Kinematics ist der Zweig der klassischen Mechanik, die die Bewegung von Punkten, Körper (Gegenstände) und Systeme von Körpern (Gruppen von Gegenständen) ohne Rücksicht der Kräfte beschreibt, die es verursachen. Der Begriff ist die englische Version vormittags des cinématique von Ampère,

den er vom Griechen, kinema (Bewegung, Bewegung), abgeleitet, kinein gebaut hat (um sich zu bewegen).

Die Studie von kinematics wird häufig die Geometrie der Bewegung genannt. (Sieh analytische Dynamik für mehr Detail auf dem Gebrauch).

Um Bewegung zu beschreiben, studiert kinematics die Schussbahnen von Punkten, Linien und anderen geometrischen Gegenständen und ihren Differenzialeigenschaften wie Geschwindigkeit und Beschleunigung. Kinematics wird in der Astrophysik verwendet, um die Bewegung von Himmelskörpern und Systemen, und im Maschinenbau, der Robotertechnik und biomechanics zu beschreiben, um die Bewegung von Systemen zu beschreiben, die aus angeschlossenen Teilen (Mehrverbindungssysteme) wie ein Motor, ein robotic Arm oder das Skelett des menschlichen Körpers zusammengesetzt sind.

Die Studie von kinematics kann in rein mathematische Ausdrücke abstrahiert werden. Zum Beispiel kann Folge durch Elemente des Einheitskreises im komplizierten Flugzeug vertreten werden. Andere planare Algebra werden verwendet, um das Scheren kartografisch darstellend der klassischen Bewegung in der absoluten Zeit und Raum zu vertreten und die Transformationen von Lorentz der relativistischen Zeit und Raums zu vertreten. Indem sie Zeit als ein Parameter in der Geometrie verwenden, haben Mathematiker eine Wissenschaft der kinematischen Geometrie entwickelt.

Der Gebrauch von geometrischen Transformationen, auch genannt starre Transformationen, um die Bewegung von Bestandteilen eines mechanischen Systems zu beschreiben, vereinfacht die Abstammung seiner Gleichungen der Bewegung, und ist zur dynamischen Analyse zentral.

Kinematische Analyse ist der Prozess zu messen die kinematischen Mengen haben gepflegt, Bewegung zu beschreiben. In der Technik, zum Beispiel, kann kinematische Analyse verwendet werden, um die Reihe der Bewegung für einen gegebenen Mechanismus zu finden, und, rückwärts arbeitend, kinematische Synthese entwirft einen Mechanismus für eine gewünschte Reihe der Bewegung. Außerdem wendet kinematics algebraische Geometrie auf die Studie des mechanischen Vorteils eines mechanischen Systems oder Mechanismus an.

Starre Transformationen

Die Bewegung von Bestandteilen eines mechanischen Systems wird durch die Befestigung eines Bezugsrahmens jedem Teil und die Bestimmung analysiert, wie die Verweisung Bewegung hinsichtlich einander einrahmt. Wenn die Strukturkraft der Teile dann genügend ist, kann ihre Deformierung vernachlässigt werden, und starre Transformationen haben gepflegt, diese Verhältnisbewegung zu definieren. Das bringt Geometrie in die Studie der mechanischen Bewegung.

Geometrie ist die Studie der Eigenschaften von Zahlen, die dasselbe bleiben, während der Raum auf verschiedene Weisen---mehr technisch umgestaltet wird, ist es die Studie von invariants unter einer Reihe von Transformationen.

Vielleicht am besten bekannt ist Höhere Schule Euklidische Geometrie, wo planare Dreiecke unter kongruenten Transformationen, auch genannt Isometrien oder starre Transformationen studiert werden. Diese Transformationen versetzen das Dreieck im Flugzeug, ohne den Winkel an jedem Scheitelpunkt oder den Entfernungen zwischen Scheitelpunkten zu ändern. Kinematics wird häufig als angewandte Geometrie beschrieben, wo die Bewegung eines mechanischen Systems mit den starren Transformationen der Euklidischen Geometrie beschrieben wird.

Die Koordinaten von Punkten im Flugzeug sind zwei dimensionale Vektoren in R, so sind starre Transformationen diejenigen, die die zwischen irgendwelchen zwei Punkten gemessene Entfernung bewahren. Die Euklidische Entfernungsformel ist einfach der Pythagoreische Lehrsatz. Der Satz von starren Transformationen in einem n-dimensional Raum wird die spezielle Euklidische Gruppe auf R genannt, und SE (n) angezeigt.

