Alfred Tarski (am 14. Januar 1901 - am 26. Oktober 1983) war ein polnischer Logiker und Mathematiker. Erzogen an der Universität Warschaus und einem Mitglied der Lwow-Warschauer Schule der Logik und der Warschauer Schule der Mathematik und Philosophie ist er in die USA 1939 emigriert, und hat unterrichtet und hat Forschung in der Mathematik an der Universität Kaliforniens, Berkeley von 1942 bis zu seinem Tod ausgeführt.

Ein fruchtbarer Autor, der für seine Arbeit an der Mustertheorie, metamathematics, und algebraische Logik am besten bekannt ist, er hat auch zu abstrakter Algebra, Topologie, Geometrie, Maß-Theorie, mathematischer Logik, Mengenlehre und analytischer Philosophie beigetragen.

Seine Biografen Anita und Solomon Feferman stellen fest, dass, "Zusammen mit seinem Zeitgenossen, Kurt Gödel, er das Gesicht der Logik im zwanzigsten Jahrhundert, besonders durch seine Arbeit am Konzept der Wahrheit und der Theorie von Modellen geändert hat."

Leben

Alfred Tarski war geborener Alfred Teitelbaum (polnische Rechtschreibung: "Tajtelbaum"), Eltern, die polnische Juden in bequemen Verhältnissen waren. Er hat zuerst seine mathematischen geistigen Anlagen während in der Höheren Schule an Warschaus Szkoła Mazowiecka manifestiert. Dennoch ist er in die Universität Warschaus eingegangen 1918 vorhabend, Biologie zu studieren.

Nachdem Polen Unabhängigkeit 1918 wiedergewonnen hat, ist Warschauer Universität Unter Führung Jan Łukasiewicz, Stanisław Leśniewski und Wacław Sierpiński gekommen und ist schnell eine Welt Hauptforschungseinrichtung in der Logik, foundational Mathematik und die Philosophie der Mathematik geworden. Leśniewski hat das Potenzial von Tarski als ein Mathematiker anerkannt und hat ihn überzeugt, Biologie aufzugeben. Künftig hat Tarski Kursen beigewohnt, die durch Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz und Tadeusz Kotarbiński unterrichtet sind, und ist die einzige Person jemals geworden, um ein Doktorat unter der Leśniewski's Aufsicht zu vollenden. Tarski und Leśniewski sind bald kühl zu einander gewachsen. Jedoch, im späteren Leben, hat Tarski sein wärmstes Lob für Kotarbiński vorbestellt, wie gegenseitig war.

1923 waren Alfred Teitelbaum und sein Bruder Wacław hat ihren Nachnamen "Tarski", ein Name geändert, den sie erfunden haben, weil es mehr Polnisch erklingen lassen hat, einfach, sich zu schreiben und sich auszusprechen, und sind unbenutzt geschienen. (Einige Jahre später hat Alfred einen anderen Alfred Tarski im nördlichen Kalifornien getroffen.) Die Brüder von Tarski haben sich auch zum römischen Katholizismus, Polens dominierender Religion umgewandelt. Alfred hat so getan, wenn auch er ein bestätigter Atheist war. Tarski war ein polnischer Nationalist, der sich als ein Pol gesehen hat und als solcher - später in Amerika hat völlig akzeptiert werden wollen, hat er Polnisch zuhause gesprochen.

Nach dem Werden die jüngste Person jemals, um ein Doktorat an der Warschauer Universität zu vollenden, hat Tarski Logik am polnischen Pädagogischen Institut, Mathematik und Logik an der Universität unterrichtet, und hat als Łukasiewicz's Helfer gedient. Weil diese Positionen, Tarski auch unterrichtete Mathematik an einer Warschauer Höheren Schule schlecht bezahlt wurden; vor dem Zweiten Weltkrieg war es für europäische Intellektuelle des Forschungskalibers ziemlich üblich, Höhere Schule zu unterrichten. Folglich zwischen 1923 und seiner Abfahrt für die Vereinigten Staaten 1939 hat Tarski nicht nur mehrere Lehrbücher und viele Zeitungen, mehrere sie bahnbrechend geschrieben, sondern auch hat so getan, während er sich in erster Linie unterstützt hat, indem er Mathematik der Höheren Schule unterrichtet hat. 1929 hat Tarski einen Mitlehrer Maria Witkowska, einen Polen der katholischen Herkunft geheiratet. Sie hatte als ein Bote für die Armee während Polens Kampfs für die Unabhängigkeit gearbeitet. Sie hatten zwei Kinder, einen Sohn Jan, der ein Physiker und eine Tochter Ina geworden ist, die den Mathematiker Andrzej Ehrenfeucht geheiratet hat.

