gruppenoperation in F ist Verkettung von Wörtern (gefolgt von der Verminderung nötigenfalls). Die Identität ist das leere Wort. Ein Wort wird zyklisch reduziert genannt, wenn sein vor allen Dingen Brief zu einander nicht umgekehrt ist. Jedes Wort ist zu einem zyklisch reduzierten Wort verbunden, und zyklisch reduziert paart sich eines zyklisch reduzierten Wortes sind alle zyklischen Versetzungen. Zum Beispiel wird babcb nicht zyklisch reduziert, aber ist zu Alphabet verbunden, das zyklisch reduziert wird. Das zyklisch reduzierte einzige paart sich Alphabets sind Alphabet, bca, und Taxi.

Universales Eigentum

Die freie Gruppe F ist die universale Gruppe, die durch den Satz S erzeugt ist. Das kann durch das folgende universale Eigentum formalisiert werden: In Anbetracht jedes Funktions-ƒ von S bis eine Gruppe G, dort besteht ein einzigartiger Homomorphismus φ: F  G das Lassen das folgende Diagramm pendeln:

D. h. Homomorphismus F  G ist in der isomorphen Ähnlichkeit mit Funktionen S  G. Für eine nichtfreie Gruppe würde die Anwesenheit von Beziehungen die möglichen Images der Generatoren unter einem Homomorphismus einschränken.

Um zu sehen, wie sich das auf die konstruktive Definition bezieht, denken Sie von S bis F als das Senden jedes Symbols zu einem Wort kartografisch darzustellen, das aus diesem Symbol besteht. Um φ für den gegebenen ƒ zu bauen, bemerken Sie zuerst, dass φ das leere Wort an die Identität von G sendet und es mit ƒ in den Elementen von S übereinstimmen muss. Für die restlichen Wörter (aus mehr als einem Symbol bestehend), kann φ einzigartig erweitert werden, da es ein Homomorphismus, d. h., φ (ab) = φ (a) φ (b) ist.

Das obengenannte Eigentum charakterisiert freie Gruppen bis zum Isomorphismus, und wird manchmal als eine alternative Definition verwendet. Es ist als das universale Eigentum von freien Gruppen bekannt, und das Erzeugen ist untergegangen S wird eine Basis nach F genannt. Die Basis für eine freie Gruppe wird nicht einzigartig bestimmt.

Durch ein universales Eigentum charakterisiert zu werden, ist die Standardeigenschaft von freien Gegenständen in der universalen Algebra. Auf der Sprache der Kategorie-Theorie ist der Aufbau der freien Gruppe (ähnlich den meisten Aufbauten von freien Gegenständen) ein functor von der Kategorie von Sätzen zur Kategorie von Gruppen. Diesem functor wird adjoint zum vergesslichen functor von Gruppen zu Sätzen verlassen.

Tatsachen und Lehrsätze

Einige Eigenschaften von freien Gruppen folgen sogleich aus der Definition:

  1. Jede Gruppe G ist das homomorphic Image von einer freien Gruppe F (S). Let S, eine Reihe von Generatoren von G sein. Die natürliche Karte f: F (S)  ist G ein epimorphism, der den Anspruch beweist. Gleichwertig ist G zu einer Quotient-Gruppe von einer freien Gruppe F (S) isomorph. Der Kern von f ist eine Reihe von Beziehungen in der Präsentation von G. Wenn S gewählt werden kann, um hier begrenzt zu sein, dann wird G begrenzt erzeugt genannt.
  2. Wenn S mehr als ein Element hat, dann ist F (S) nicht abelian, und tatsächlich ist das Zentrum von F (S) trivial (d. h. besteht nur aus dem Identitätselement).
  3. Zwei freie Gruppen F (S) und F (T) sind isomorph, wenn, und nur wenn S und T denselben cardinality haben. Dieser cardinality wird die Reihe der freien Gruppe F genannt. So für jede Grundzahl k gibt es, bis zum Isomorphismus, genau eine freie Gruppe der Reihe k.
  4. Eine freie Gruppe der begrenzten Reihe n> 1 hat eine Exponentialwachstumsrate des Auftrags 2n  1.