Versetzungen und Bewegung

Die Position eines Bestandteils eines mechanischen Systems hinsichtlich eines anderen wird durch das Einführen eines Bezugsrahmens sagen wir die M auf derjenigen definiert, die sich hinsichtlich eines festen Rahmens, F, auf dem anderen bewegt. Die starre Transformation oder Versetzung, der M hinsichtlich F definiert die Verhältnisposition der zwei Bestandteile. Eine Versetzung besteht aus der Kombination einer Folge und einer Übersetzung.

Der Satz aller Versetzungen der M hinsichtlich F wird den Konfigurationsraum der M genannt. Eine glatte Kurve von einer Position bis einen anderen in diesem Konfigurationsraum ist ein dauernder Satz von Versetzungen, genannt die Bewegung der M hinsichtlich F. Die Bewegung eines Körpers besteht aus einem dauernden Satz von Folgen und Übersetzungen.

Matrixdarstellung

Die Kombination einer Folge und Übersetzung im Flugzeug R kann durch 3x3 Matrix matrices vertreten, bekannt werden, weil sich homogen verwandelt. 3x3 verwandeln sich homogenous wird von 2x2 Folge-Matrix (φ) und 2x1 Übersetzungsvektor d = (d, d), als gebaut

:

\begin {bmatrix} \cos\phi &-\sin\phi & d_x \\\sin\phi & \cos\phi & d_y \\0 & 0 & 1\end {bmatrix}. </Mathematik>

Diese homogen verwandeln sich führen starre Transformationen auf den Punkten im Flugzeug z=1 durch, der auf Punkten mit Koordinaten p = (x, y, 1) ist.

Insbesondere lassen Sie p die Koordinaten von Punkten in einem Bezugsrahmen M zusammenfallend mit einem festen Rahmen F definieren. Dann, wenn der Ursprung der M durch den Übersetzungsvektoren d hinsichtlich des Ursprungs von F versetzt und durch den Winkel φ hinsichtlich der X-Achse von F rotieren gelassen wird, werden die neuen Koordinaten in F von Punkten in der M durch gegeben

:

Homogen verwandelt sich vertreten affine Transformationen. Diese Formulierung ist notwendig, weil eine Übersetzung nicht eine geradlinige Transformation von R ist. Jedoch, mit der projektiven Geometrie, so dass, wie man betrachtet, R eine Teilmenge von R ist, werden Übersetzungen affine geradlinige Transformationen.

Reine Übersetzung

Wenn sich ein starrer Körper bewegt, so dass, wie man sagt, sein Bezugsrahmen, den M hinsichtlich des festen Rahmens F, die Bewegung nicht rotieren lässt, reine Übersetzung ist. In diesem Fall ist die Schussbahn jedes Punkts im Körper ein Ausgleich der Schussbahn d (t) des Ursprungs der M, die, ist

:

So für Körper in der reinen Übersetzung werden die Geschwindigkeit und Beschleunigung jedes Punkts P im Körper durch gegeben

:

wo der Punkt die Ableitung in Bezug auf die Zeit und V anzeigt und A die Geschwindigkeit und Beschleunigung, beziehungsweise, vom Ursprung des bewegenden Rahmens M Rückruf sind, ist der Koordinatenvektor p in der M unveränderlich, so ist seine Ableitung Null.

Partikel kinematics

Partikel kinematics ist die Studie des kinematics einer einzelnen Partikel. Die Ergebnisse, die in der Partikel kinematics erhalten sind, werden verwendet, um den kinematics der Sammlung von Partikeln, Dynamik und in vielen anderen Zweigen der Mechanik zu studieren.

Position und Bezugsrahmen

Die Position eines Punkts im Raum ist die grundsätzlichste Idee in der Partikel kinematics. Um die Position eines Punkts anzugeben, muss man drei Dinge angeben: Der Bezugspunkt (hat häufig den Ursprung genannt), die Entfernung vom Bezugspunkt und der Richtung im Raum der Gerade vom Bezugspunkt bis die Partikel. Der Ausschluss von einigen dieser drei Rahmen macht die Beschreibung der unvollständigen Position.

Denken Sie zum Beispiel einen Turm 50 M der südlich von Ihrem Haus. Der Bezugspunkt, ist die Entfernung 50 M und die Richtung nach Süden Zuhause. Wenn ein einziger sagt, dass der Turm 50 M der südlich ist, ist die natürliche Frage die entsteht, "von wo?" Wenn man sagt, dass der Turm von Ihrem Haus nach Süden gerichtet ist, ist die Frage die entsteht, "wie weit?" Wenn man sagt, dass der Turm 50 M von Ihrem Haus ist, ist die Frage die entsteht, "in welche Richtung?" Folglich sind alle diese drei Rahmen für das Definieren einzigartig der Position eines Punkts im Raum entscheidend.