Tarski hat sich um einen Vorsitzenden der Philosophie an der Lwów Universität beworben, aber an die Empfehlung von Bertrand Russell wurde es Leon Chwistek zuerkannt. 1930 hat Tarski die Universität Wiens besucht, hat zum Kolloquium von Karl Menger gelesen, und hat Kurt Gödel getroffen. Dank einer Kameradschaft ist er im Stande gewesen, nach Wien während der ersten Hälfte von 1935 zurückzukehren, um mit der Forschungsgruppe von Menger zu arbeiten. Von Wien ist er nach Paris gereist, um seine Ideen auf der Wahrheit auf der ersten Sitzung der Einheit der Wissenschaftsbewegung, eines Auswuchses des Wiener Kreises zu präsentieren. 1937 hat sich Tarski um einen Stuhl an der Poznań Universität beworben, aber der Stuhl wurde abgeschafft. Die Bande von Tarski zur Einheit der Wissenschaftsbewegung haben sein Leben gespart, weil sie darauf hinausgelaufen sind, dass er eingeladen wird, um die Einheit des Wissenschaftskongresses gehalten im September 1939 an der Universität von Harvard zu richten. So hat er Polen im August 1939 auf dem letzten Schiff verlassen, um von Polen für die Vereinigten Staaten vor der deutschen Invasion Polens und dem Ausbruch des Zweiten Weltkriegs zu segeln. Tarski ist ungern abgereist, weil Leśniewski ein paar Monate vorher gestorben war, eine Stelle schaffend, die Tarski gehofft hat zu besetzen. Er war zur nazistischen Drohung so vergesslich, dass er seine Frau und Kinder in Warschau verlassen hat; er hat sie wieder bis 1946 nicht gesehen. Während des Krieges ist fast seine ganze Großfamilie an den Händen der deutschen Besetzen-Behörden gestorben.

Einmal in den Vereinigten Staaten hat Tarski mehrer vorläufige unterrichtende und Forschungspositionen gehalten: Universität von Harvard (1939), Stadthochschule New Yorks (1940), und dank einer Kameradschaft von Guggenheim, des Instituts für die Fortgeschrittene Studie in Princeton (1942), wo er wieder Gödel getroffen hat. 1942 hat sich Tarski der Mathematik-Abteilung an der Universität Kaliforniens, Berkeley angeschlossen, wo er den Rest seiner Karriere ausgegeben hat. Tarski ist ein amerikanischer Bürger 1945 geworden. Obwohl emeritiert, von 1968 hat er bis 1973 unterrichtet und hat Doktorkandidaten bis zu seinem Tod beaufsichtigt. An Berkeley hat Tarski einen Ruf als ein schrecklicher und anspruchsvoller Lehrer, eine von vielen Beobachtern bemerkte Tatsache erworben:

Tatsächlich hat Tarski vierundzwanzig Doktordoktorarbeiten einschließlich (in der zeitlichen Reihenfolge) diejenigen von Andrzej Mostowski, Bjarni Jónsson, Julia Robinson, Robert Vaught, Solomon Feferman, Richard Montague, James Donald Monk, Haim Gaifman, Donald Pigozzi und Roger Maddux, sowie Chen Chung Chang und Jerome Keisler, Autoren der Vorbildlichen Theorie (1973), eines klassischen Textes im Feld beaufsichtigt. Er hat auch stark die Doktorarbeiten von Alfred Lindenbaum, Dana Scott und Steven Givant beeinflusst. Fünf der Studenten von Tarski waren Frauen, eine bemerkenswerte gegebene Tatsache, dass Männer eine überwältigende Mehrheit von Studenten im Aufbaustudium zurzeit vertreten haben.

Tarski hat in der Universitätsuniversität, London (1950, 1966), der Institut Henri Poincaré in Paris (1955), das Müller-Institut für die Grundlagenforschung in der Wissenschaft in Berkeley (1958-1960), der Universität Kaliforniens an Los Angeles (1967) und der Bischöflichen katholischen Universität Chiles (1974-75) gelesen. Unter vielen über den Kurs seiner Karriere gespeicherten Unterscheidungen wurde Tarski zur Nationalen USA-Akademie von Wissenschaften, der britischen Akademie und der Königlichen Kunstakademie von Niederlanden und den Wissenschaften gewählt, hat Ehrengrade von der Bischöflichen katholischen Universität Chiles 1975, von der Universität von Paul Cézanne von Marseilles 1977 und von der Universität Calgarys, sowie dem Zitat von Berkeley 1981 erhalten. Tarski hat die Vereinigung für die Symbolische Logik, 1944-46, und die Internationale Vereinigung für die Geschichte und Philosophie der Wissenschaft, 1956-57 geleitet. Er war auch ein Ehrenredakteur der Algebra Universalis.