Einige andere zusammenhängende Ergebnisse sind:

  1. Der Lehrsatz von Nielsen-Schreier: Jede Untergruppe einer freien Gruppe ist frei.
  2. Eine freie Gruppe der Reihe k hat klar Untergruppen jeder Reihe weniger als k. Weniger offensichtlich, (nonabelian!) freie Gruppe der Reihe haben mindestens 2 Untergruppen aller zählbaren Reihen.
  3. Die Umschalter-Untergruppe einer freien Gruppe der Reihe k> 1 hat unendliche Reihe; zum Beispiel für F (a, b), wird es durch die Umschalter [a, b] für die NichtnullM und n frei erzeugt.
  4. Die freie Gruppe in zwei Elementen ist universal SQ; der obengenannte folgt, weil jede SQ universale Gruppe Untergruppen aller zählbaren Reihen hat.
  5. Jede Gruppe, die einem Baum, frei und Bewahrung der Orientierung folgt, ist eine freie Gruppe der zählbaren Reihe (gegeben durch 1 plus die Eigenschaft von Euler des Quotient-Graphen).
  6. Der Cayley Graph einer freien Gruppe der begrenzten Reihe, in Bezug auf ein freies gesetztes Erzeugen, ist ein Baum, auf dem die Gruppe frei handelt, die Orientierung bewahrend.
  7. Der groupoid Annäherung an diese Ergebnisse, die in der Arbeit von P.J. Higgins unten gegeben sind, ist Art von herausgezogenen aus einem Annäherungsverwenden, das Räume bedeckt. Es erlaubt stärkere Ergebnisse, zum Beispiel auf dem Lehrsatz von Grushko und einer normalen Form für den grundsätzlichen groupoid eines Graphen von Gruppen. In dieser Annäherung gibt es beträchtlichen Gebrauch von freiem groupoids auf einem geleiteten Graphen.
  8. Der Lehrsatz von Grushko hat die Folge dass, wenn eine Teilmenge B einer freien Gruppe F auf n Elementen F erzeugt und n Elemente hat, dann erzeugt B F frei.

Freie abelian Gruppe

Die freie abelian Gruppe auf einem Satz S wird über sein universales Eigentum auf die analoge Weise mit offensichtlichen Modifizierungen definiert:

Denken Sie ein Paar (F, φ), wo F eine abelian Gruppe und φ ist: S  ist F eine Funktion. Wie man sagt, ist F die freie abelian Gruppe auf S in Bezug auf φ wenn für jede abelian Gruppe G und jede Funktion ψ: S  G, dort besteht ein einzigartiger Homomorphismus f: F  G solch dass

:f (φ (s)) = ψ (s), für den ganzen s in S.

Die freie abelian Gruppe auf S kann als die freie Gruppe F (S) modulo die Untergruppe ausführlich identifiziert werden, die durch seine Umschalter, [F (S), F (S)] erzeugt ist, d. h.

sein abelianisation. Mit anderen Worten ist die freie abelian Gruppe auf S der Satz von Wörtern, die nur bis zur Ordnung von Briefen bemerkenswert sind. Die Reihe einer freien Gruppe kann deshalb auch als die Reihe seines abelianisation als eine freie abelian Gruppe definiert werden.

Die Probleme von Tarski

1945 hat Alfred Tarski gefragt, ob die freien Gruppen auf zwei oder mehr Generatoren dieselbe erste Ordnungstheorie haben, und ob diese Theorie entscheidbar ist. geantwortet auf die erste Frage durch die Vertretung, dass irgendwelche zwei nonabelian freien Gruppen dieselbe erste Ordnungstheorie haben, und auf beide Fragen geantwortet haben, zeigend, dass diese Theorie entscheidbar ist.

Ein ähnlicher ungelöster (2011) stellt in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie infrage fragt, ob die Gruppenalgebra von von Neumann irgendwelcher zwei non-abelian begrenzt freie Gruppen erzeugt haben, sind isomorph.

Siehe auch

Referenzen

  • W. Magnus, A. Karrass und D. Solitar, "kombinatorische Gruppentheorie", Dover (1976).
  • P.J. Higgins, 1971, "Categories und Groupoids", van Nostrand, {New York}. Nachdrücke in der Theorie und den Anwendungen von Kategorien, 7 (2005) Seiten 1-195.
  • J.-P. Serre, Bäume, Springer (2003) (englische Übersetzung "arbres, amalgames, SL", 3. Ausgabe, astérisque 46 (1983))
  • P.J. Higgins, "Der grundsätzliche groupoid eines Graphen von Gruppen", J. Londoner Mathematik. Soc. (2) {13}, (1976) 145-149.
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