Position wird gewöhnlich durch mathematische Mengen beschrieben, die alle diese drei Attribute haben: Die allgemeinsten sind Vektoren und komplexe Zahlen. Gewöhnlich werden nur Vektoren verwendet. Für das Maß von Entfernungen und Richtungen werden gewöhnlich dreidimensionale Koordinatensysteme mit dem Ursprung verwendet, der mit dem Bezugspunkt zusammenfällt. Ein dreidimensionales Koordinatensystem (dessen Ursprung mit dem Bezugspunkt zusammenfällt) mit etwas Bestimmung für die Zeitmessung wird einen Bezugsrahmen oder Bezugssystem genannt, oder entwickeln Sie sich einfach. Alle Beobachtungen in der Physik sind ohne den Bezugsrahmen unvollständig, der wird angibt.

Positionsvektor

Der Positionsvektor einer Partikel ist ein Vektor, der vom Ursprung des Bezugsrahmens zur Partikel gezogen ist. Es drückt sowohl die Entfernung des Punkts vom Ursprung als auch seinen Sinn vom Ursprung aus. In drei Dimensionen kann die Position des Punkts A als ausgedrückt werden

:

wo x, y, und z die Kartesianischen Koordinaten des Punkts sind. Der Umfang des Positionsvektoren |r gibt die Entfernung zwischen dem Punkt A und dem Ursprung.

:

Die Richtungskosinus des Positionsvektoren stellen ein quantitatives Maß der Richtung zur Verfügung.

Es ist wichtig zu bemerken, dass der Positionsvektor einer Partikel nicht einzigartig ist. Der Positionsvektor einer gegebenen Partikel ist hinsichtlich verschiedener Bezugssysteme verschieden.

Versetzung

Versetzung ist ein Vektor, der den Unterschied in der Position zwischen zwei Punkten beschreibt, d. h. es ist die Änderung in der Position, die die Partikel während des Zeitabstands erlebt. Wenn Punkt A Position r = hat (x, y, z) und Punkt B Position r = hat (x, y, z), wird die Versetzung r B von A durch gegeben

:

Geometrisch ist Versetzung die kürzeste Entfernung zwischen den Punkten A und B. Versetzung, die vom Positionsvektoren verschieden ist, ist des Bezugsrahmens unabhängig. Das kann wie folgt verstanden werden: Die Positionen von Punkten sind Rahmenabhängiger jedoch, die kürzeste Entfernung zwischen jedem Paar von Punkten ist invariant auf der Übersetzung von einem Rahmen bis einen anderen (das Abhalten relativistischer Fälle).

Geschwindigkeit und Geschwindigkeit

Durchschnittliche Geschwindigkeit wird als definiert

:

wo Δr die Änderung in der Position ist und Δt der Zwischenraum der Zeit ist, im Laufe deren sich die Position ändert. Die Richtung dessen ist dasselbe als die Richtung der Änderung in der Position Δr als Δt> 0.

Geschwindigkeit ist das Maß der Rate der Änderung in der Position in Bezug auf die Zeit, d. h. wie sich die Entfernung eines Punkts mit jedem Moment der Zeit ändert. Geschwindigkeit ist auch ein Vektor. Sofortige Geschwindigkeit (die Geschwindigkeit in einem Moment der Zeit) kann als der Begrenzungswert der durchschnittlichen Geschwindigkeit definiert werden, weil der Zeitabstand Δt kleiner und kleiner wird. Sowohl Δr als auch Δt nähern sich Null, aber das Verhältnis nähert sich einer Nichtnullgrenze v. Das, ist

:

wo Dr eine unendlich klein kleine Versetzung ist und dt eine unendlich klein kleine Zeitdauer ist. Laut seiner Definition in der abgeleiteten Form, wie man sagen kann, ist Geschwindigkeit die Zeitrate des Stellungswechsels. Weiter, weil Dr zum wirklichen Pfad tangential ist, die Geschwindigkeit auch.

Da ein Positionsvektor selbst Rahmenabhängiger ist, ist Geschwindigkeit auch vom Bezugsrahmen abhängig.

Die Geschwindigkeit eines Gegenstands ist der Umfang |v von seiner Geschwindigkeit. Es ist eine Skalarmenge:

:

Die Entfernung ist durch eine Partikel gereist mit der Zeit ist eine nichtabnehmende Menge. Folglich ist ds/dt nichtnegativ, der andeutet, dass Geschwindigkeit auch nichtnegativ ist.

Beschleunigung

Durchschnittliche Beschleunigung (Beschleunigung im Laufe einer Zeitdauer) wird als definiert:

:

wo Δv die Änderung in der Geschwindigkeit ist und Δt der Zwischenraum der Zeit ist, im Laufe deren sich Geschwindigkeit ändert.