Mathematiker

Die mathematischen Interessen von Tarski waren für einen mathematischen Logiker außergewöhnlich breit. Seine gesammelten Papiere, die zu ungefähr 2500 Seiten, die meisten von ihnen auf der Mathematik, nicht Logik geführt sind. Für einen kurzen Überblick über die mathematischen und logischen Ausführungen von Tarski durch seinen ehemaligen Studenten Solomon Feferman, sieh "Zwischenspiele I-VI" in Feferman und Feferman.

Das erste Papier von Tarski, veröffentlicht, als er 19 Jahre alt war, war auf der Mengenlehre, einem Thema, zu dem er überall in seinem Leben zurückgekehrt ist. 1924 haben er und Stefan Banach bewiesen, dass, wenn man das Axiom der Wahl akzeptiert, ein Ball in eine begrenzte Zahl von Stücken geschnitten, und dann in einen Ball der größeren Größe wieder versammelt werden kann, oder wechselweise es in zwei Bälle deren Größen jeder gleich dieser des ursprünglichen wieder versammelt werden kann. Dieses Ergebnis wird jetzt das Paradox von Banach-Tarski genannt.

In Einer Entscheidungsmethode für die elementare Algebra und Geometrie hat Tarski durch die Methode der quantifier Beseitigung gezeigt, dass die Theorie der ersten Ordnung der reellen Zahlen unter der Hinzufügung und Multiplikation entscheidbar ist. (Während dieses Ergebnis nur 1948 erschienen ist, geht es bis 1930 zurück und wurde in Tarski (1931) erwähnt.) Ist das ein sehr neugieriges Ergebnis, weil Kirche von Alonzo 1936 bewiesen hat, dass Arithmetik von Peano (die Theorie von natürlichen Zahlen) nicht entscheidbar ist. Arithmetik von Peano ist auch durch den Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel unvollständig. Seinen 1953 Unentscheidbare Theorien, Tarski u. a. hat gezeigt, dass viele mathematische Systeme, einschließlich der Gitter-Theorie, abstrakter projektiver Geometrie, und Verschluss-Algebra, alle unentscheidbar sind. Die Theorie von Gruppen von Abelian ist entscheidbar, aber diese von non-Abelian Gruppen ist nicht.

In den 1920er Jahren und 30er Jahren hat Tarski häufig Geometrie der Höheren Schule unterrichtet. Mit einigen Ideen von Mario Pieri 1926 hat Tarski einen ursprünglichen axiomatization für die Euklidische Flugzeug-Geometrie, eine beträchtlich kürzere ausgedacht als Hilbert. Die Axiome von Tarski bilden eine Theorie der ersten Ordnung, die an der Mengenlehre leer ist, deren Personen Punkte sind, und nur zwei primitive Beziehungen zu haben. 1930 hat er diese entscheidbare Theorie bewiesen, weil sie in eine andere Theorie kartografisch dargestellt werden kann, hatte er sich bereits entscheidbar, nämlich seine Theorie der ersten Ordnung der reellen Zahlen erwiesen.

1929 hat er gezeigt, dass so viel Euklidische Raumgeometrie der Körper als eine Theorie der ersten Ordnung umgearbeitet werden konnte, deren Personen Bereiche sind (ein primitiver Begriff), wird eine einzelne primitive binäre Beziehung "in", und zwei Axiome enthalten, die unter anderem andeuten, dass Eindämmung teilweise die Bereiche befiehlt. Das Entspannen der Voraussetzung, dass alle Personen, Bereiche sein, eine Formalisierung von mereology nachgeben, der viel leichter ist zu ex-postulieren als die Variante von Lesniewski. In der Nähe vom Ende seines Lebens hat Tarski einen sehr langen Brief, veröffentlicht als Tarski und Givant (1999) geschrieben, seine Arbeit an der Geometrie zusammenfassend.

Grundsätzliche Algebra haben Algebra studiert, deren Modelle die Arithmetik von Grundzahlen einschließen. Ordnungsalgebra legen eine Algebra für die zusätzliche Theorie von Ordnungstypen dar. Kardinal, aber nicht Ordnungs-, pendelt Hinzufügung.

