In der Mathematik, spezifisch in der Kategorie-Theorie, ist eine pre-abelian Kategorie eine zusätzliche Kategorie, die alle Kerne und cokernels hat.

Dargelegt ausführlicher bedeutet das, dass eine Kategorie C pre-abelian wenn ist:

1. C ist vorzusätzlich, der über die monoidal Kategorie von abelian Gruppen bereichert wird;
2. C hat alle biproducts, die sowohl begrenzte Produkte als auch begrenzter coproducts sind;
3. in Anbetracht jedes morphism f: Ein  B in C, dem equaliser von f und der Null morphism von bis B besteht (das ist der Kern), wie den coequaliser tut (das ist der cokernel).

Bemerken Sie, dass die Null morphism im Artikel 3 als das Identitätselement des Hom-Satzes Hom identifiziert werden kann (A, B), der eine abelian Gruppe durch den Artikel 1 ist; oder als der einzigartige morphism hat Ein  O  B, wo O ein Nullgegenstand ist, versichert, durch den Artikel 2 zu bestehen.

Beispiele

Das ursprüngliche Beispiel einer zusätzlichen Kategorie ist die Kategorie Ab von abelian Gruppen.

Ab ist vorzusätzlich, weil es eine geschlossene monoidal Kategorie ist, ist der biproduct in Ab die begrenzte direkte Summe, der Kern ist Einschließung des gewöhnlichen Kerns von der Gruppentheorie, und der cokernel ist die Quotient-Karte auf den gewöhnlichen cokernel von der Gruppentheorie.

Andere allgemeine Beispiele:

• Die Kategorie von (linken) Modulen über einen Ring R, insbesondere:
• die Kategorie von Vektorräumen über Feld K.
• Die Kategorie von (Hausdorff) abelian topologische Gruppen.

Diese werden Ihnen eine Idee davon geben, was man denkt; für mehr Beispiele, sieh abelian Kategorie (jede abelian Kategorie ist pre-abelian).

Elementare Eigenschaften

Jede pre-abelian Kategorie ist natürlich eine zusätzliche Kategorie, und viele grundlegende Eigenschaften dieser Kategorien werden unter diesem Thema beschrieben.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Eigenschaften, die spezifisch wegen der Existenz von Kernen und cokernels bestehen.

Obwohl Kerne und cokernels spezielle Arten von equalisers und coequalisers sind, hat eine pre-abelian Kategorie wirklich den ganzen equalisers und coequalisers.

Wir bauen einfach den equaliser von zwei morphisms f und g als der Kern ihres Unterschieds g − f; ähnlich ist ihr coequaliser der cokernel ihres Unterschieds.

(Der alternative Begriff "Unterschied-Kern" für binären equalisers ist auf diese Tatsache zurückzuführen.)

Seitdem pre-abelian Kategorien haben alle begrenzten Produkte und coproducts (der biproducts) und der ganze binäre equalisers und coequalisers (wie gerade beschrieben) dann durch einen allgemeinen Lehrsatz der Kategorie-Theorie, sie haben alle begrenzten Grenzen und colimits.

D. h. pre-abelian Kategorien sind begrenzt abgeschlossen.

Die Existenz von beiden Kernen und cokernels gibt einen Begriff des Images und coimage.

Wir können diese als definieren

:im f: = ker coker f;

:coim f: = coker ker f.

D. h. das Image ist der Kern des cokernel, und der coimage ist der cokernel des Kerns.

Bemerken Sie, dass dieser Begriff des Images dem üblichen Begriff des Images oder Reihe von einer Funktion nicht entsprechen kann, sogar annehmend, dass die morphisms in der Kategorie Funktionen sind.

Zum Beispiel, in der Kategorie von topologischen abelian Gruppen, entspricht das Image eines morphism wirklich der Einschließung des Verschlusses der Reihe der Funktion.

Deshalb werden Leute häufig die Bedeutungen der zwei Begriffe in diesem Zusammenhang, mit "dem Image" für das abstrakte kategorische Konzept und "der Reihe" für das mit der Elementarfunktion theoretische Konzept unterscheiden.

In vielen allgemeinen Situationen, wie die Kategorie von Sätzen, wo Images und coimages bestehen, sind ihre Gegenstände isomorph.

Gestellt genauer haben wir einen factorisation von f: Ein  B als

:A  C  I  B,

wo der morphism links der coimage ist, ist der morphism rechts das Image, und der morphism in der Mitte (hat gerufen die Parallele von f) ist ein Isomorphismus.

In einer pre-abelian Kategorie ist das nicht notwendigerweise wahr.

Der factorisation, der oben gezeigt ist, besteht wirklich immer, aber die Parallele könnte kein Isomorphismus sein.

Tatsächlich ist die Parallele von f ein Isomorphismus für jeden morphism f, wenn, und nur wenn die pre-abelian Kategorie eine abelian Kategorie ist.

Ein Beispiel eines non-abelian, pre-abelian Kategorie, ist wieder, die Kategorie von topologischen abelian Gruppen.

Wie bemerkt, ist das Image die Einschließung des Verschlusses der Reihe; jedoch ist der coimage eine Quotient-Karte auf die Reihe selbst.

So ist die Parallele die Einschließung der Reihe in seinen Verschluss, der nicht ein Isomorphismus ist, wenn die Reihe bereits nicht geschlossen wurde.

Genauer functors

Rufen Sie zurück, dass alle begrenzten Grenzen und colimits in einer pre-abelian Kategorie bestehen.

In der allgemeinen Kategorie-Theorie wird ein functor link genau genannt, wenn es alle begrenzten Grenzen und genaues Recht bewahrt, wenn es den ganzen begrenzten colimits bewahrt. (Ein functor ist einfach genau, wenn er sowohl genau als auch richtig genau abreist.)

In einer pre-abelian Kategorie kann genauer functors in besonders einfachen Begriffen beschrieben werden.

Rufen Sie erstens zurück, dass ein Zusatz functor ein functor F ist: C  D zwischen vorzusätzlichen Kategorien, der als ein Gruppenhomomorphismus auf jedem Hom-Satz handelt.

Dann stellt es sich heraus, dass ein functor zwischen pre-abelian Kategorien genau verlassen wird, wenn, und nur wenn es zusätzlich ist und alle Kerne bewahrt, und es genau richtig ist, wenn, und nur wenn es zusätzlich ist und den ganzen cokernels bewahrt.

Bemerken Sie, dass ein genauer functor, weil er beide Kerne und cokernels bewahrt, alle Images und coimages bewahrt.

Genaue functors sind in der Studie von abelian Kategorien am nützlichsten, wo sie auf genaue Folgen angewandt werden können.

Spezielle Fälle

• Eine abelian Kategorie ist eine pre-abelian solche Kategorie, dass jeder monomorphism und epimorphism normal sind.

Die pre-abelian meistens studierten Kategorien sind tatsächlich abelian Kategorien; zum Beispiel ist Ab eine abelian Kategorie.

• Nicolae Popescu; 1973;; Academic Press, Inc.; vergriffener