Beschleunigung ist die Vektor-Menge, die die Rate der Änderung mit der Zeit der Geschwindigkeit beschreibt. Sofortige Beschleunigung (die Beschleunigung in einem Moment der Zeit) wird als der Begrenzungswert der durchschnittlichen Beschleunigung definiert, weil Δt kleiner und kleiner wird. Unter solch einer Grenze,  a.

:

wo dv ein unendlich klein Kleingeld in der Geschwindigkeit ist und dt eine unendlich klein kleine Zeitdauer ist.

Kinematics der unveränderlichen Beschleunigung

Viele physische Situationen können modelliert werden, weil unveränderliche Beschleunigung wie Kugel-Bewegung in einer Prozession geht.

Wenn er

Beschleunigung in Bezug auf die Zeit integriert, gibt t die Änderung in der Geschwindigkeit. Wenn Beschleunigung sowohl in der Richtung als auch im Umfang unveränderlich ist, wie man sagt, erlebt der Punkt gleichförmig beschleunigte Bewegung. In diesem Fall können die integrierten Beziehungen vereinfacht werden:

::

Zusätzliche Beziehungen zwischen der Versetzung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, und Zeit können abgeleitet werden. Seitdem,

:

Durch das Verwenden der Definition eines Durchschnitts stellt diese Gleichung fest, dass, wenn die Beschleunigung unveränderliche durchschnittliche Geschwindigkeitszeitzeit ist, Versetzung gleichkommt.

Eine Beziehung ohne ausführliche Zeitabhängigkeit kann auch für die eindimensionale Bewegung abgeleitet werden. Das, bemerkend

:

wo · zeigt das Punktprodukt an. Das Teilen des t an beiden Seiten und das Ausführen der Punktprodukte:

:

Im Fall von der linearen Bewegung, (r - r) ist zu a parallel. Dann

:

Diese Beziehung ist nützlich, wenn Zeit ausführlich nicht bekannt ist.

Verhältnisgeschwindigkeit

Um die Bewegung des Gegenstands in Bezug auf den Gegenstand B zu beschreiben, wenn wir wissen, wie sich jeder in Bezug auf eine Verweisung bewegt, wenden O ein, wir können Vektor-Algebra verwenden. Wählen Sie einen Ursprung für die Verweisung, und lassen Sie die Positionen von Gegenständen A, B, und O durch r, r, und r angezeigt werden. Dann wendet die Position hinsichtlich der Verweisung ein, dass O ist

:

Folglich ist die Position hinsichtlich B

:

Die obengenannte Verhältnisgleichung stellt fest, dass die Bewegung hinsichtlich B der Bewegung hinsichtlich O minus die Bewegung von B hinsichtlich O gleich ist. Es kann leichter sein, sich dieses Ergebnis zu vergegenwärtigen, wenn die Begriffe umgeordnet werden:

:

oder, in Wörtern, ist die Bewegung hinsichtlich der Verweisung die von B plus die Verhältnisbewegung in Bezug auf B. Diese Beziehungen zwischen Versetzungen werden Beziehungen zwischen Geschwindigkeiten durch die einfache Zeitunterscheidung, und eine zweite Unterscheidung lässt sie sich für Beschleunigungen wenden.

Lassen Sie zum Beispiel Ann sich mit der Geschwindigkeit hinsichtlich der Verweisung bewegen (wir lassen die O Subschrift für die Bequemlichkeit fallen), und lassen Sie Bob sich mit der Geschwindigkeit bewegen, jede Geschwindigkeit, die in Bezug auf den Boden gegeben ist (spitzen Sie O an). Um zu finden, wie sich schnelle Ann hinsichtlich Bobs bewegt (nennen wir diese Geschwindigkeit), gibt die Gleichung oben:

:

Um zu finden, ordnen wir einfach diese Gleichung um, um vorzuherrschen:

:

Mit einer großen Geschwindigkeit V wo der Bruchteil V/c, c bedeutend ist die Geschwindigkeit des Lichtes, ein anderes Schema der Verhältnisgeschwindigkeit genannt Schnelligkeit zu sein, die von diesem Verhältnis abhängt, wird in der speziellen Relativität verwendet.

::

Kinematics ist die Studie dessen, wie sich Dinge bewegen. Hier interessieren wir uns für die Bewegung von normalen Gegenständen in unserer Welt. Ein normaler Gegenstand ist sichtbar, hat Ränder, und hat eine Position, die mit (x, y, z) Koordinaten ausgedrückt werden kann. Wir werden die Bewegung von Atompartikeln oder schwarzen Löchern oder Licht nicht besprechen.