1941 hat Tarski eine wichtige Zeitung auf binären Beziehungen veröffentlicht, die die Arbeit an der Beziehungsalgebra und seinem metamathematics begonnen haben, der Tarski und seine Studenten für viel vom Gleichgewicht seines Lebens besetzt hat. Während diese Erforschung (und die nah zusammenhängende Arbeit von Roger Lyndon) einige wichtige Beschränkungen der Beziehungsalgebra aufgedeckt hat, hat Tarski auch gezeigt (Tarski und Givant 1987), dass Beziehungsalgebra den grössten Teil axiomatischen Mengenlehre und Arithmetik von Peano ausdrücken kann. Für eine Einführung in die Beziehungsalgebra, sieh Maddux (2006). Gegen Ende der 1940er Jahre haben Tarski und seine Studenten cylindric Algebra ausgedacht, die zur Logik der ersten Ordnung sind, was die Zwei-Elemente-Algebra von Boolean zur klassischen sentential Logik ist. Diese Arbeit hat in den zwei Monografien durch Tarski, Henkin und Mönch (1971, 1985) kulminiert.

Logiker

Der Student von Tarski, Vaught, hat Tarski als einer der vier größten Logiker---aller Zeiten zusammen mit Aristoteles, Gottlob Frege und Kurt Gödel aufgereiht. Jedoch hat Tarski häufig große Bewunderung für Charles Sanders Peirce besonders für seine Pionierarbeit in der Logik von Beziehungen ausgedrückt.

Tarski hat Axiome für die logische Folge erzeugt, und hat an deduktiven Systemen, der Algebra der Logik und der Theorie von definability gearbeitet. Seine semantischen Methoden, die in der Mustertheorie er und mehrere seine Studenten von Berkeley entwickelt in den 1950er Jahren und 60er Jahren kulminiert haben, haben radikal den probetheoretischen metamathematics von Hilbert umgestaltet.

: "In der Ansicht [von Tarski] ist metamathematics ähnlich jeder mathematischen Disziplin geworden. Nicht nur können seine Konzepte und Ergebnisse mathematized sein, aber sie können wirklich in die Mathematik integriert werden.... Tarski hat die Grenzlinie zwischen metamathematics und Mathematik zerstört. Er hat gegen das Einschränken der Rolle von metamathematics zu den Fundamenten der Mathematik protestiert."

Der 1936-Artikel "On the concept of logical consequence" von Tarski hat behauptet, dass der Beschluss eines Arguments logisch von seinen Propositionen folgen wird, wenn, und nur wenn jedes Modell der Propositionen ein Modell des Beschlusses ist. 1937 hat er eine Zeitung veröffentlicht, die klar seine Ansichten auf der Natur und dem Zweck der deduktiven Methode und der Rolle der Logik in wissenschaftlichen Studien präsentiert. Seine Höhere Schule und Student, der auf der Logik und axiomatics unterrichtet, haben in einem klassischen kurzen Text, veröffentlicht zuerst in Polnisch, dann in der deutschen Übersetzung, und schließlich in einer 1941 englischen Übersetzung als Einführung in die Logik und in die Methodik von Deduktiven Wissenschaften kulminiert.

1969 von Tarski "Wahrheit und Beweis" hat sowohl die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel als auch den undefinability Lehrsatz von Tarski und mulled über ihre Folgen für die axiomatische Methode in der Mathematik gedacht.

Wahrheit auf formalisierten Sprachen

1933 hat Tarski einen sehr langen (mehr veröffentlicht als 100pp) Papier in Polnisch, betitelt "Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych", eine mathematische Definition der Wahrheit für formelle Sprachen darlegend. Die deutsche 1935-Übersetzung wurde "Der Wahrheitsbegriff im Bastelraum formalisierten Sprachen", (Das Konzept der Wahrheit auf formalisierten Sprachen), manchmal verkürzt zu "Wahrheitsbegriff" betitelt. Eine englische Übersetzung musste die 1956-Erstausgabe der Volumen-Logik, Semantik, Metamathematics erwarten. Dieses enorm zitierte Papier ist ein merkliches Ereignis im 20. Jahrhundert analytische Philosophie, ein wichtiger Beitrag zur symbolischen Logik, Semantik und der Philosophie der Sprache. Für eine kurze Diskussion seines Inhalts, sieh Wahrheit für eine kurze Beschreibung der "Tagung T" (sieh auch T-Diagramm) der Standard in der "induktiven Definition von Tarski der Wahrheit".

Etwas neue philosophische Debatte untersucht das Ausmaß, in dem die Theorie von Tarski der Wahrheit für formalisierte Sprachen als eine Ähnlichkeitstheorie der Wahrheit gesehen werden kann. Die Debatte-Zentren darauf, wie man die Bedingung von Tarski der materiellen Angemessenheit für eine Wahrheitsdefinition liest. Diese Bedingung verlangt, dass die Wahrheitstheorie das folgende als Lehrsätze für alle Sätze p der Sprache hat, für die Wahrheit definiert wird:

:'p' ist wenn und nur wenn p Wahr.

(wo p der Vorschlag ist, der durch "p" ausgedrückt ist)

Die Debatte beläuft sich darauf, ob man Sätze dieser Form wie liest

: "Schnee ist weiß" ist wahr, wenn, und nur wenn Schnee weißer ist

als das Ausdrücken bloß einer deflationistischen Theorie der Wahrheit oder als das Darstellen der Wahrheit als ein wesentlicheres Eigentum (sieh Kirkham 1992). Obwohl es wichtig ist zu begreifen, dass die Theorie von Tarski der Wahrheit für formalisierte Sprachen ist, haben so anführende Beispiele auf natürlicher Sprache keine Gültigkeit gemäß der Theorie von Tarski der Wahrheit.

Logische Folge

1936 hat Tarski polnische und deutsche Versionen eines Vortrags veröffentlicht, den er dem Vorjahr auf dem Internationalen Kongress der Wissenschaftlichen Philosophie in Paris gegeben hatte. Eine neue englische Übersetzung dieses Papiers, Tarski (2002), hebt die vielen Unterschiede zwischen den deutschen und polnischen Versionen des Papiers hervor, und korrigiert mehrere falsche Übersetzungen in Tarski (1983).

Diese Veröffentlichung hat die moderne mustertheoretische Definition (der semantischen) logischen Folge, oder mindestens die Basis dafür dargelegt. Ob der Begriff von Tarski völlig der moderne war, schaltet ein, ob er vorgehabt hat, Modelle mit unterschiedlichen Gebieten (und insbesondere Modelle mit Gebieten von verschiedenem cardinalities) zuzulassen. Diese Frage ist eine Sache von etwas Debatte in der aktuellen philosophischen Literatur. John Etchemendy hat viel von der neuen Diskussion über die Behandlung von Tarski von unterschiedlichen Gebieten stimuliert.

Tarski endet, indem er darauf hinweist, dass seine Definition der logischen Folge von einer Abteilung von Begriffen ins logische und das extralogische abhängt und er etwas Skepsis ausdrückt, dass jede solche objektive Abteilung bevorstehend sein wird. "Was sind Logische Begriffe?" kann so als weitergehend "Auf dem Konzept der Logischen Folge" angesehen werden.

Was sind logische Begriffe?

Eine andere Theorie der Anziehen-Aufmerksamkeit von Tarski in der neuen philosophischen Literatur die wird in sein entworfen, "Was sind Logische Begriffe?" (Tarski 1986). Das ist die veröffentlichte Version eines Gespräches, dass er 1966 gegeben hat; es wurde ohne seine direkte Beteiligung editiert.

Im Gespräch hat Tarski eine Abgrenzung der logischen Operationen vorgeschlagen (den er "Begriffe" nennt) vom nichtlogischen. Die angedeuteten Kriterien wurden aus dem Programm von Erlangen des deutschen Mathematikers des 19. Jahrhunderts, Felix Kleins abgeleitet. (Mautner 1946, und vielleicht ein Artikel vom portugiesischen Mathematiker Sebastiao e Silva, hat Tarski in der Verwendung des Erlangen Programms zur Logik vorausgesehen.)

Dieses Programm hat die verschiedenen Typen der Geometrie (Euklidische Geometrie, affine Geometrie, Topologie, usw.) durch den Typ einer einer Transformation des Raums auf sich klassifiziert, der die Gegenstände dieser geometrischen Theorie invariant verlassen hat. (Eine isomorphe Transformation ist eine funktionelle Karte des Raums auf sich, so dass jeder Punkt des Raums damit vereinigt oder zu einem anderem Punkt des Raums kartografisch dargestellt wird. Also, "lassen Sie 30 Grade rotieren" und "durch einen Faktor 2 vergrößern", sind intuitive Beschreibungen der einfachen Uniform Transformationen.) Dauernde Transformationen verursachen die Gegenstände der Topologie, Ähnlichkeitstransformationen zu denjenigen der Euklidischen Geometrie und so weiter.

Da die Reihe von erlaubten Transformationen breiter wird, wird die Reihe von Gegenständen, die man im Stande ist, wie bewahrt, durch die Anwendung der Transformationen zu unterscheiden, schmaler. Ähnlichkeitstransformationen sind ziemlich schmal (sie bewahren die Verhältnisentfernung zwischen Punkten), und erlauben Sie uns so, relativ viele Dinge (z.B, gleichseitige Dreiecke von nichtgleichseitigen Dreiecken) zu unterscheiden. Dauernde Transformationen (vom als Transformationen intuitiv gedacht werden kann, die das ungleichförmige Ausdehnen, die Kompression, das Verbiegen und die Drehung erlauben, aber kein Zerreißen oder glueing) erlauben uns, ein Vieleck von einem Ringrohr (Ring mit einem Loch im Zentrum) zu unterscheiden, aber erlauben uns nicht, zwei Vielecke von einander zu unterscheiden.