Wir werden ein Vokabular und eine Gruppe von mathematischen Methoden schaffen, die diese gewöhnliche Bewegung beschreiben werden. Verstehen Sie, dass wir eine Sprache entwickeln werden, um Bewegung nur zu beschreiben. Wir werden damit nicht betroffen, was verursacht oder die Bewegung, oder richtiger, die Schwünge der Gegenstände ändert. Mit anderen Worten sind wir mit der Handlung von Kräften innerhalb dieses Themas nicht beschäftigt.

Koordinaten für Partikel-Schussbahnen

Die Schussbahn einer Partikel P wird durch seinen Koordinatenvektoren P gemessen in einem festen BezugsrahmenF definiert. Als sich die Partikel bewegt, verfolgt sein Koordinatenvektor P (t) eine Kurve im Raum, der durch gegeben ist

:

wo ich, j, und k die Einheitsvektoren entlang den X, Y sind und Z Äxte der Verweisung F beziehungsweise einrahmen. Es gibt mehrere Weisen, die Funktionen X (t), Y (t) und Z (t) zu definieren, um der Schussbahn auferlegte Einschränkungen zu vergleichen. Hier wird der besondere Fall von zylindrischen Koordinaten präsentiert.

Zylindrische Koordinaten

Wenn die Partikel P die Oberfläche eines kreisförmigen Zylinders vorwärtstreibt, ist es möglich, die Z Achse des festen Rahmens F mit der Achse des Zylinders auszurichten. Dann kann der Winkel θ um diese Achse im X-Y Flugzeug verwendet werden, um die Schussbahn als, zu definieren

:

Die zylindrischen Koordinaten für P (t) können durch das Einführen der radialen und tangentialen Einheitsvektoren, vereinfacht werden

:

Mit dieser Notation P nimmt (t) die Form, an

:

wo R unveränderlich ist.

Die Geschwindigkeit V ist die Zeitableitung der Schussbahn P (t),

:wo:

Wenn die Schussbahn P (t) nicht beschränkt wird, auf einem kreisförmigen Zylinder zu liegen, dann ändert sich der Radius R mit der Zeit, so haben wir

:

und

:

In diesem Fall wird die Beschleunigung A, der die Zeitableitung der Geschwindigkeit V ist, durch gegeben

:

Planare kreisförmige Schussbahnen

Ein spezieller Fall einer Partikel-Schussbahn auf einem kreisförmigen Zylinder kommt vor, wenn es keine Bewegung entlang der Z Achse, in welchem Fall gibt

:

wo R und Z Konstanten sind. In diesem Fall wird die Geschwindigkeit V durch gegeben

:

Die Beschleunigung der Partikel P, wird jetzt durch gegeben

:

Die Bestandteile

:

werden die radialen und tangentialen Bestandteile der Beschleunigung beziehungsweise genannt.

Die Notation für die winkelige winkelige und Geschwindigkeitsbeschleunigung wird häufig als definiert

:

so werden die radialen und tangentialen Beschleunigungsbestandteile für kreisförmige Schussbahnen auch als geschrieben

:

Folge eines Körpers um eine feste Achse

Winkeliger oder Rotationskinematics ist die Beschreibung der Folge eines Gegenstands. Die Beschreibung der Folge verlangt eine Methode, um Orientierung zu beschreiben. Allgemeine Beschreibungen schließen Winkel von Euler und den kinematics von durch algebraische Produkte veranlassten Umdrehungen ein.

Worin folgt, wird Aufmerksamkeit auf die einfache Folge über eine Achse der festen Orientierung eingeschränkt. Die Z-Achse ist für die Bequemlichkeit gewählt worden.

Die Beschreibung der Folge schließt dann diese drei Mengen ein:

• Winkelige Position: Die orientierte Entfernung von einem ausgewählten Ursprung auf der Rotationsachse zu einem Punkt eines Gegenstands ist ein Vektor r (t) Auffinden des Punkts. Der Vektor r (t) hat etwas Vorsprung (oder, gleichwertig, ein Bestandteil) r (t) auf einer Flugzeug-Senkrechte zur Achse der Folge. Dann ist die winkelige Position dieses Punkts der Winkel θ von einer Bezugsachse (normalerweise die positive X-Achse) zum Vektoren r (t) in einem bekannten Folge-Sinn (normalerweise gegeben durch die rechte Regel).
• Winkelige Geschwindigkeit: Die winkelige Geschwindigkeit ω ist die Rate, an der sich die winkelige Position θ in Bezug auf die Zeit t ändert:

:

Die winkelige Geschwindigkeit wird in der Abbildung 1 durch einen Vektoren Ω vertreten, entlang der Achse der Folge mit dem Umfang ω und durch die Richtung der Folge bestimmter Sinn, wie gegeben, durch die rechte Regel hinweisend.