Der Vorschlag von Tarski war, die logischen Begriffe durch das Betrachten aller möglichen isomorphen Transformationen (automorphisms) von einem Gebiet auf sich abzugrenzen. Durch das Gebiet wird das Weltall des Gesprächs eines Modells für die semantische Theorie einer Logik gemeint. Wenn man den Wahrheitswert identifiziert, der mit dem Bereichssatz und dem mit dem leeren Satz Falschen Wahrheitswert wahr ist, dann werden die folgenden Operationen als logisch laut des Vorschlags aufgezählt:

1. Wahrheitsfunktionen: Alle Wahrheitsfunktionen werden durch den Vorschlag zugelassen. Das schließt ein, aber wird auf, alle n-stufigen Wahrheitsfunktionen für begrenzten n nicht beschränkt. (Es lässt auch Wahrheitsfunktionen mit jeder unendlichen Zahl von Plätzen zu.)
2. Personen: Keine Personen, vorausgesetzt dass das Gebiet mindestens zwei Mitglieder hat.
3. Prädikate:
4. *the-ein Platz ganze und ungültige Prädikate, der erstere, alle Mitglieder des Gebiets in seiner Erweiterung habend und keine Mitglieder des Gebiets in seiner Erweiterung letzt zu haben
5. *two-place ganze und ungültige Prädikate, der erstere, den Satz aller befohlenen Paare von Bereichsmitgliedern als seine Erweiterung und die Letzteren mit dem leeren Satz als Erweiterung habend
6. *the zweistelliges Identitätsprädikat, mit dem Satz aller Ordnungspaare
7. *the zweistelliges Ungleichheitsprädikat, mit dem Satz aller Ordnungspaare
8. *n-ary Prädikate im Allgemeinen: Alle Prädikate, die vom Identitätsprädikat zusammen mit der Verbindung, Trennung und Ablehnung (bis zu jedem ordinality definierbar sind, begrenzt oder unendlich)
9. Quantifiers: Tarski bespricht ausführlich nur monadischen quantifiers und weist darauf hin, dass alle diese numerischen quantifiers laut seines Vorschlags zugelassen werden. Diese schließen den normalen universalen und existenziellen quantifiers sowie numerischen quantifiers solcher als "Genau vier", "Begrenzt viele", "Unzählbar viele", und "Zwischen vier Millionen und 9 Millionen", zum Beispiel ein. Während Tarski ins Problem nicht eintritt, ist es auch klar, dass polyadic quantifiers laut des Vorschlags zugelassen werden. Das ist quantifiers wie, in Anbetracht zwei Prädikate haben Fx und Gy, "Haben mehr (x, y)", der "Mehr Dinge sagt, F als, G."
10. Mit dem Satz theoretische Beziehungen: Beziehungen wie Einschließung, Kreuzung und auf Teilmengen des Gebiets angewandte Vereinigung sind im gegenwärtigen Sinn logisch.
11. Satz-Mitgliedschaft: Tarski hat seinen Vortrag mit einer Diskussion dessen beendet, ob die Satz-Mitgliedschaft-Beziehung als logisch in seinem Sinn gezählt hat. (Gegeben die Verminderung (der meiste) Mathematik zur Mengenlehre, das, war tatsächlich, die Frage dessen, entweder die meisten oder die ganze Mathematik sind ein Teil der Logik.) Hat er darauf hingewiesen, dass Satz-Mitgliedschaft logisch ist, wenn Mengenlehre entlang den Linien der Typ-Theorie entwickelt wird, aber extralogical ist, wenn Mengenlehre axiomatisch, als in der kanonischen Zermelo-Fraenkel Mengenlehre dargelegt wird.
12. Logische Begriffe der höheren Ordnung: Während Tarski seine Diskussion auf Operationen der Logik der ersten Ordnung beschränkt hat, gibt es nichts über seinen Vorschlag, der es notwendigerweise auf die Logik der ersten Ordnung einschränkt. (Tarski hat wahrscheinlich seine Aufmerksamkeit auf Begriffe der ersten Ordnung eingeschränkt, weil das Gespräch einem nicht technischen Publikum gegeben wurde.) Also, höherwertiger quantifiers und Prädikate werden ebenso zugelassen.

In mancher Hinsicht ist der gegenwärtige Vorschlag der Revers von diesem von Lindenbaum und Tarski (1936), wer bewiesen hat, dass alle logischen Operationen von Russell und dem Principia Mathematica von Whitehead invariant unter isomorphen Transformationen des Gebiets auf sich sind. Der gegenwärtige Vorschlag wird auch in Tarski und Givant (1987) verwendet.

Solomon Feferman und Vann McGee haben weiter den Vorschlag von Tarski in der nach seinem Tod veröffentlichten Arbeit besprochen. Feferman (1999) erhebt Probleme für den Vorschlag und schlägt ein Heilmittel vor: das Ersetzen der Bewahrung von Tarski durch automorphisms mit der Bewahrung durch den willkürlichen Homomorphismus. Hauptsächlich überlistet dieser Vorschlag den Schwierigkeitsvorschlag von Tarski hat im Umgang mit der Gleichheit der logischen Operation über verschiedene Gebiete eines gegebenen cardinality und über Gebiete von verschiedenem cardinalities. Der Vorschlag von Feferman läuft auf eine radikale Beschränkung von logischen Begriffen verglichen mit dem ursprünglichen Vorschlag von Tarski hinaus. Insbesondere es endet damit, als logisch nur jene Maschinenbediener der Standardlogik der ersten Ordnung ohne Identität zu zählen.

McGee (1996) stellt eine genaue Rechnung dessen zur Verfügung, welche Operationen im Sinne des Vorschlags von Tarski in Bezug auf expressibility auf einer Sprache logisch sind, die Logik der ersten Ordnung durch das Erlauben willkürlich langen Verbindungen und Trennungen und Quantifizierung willkürlich viele Variablen erweitert. "Willkürlich" schließt eine zählbare Unendlichkeit ein.

Bibliografie

Arbeiten von Tarski

Anthologien und Sammlungen

• 1986. Die Gesammelten Papiere von Alfred Tarski, 4 vols. Givant, S. R. und McKenzie, R. N., Hrsg. Birkauser.
• Givant, Steven, 1986. "Bibliografie von Alfred Tarski", Zeitschrift der Symbolischen Logik 51: 913-41.
• 1983 (1956). Logik, Semantik, Metamathematics: Vorträge von 1923 bis 1938 von Alfred Tarski, Corcoran, J., Hrsg. Hackett. 1. Ausgabe, die editiert und von J. H. Woodger, Oxford Uni übersetzt ist. Drücken. Diese Sammlung enthält Übersetzungen aus dem Polnisch von einigen von wichtigsten Papieren von Tarski seiner frühen Karriere einschließlich Des Konzepts der Wahrheit auf Formalisierten Sprachen und Auf dem Konzept der Logischen Folge, die oben besprochen ist.

Ursprüngliche Veröffentlichungen von Tarski:

• 1930-Beitrag von Une ein la theorie de la mesure. Fonds-Mathematik 15 (1930), 42-50.
• 1930. (mit Jan Łukasiewicz). "Bastelraum von Untersuchungen uber Aussagenkalkul" ["Untersuchungen der Sentential Rechnung"], Comptes Rendus des seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie, Vol, 23 (1930) Kl. III, Seiten 31-32
• 1931. "Sur les ensembles définissables de nombres réels I", Fundamenta Mathematica 17: 210-239.
• 1936. "Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik", Actes du Congrès internationaler de philosophie scientifique, Sorbonne, Paris 1935, vol. III, Sprache und pseudo-problèmes, Paris, Hermann, 1936, Seiten 1-8.
• 1936. "Bastelraum von Über Begriff der logischen Folgerung", Actes du Congrès internationaler de philosophie scientifique, Sorbonne, Paris 1935, vol. VII, Logique, Paris: Hermann, Seiten 1-11.
• 1936 (mit Adolf Lindenbaum). "Auf den Beschränkungen von Deduktiven Theorien" in Tarski (1983): 384-92.
• 1994 (1941). Einführung in die Logik und in die Methodik von Deduktiven Wissenschaften. Dover.
• 1941. "Auf der Rechnung von Beziehungen", Zeitschrift der Symbolischen Logik 6: 73-89.
• 1944. "Das Semantische Konzept der Wahrheit und die Fundamente der Semantik," Philosophie und Phänomenologische Forschung 4: 341-75.
• 1948. Eine Entscheidungsmethode für die elementare Algebra und Geometrie. Santa Monica CA: RAND Corp.
• 1949. Grundsätzliche Algebra. Oxford Univ. Drücken.
• 1953 (mit Mostowski und Raphael Robinson). Unentscheidbare Theorien. Das nördliche Holland.
• 1956. Ordnungsalgebra. Nordholland.
• 1965. "Eine vereinfachte Formalisierung der Prädikat-Logik mit der Identität", Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 7: 61-79
• 1969. "Wahrheit und Beweis", Wissenschaftliche amerikanische 220: 63-77.
• 1971 (mit Leon Henkin und Donald Monk). Cylindric Algebra: Erster Teil. Nordholland.
• 1985 (mit Leon Henkin und Donald Monk). Cylindric Algebra: Zweiter Teil. Nordholland.
• 1986. "Was sind Logische Begriffe?", Corcoran, J., Hrsg., Geschichte und Philosophie der Logik 7: 143-54.
• 1987 (mit Steven Givant). Eine Formalisierung der Mengenlehre Ohne Variablen. Vorsehung RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft.
• 1999 (mit Steven Givant). "Das System von Tarski der Geometrie", Meldung der Symbolischen Logik 5: 175-214.
• 2002. "Auf dem Konzept von Folgenden Logisch" (Magda Stroińska und David Hitchcock, trans.) Geschichte und Philosophie der Logik 23: 155-96.