• Winkelige Beschleunigung: Der Umfang der winkeligen Beschleunigung α ist die Rate, an der sich die winkelige Geschwindigkeit ω in Bezug auf die Zeit t ändert:

:

Die Gleichungen von Übersetzungskinematics können zu planarem Rotationskinematics mit dem einfachen variablen Austausch leicht erweitert werden:

::::

Hier sind θ und θ beziehungsweise, die anfänglichen und endgültigen winkeligen Positionen, ω und ω, sind beziehungsweise, die anfänglichen und endgültigen winkeligen Geschwindigkeiten, und α ist die unveränderliche winkelige Beschleunigung. Obwohl Position im Raum und Geschwindigkeit im Raum beide wahre Vektoren sind (in Bezug auf ihre Eigenschaften unter der Folge), wie winkelige Geschwindigkeit ist, ist Winkel selbst nicht ein wahrer Vektor.

Schussbahnen von Punkten in einem bewegenden Körper

Wichtige Formeln in kinematics definieren die Geschwindigkeit und Beschleunigung von Punkten in einem bewegenden Körper, weil sie Schussbahnen im Flugzeug oder dreidimensionalen Raum verfolgen. Das ist für das Zentrum der Masse eines Körpers besonders wichtig, der verwendet wird, um Gleichungen der Bewegung mit entweder dem zweiten Gesetz von Newton oder den Gleichungen von Lagrange abzuleiten.

Position

Um diese Formeln zu definieren, wird die Bewegung eines Bestandteils B eines mechanischen Systems durch den Satz von Folgen [(t)] und Übersetzungen d (t) gesammelt in die homogenous Transformation [T (t)] = [(t), d (t)] definiert. Lassen Sie p die Koordinaten eines Punkts P in in der bewegenden BezugsrahmenM gemessenem B sein, dann wird die Schussbahn dieses in F verfolgten Punkts durch gegeben

:

\begin {Bmatrix} \textbf {P} \\1\end {Bmatrix} = \begin {bmatrix} (t) & \textbf {d} (t) \\0 & 1\end {bmatrix }\

\begin {Bmatrix} \textbf {p} \\1\end {Bmatrix}. </Mathematik>

Diese Notation unterscheidet zwischen P = (X, Y, 1), und P = nicht (X, Y), der hoffentlich im Zusammenhang klar ist.

Diese Gleichung für die Schussbahn von P kann umgekehrt werden, um den Koordinatenvektoren p in der M als, zu schätzen

:

\begin {Bmatrix} \textbf {p} \\1\end {Bmatrix} = \begin {bmatrix} (t) ^T &-A (t) ^T\textbf {d} (t) \\0 & 1\end {bmatrix }\

\begin {Bmatrix} \textbf {P} (t) \\1\end {Bmatrix}. </Mathematik>

Dieser Ausdruck verwendet die Tatsache, dass das Umstellen einer Folge-Matrix auch sein Gegenteil ist, das ist

:

Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit des Punkts P entlang seiner Schussbahn P (t) wird als die Zeitableitung dieses Positionsvektoren, erhalten

:

\begin {Bmatrix} \textbf {V} _P \\0\end {Bmatrix} = \begin {bmatrix} \dot (t) & \dot {\\textbf {d}} (t) \\0 & 0 \end {bmatrix }\

\begin {Bmatrix} \textbf {p} \\1\end {Bmatrix}. </Mathematik>

Der Punkt zeigt die Ableitung in Bezug auf die Zeit an, und weil p unveränderlich ist, ist seine Ableitung Null.

Diese Formel kann modifiziert werden, um die Geschwindigkeit von P durch das Funktionieren auf seiner Schussbahn P (t) gemessen im festen Rahmen F zu erhalten. Vertreten Sie das Gegenteil verwandeln sich für p zur Geschwindigkeitsgleichung, um zu erhalten

:

\begin {Bmatrix} \textbf {P} (t) \\1\end {Bmatrix} = [S] \textbf {P}. </Mathematik>

Die Matrix [S] wird durch gegeben

:wo:

ist die winkelige Geschwindigkeitsmatrix.

Durch den Maschinenbediener [S] multiplizierend, nimmt die Formel für die Geschwindigkeit V die Form an

:

wo der Vektor ω der winkelige Geschwindigkeitsvektor ist, der bei den Bestandteilen der Matrix [Ω], der Vektor erhalten ist

:

ist die Position von P hinsichtlich des Ursprungs O vom bewegenden Rahmen M und

:

ist die Geschwindigkeit des Ursprungs O.

Beschleunigung

Die Beschleunigung eines Punkts P in einem bewegenden Körper B wird als die Zeitableitung seines Geschwindigkeitsvektoren, erhalten

:

Diese Gleichung kann durch die erste Computerwissenschaft ausgebreitet werden

:und:

Die Formel für die Beschleunigung A kann jetzt als erhalten werden

:

oder

:

wo α der winkelige Beschleunigungsvektor ist, der bei der Ableitung der winkeligen Geschwindigkeitsmatrix, erhalten ist

:

ist der Verhältnispositionsvektor und

:

ist die Beschleunigung des Ursprungs des bewegenden Rahmens M.

Kinematische Einschränkungen

Kinematische Einschränkungen sind Einschränkungen auf die Bewegung von Bestandteilen eines mechanischen Systems. Wie man betrachten kann, haben kinematische Einschränkungen zwei grundlegende Formen, (i) Einschränkungen, die aus Scharnieren, sliders und Nocken-Gelenken entstehen, die den Aufbau des Systems, genannt holonomic Einschränkungen, und (ii) Einschränkungen definieren, die der Geschwindigkeit des Systems wie die Schneide-Einschränkung von Schlittschuhen auf einem flachen Flugzeug auferlegt sind, oder rollend, ohne einer Scheibe oder Bereichs im Kontakt mit einem Flugzeug zu gleiten, die non-holonomic Einschränkungen genannt werden. Einschränkungen können auch aus anderen Wechselwirkungen wie das Rollen ohne das Gleiten entstehen, ist irgendwelche Bedingungsverbindungseigenschaften eines dynamischen Systems, das zu jeder Zeit für wahr halten muss. Unten sind einige allgemeine Beispiele:

Das Rollen ohne das Gleiten

Ein Gegenstand, der gegen eine Oberfläche ohne das Gleiten rollt, folgt der Bedingung, dass die Geschwindigkeit seines Zentrums der Masse dem Kreuzprodukt seiner winkeligen Geschwindigkeit mit einem Vektoren vom Punkt des Kontakts zum Zentrum der Masse, gleich

ist

:.

Für den Fall eines Gegenstands, der nicht Trinkgeld gibt oder sich dreht, nimmt das zu v = R ω ab.

Schnur von Inextensible

Das ist der Fall, wo Körper durch eine idealisierte Schnur verbunden werden, die in der Spannung bleibt und Länge nicht ändern kann. Die Einschränkung besteht darin, dass die Summe von Längen aller Segmente der Schnur die Gesamtlänge ist, und entsprechend die Zeitableitung dieser Summe Null ist. Sieh Kelvin und Tait und Fogiel. Ein dynamisches Problem dieses Typs ist das Pendel. Ein anderes Beispiel ist eine Trommel, die durch das Ziehen des Ernstes auf ein fallendes Gewicht gedreht ist, das dem Rand durch die inextensible Schnur beigefügt ist. Ein Gleichgewicht-Problem (nicht kinematisch) dieses Typs ist die Kettenlinie.

Kinematische Paare

Reuleaux hat die idealen Verbindungen zwischen Bestandteilen genannt, die eine Maschine, kinematische Paare bilden. Er hat zwischen höheren Paaren unterschieden, die, wie man sagte, Linienkontakt zwischen den zwei Verbindungen hatten und Paare gesenkt haben, die Bereichskontakt zwischen den Verbindungen haben. J. Phillips zeigt, dass es viele Weisen gibt, Paare zu bauen, die diese einfache Klassifikation nicht passen.

Niedrigeres Paar: Ein niedrigeres Paar ist ein ideales Gelenk oder holonomic Einschränkung, die Kontakt zwischen einem Punkt, Linie oder Flugzeug in einem bewegenden festen (dreidimensionalen) Körper zu einer entsprechenden Punkt-Linie oder Flugzeug im festen festen Körper aufrechterhält. Wir haben die folgenden Fälle:

• Ein wiederspiralförmiges Paar oder eingehängtes Gelenk, verlangen, dass eine Linie oder Achse, im bewegenden Körper co-linear mit einer Linie im festen Körper bleibt, und eine Flugzeug-Senkrechte zu dieser Linie im bewegenden Körper erhält Kontakt mit einem ähnlichen rechtwinkligen Flugzeug im festen Körper aufrecht. Das erlegt fünf Einschränkungen auf die Verhältnisbewegung der Verbindungen auf, die deshalb einen Grad der Freiheit hat, die reine Folge über die Achse des Scharniers ist.
• Ein prismatisches Gelenk oder slider, verlangt, dass eine Linie oder Achse, im bewegenden Körper co-linear mit einer Linie im festen Körper bleibt, und eine Flugzeug-Parallele zu dieser Linie im bewegenden Körper Kontakt mit einem ähnlichen parallelen Plan im festen Körper aufrechterhält. Das erlegt fünf Einschränkungen auf die Verhältnisbewegung der Verbindungen auf, die deshalb einen Grad der Freiheit hat. Dieser Grad der Freiheit ist die Entfernung des Gleitens entlang der Linie.
• Ein zylindrisches Gelenk verlangt, dass eine Linie oder Achse, im bewegenden Körper co-linear mit einer Linie im festen Körper bleibt. Es ist eine Kombination eines wiederspiralförmigen Gelenks und eines gleitenden Gelenks. Dieses Gelenk hat zwei Grade der Freiheit. Die Position des bewegenden Körpers wird von beiden die Folge über und das Gleiten entlang der Achse definiert.
• Ein kugelförmiges Gelenk oder Ball-Gelenk, verlangt, dass ein Punkt im bewegenden Körper Kontakt mit einem Punkt im festen Körper aufrechterhält. Dieses Gelenk hat drei Grade der Freiheit.
• Ein planares Gelenk verlangt, dass ein Flugzeug im bewegenden Körper Kontakt mit einem Flugzeug im festen Körper aufrechterhält. Dieses Gelenk hat drei Grade der Freiheit.