Biografische Verweisungen

• Givant, Steven, 1991. "Ein Bildnis von Alfred Tarski", Mathematischer Intelligencer 13: 16-32.

Logikliteratur

• Das Problem im Dezember 1986 der Zeitschrift der Symbolischen Logik überblickt die Arbeit von Tarski an der Mustertheorie (Robert Vaught), Algebra (Jonsson), unentscheidbare Theorien (McNulty), algebraische Logik (Donald Monk) und Geometrie (Szczerba). Das Problem im März 1988 derselben Zeitschrift überblickt seine Arbeit an der axiomatischen Mengenlehre (Azriel Levy), echte geschlossene Felder (Lou Van Den Dries), entscheidbare Theorie (Doner und Wilfrid Hodges), metamathematics (Blok und Pigozzi), Wahrheit und logische Folge (John Etchemendy) und allgemeine Philosophie (Patrick Suppes).
• Blok, W. J.; Pigozzi, Don, "die Arbeit von Alfred Tarski an General Metamathematics", Die Zeitschrift der Symbolischen Logik, Vol. 53, Nr. 1 (Mrz 1988), Seiten 36-50
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. Die Suche nach Mathematischen Wurzeln 1870-1940. Princeton Uni. Drücken.
• Kirkham, Richard, 1992. Theorien der Wahrheit. MIT Presse.
• Karl R. Popper, 1972, Hochwürdiger. Hrsg. 1979, "Philosophische Kommentare zur Theorie von Tarski der Wahrheit", mit dem Nachtrag, den Objektiven Kenntnissen, Oxford: 319-340.
• Sinaceur, H., 2001. "Alfred Tarski: Semantische Verschiebung, heuristische Verschiebung in metamathematics", Synthese 126: 49-65.
• Wolenski, Jan, 1989. Logik und Philosophie in der Lvov-Warschauer Schule. Reidel/Kluwer.
• Chang, C.C. und Keisler, H.J. 1973. Mustertheorie. Nordholland, Amsterdam. Amerikanischer Elsevier, New York.
• Etchemendy, John, 1999. Das Konzept der Logischen Folge. Stanford CA: CSLI Veröffentlichungen. Internationale Standardbuchnummer 1-57586-194-1
• Solomon Feferman, 1999. "Logik, Logik und Logicism," Notre Dame-Zeitschrift der Formalen Logik 40: 31-54.
• Maddux, Roger D., 2006. Beziehungsalgebra, vol. 150 in "Studien in der Logik und den Fundamenten der Mathematik", Elsevier Wissenschaft.
• Mautner, F. I., 1946. "Eine Erweiterung des Erlanger Programms von Klein: Logik als Invariant-Theorie", amerikanische Zeitschrift der Mathematik 68: 345-84.
• McGee, Kombi, 1996. "Logische Operationen", Zeitschrift der Philosophischen Logik 25: 567-80.
• Schmied, James T., 2010. "Definitions und Nondefinability in der Geometrie", amerikanischer Mathematischer Monatlicher 117:475-89.

Links

• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie:
• Die Wahrheitsdefinitionen von Tarski von Wilfred Hodges.
• Alfred Tarski durch Mario Gómez-Torrente.
• Satzfolge-Beziehungen und Algebraische Logik durch Ramon Jansana. Schließt eine ziemlich ausführliche Diskussion der Arbeit von Tarski an diesen Themen ein.
• Die semantische Theorie von Tarski über die Internetenzyklopädie der Philosophie.