Höhere Paare: Allgemein ist ein höheres Paar eine Einschränkung, die verlangt, dass eine Kurve oder Oberfläche im bewegenden Körper Kontakt mit einer Kurve oder Oberfläche im festen Körper aufrechterhält. Zum Beispiel ist der Kontakt zwischen einem Nocken und seinem Anhänger ein höheres Paar genannt ein Nocken-Gelenk. Ähnlich ist der Kontakt zwischen den Involute-Kurven, die die verwickelnden Zähne von zwei Getrieben bilden, Nocken-Gelenke.

Kinematische Ketten

Starre Körper oder Verbindungen, die von kinematischen Paaren oder Gelenken verbunden sind, werden kinematische Ketten genannt. Mechanismen und Roboter sind Beispiele von kinematischen Ketten. Der Grad der Freiheit einer kinematischen Kette wird von der Zahl von Verbindungen und der Zahl und dem Typ von Gelenken mit der Beweglichkeitsformel geschätzt. Diese Formel kann auch verwendet werden, um die Topologien von kinematischen Ketten aufzuzählen, die einen gegebenen Grad der Freiheit haben, die als Typ-Synthese im Maschinendesign bekannt ist.

Beispiele von kinematischen Ketten: Die planaren Verbindungen des Grads der Freiheit, die von N-Verbindungen und j gesammelt sind, haben abgehangen, oder gleitende Gelenke sind:

• N=2, j=1: Das ist eine als der Hebel bekannte Zwei-Bars-Verbindung;
• N=4, j=4: Das ist die Vier-Bars-Verbindung;
• N=6, j=7: Das ist eine Sechs-Bars-Verbindung. Eine Sechs-Bars-Verbindung muss zwei Verbindungen haben, die drei Gelenke, genannt dreifältige Verbindungen unterstützen. Es gibt zwei verschiedene Topologien, die abhängen, wie die zwei dreifältigen Verbindungen verbunden werden. In der Watt-Topologie haben die zwei dreifältigen Verbindungen ein allgemeines Gelenk. In der Topologie von Stephenson haben die zwei dreifältigen Verbindungen kein allgemeines Gelenk und werden durch binäre Verbindungen verbunden;
• N=8, j=10: Die Acht-Bars-Verbindung hat 16 verschiedene Topologien;
• N=10, j=13: Die 10-Bars-Verbindung hat 230 verschiedene Topologien,
• N=12, j=16: Der 12-Bars-hat 6856 Topologien.

Sieh Sunkari und Schmidt für die Zahl 14- und 16-Bars-Topologien, sowie die Zahl von Verbindungstopologien, die zwei, drei und vier Grade der Freiheit haben.

Siehe auch

• Bewegung
• Entfernung
• Geschwindigkeit
• Beschleunigung
• Ruck (Physik)
• Analytische Mechanik
• Klassische Mechanik
• Angewandte Mechanik
• Himmlische Mechanik
• Augenhöhlenmechanik
• Die Gesetze von Kepler
• Statik
• Dynamik (Physik)
• Kinetik (Physik)
• Zentripetalkraft
• Romankraft
• Schicken Sie kinematics nach
• Gegenteil kinematics
• Kinematische Kopplung
• Vier-Bars-Verbindung
• Chebychev-Grübler-Kutzbach-Kriterium

Referenzen

Links

• Java applet 1D kinematics
• Physclips: Mechanik mit Zeichentrickfilmen und Video klammern von der Universität von New South Wales
• Kinematische Modelle für das Design Digitalbibliothek (KMODDL) Kino und Fotos von Hunderten von Arbeitsmodellen der mechanischen Systeme an der Universität von Cornell. Auch schließt eine E-Buchbibliothek von klassischen Texten auf dem mechanischen Design und der Technik ein.