Quadrieren das Quadrat ist das Problem, ein integriertes Quadrat mit einzigen weiteren integrierten Quadraten mit Ziegeln zu decken. (Ein integriertes Quadrat ist ein Quadrat, dessen Seiten Länge der ganzen Zahl haben.) Der Name wurde in einer humorvollen Analogie mit dem Quadrieren der Kreis ins Leben gerufen. Quadrieren das Quadrat ist eine leichte Aufgabe, wenn zusätzliche Bedingungen nicht gestellt werden. Die am meisten studierte Beschränkung besteht darin, dass das Quadrieren vollkommen ist, bedeutend, dass die Größen der kleineren Quadrate alle verschieden sind. Ein zusammenhängendes Problem ist Quadrieren das Flugzeug, das sogar mit der Beschränkung getan werden kann, dass jede natürliche Zahl genau einmal als eine Größe eines Quadrats vorkommt, indem sie mit Ziegeln deckt.

Vollkommene karierte Quadrate

Ein "vollkommenes" kariertes Quadrat ist ein solches Quadrat, dass jedes der kleineren Quadrate eine verschiedene Größe hat.

Es wird zuerst als registriert, von R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone und W. T. Tutte an der Universität von Cambridge studiert werden.

Sie haben umgestaltet in einen gleichwertigen elektrischen Stromkreis Quadrat-mit Ziegeln zu decken — sie haben ihn "Schmied-Diagramm" genannt — indem sie die Quadrate als Widerstände betrachtet haben, die ihren Nachbarn an ihrer Spitze und untersten Rändern in Verbindung gestanden haben, und dann die Stromkreis-Gesetze von Kirchhoff und Stromkreis-Zergliederungstechniken zu diesem Stromkreis angewandt haben.

Das erste vollkommene karierte Quadrat wurde von Roland Sprague 1939 gefunden.

Wenn wir nehmen solch ein mit Ziegeln zu decken, und ihn vergrößern, so dass der früher kleinste Ziegel jetzt die Größe des Quadrats S hat, haben wir daraus angefangen, dann sehen wir, dass wir davon erhalten des Flugzeugs mit integrierten Quadraten, jeder mit Ziegeln zu decken, eine verschiedene Größe habend.

Martin Gardner hat einen umfassenden Artikel http://www.squaring.net/history_theory/brooks_smith_stone_tutte_II.html veröffentlicht, der von W. T. Tutte über die frühe Geschichte des Quadrierens das Quadrat geschrieben ist.

Einfache karierte Quadrate

Ein "einfaches" kariertes Quadrat ist dasjenige, wo keine Teilmenge der Quadrate ein Rechteck oder Quadrat bildet, sonst ist es "zusammengesetzt". Das kleinste einfache vollkommene karierte Quadrat wurde von A. J. W. Duijvestijn entdeckt, der eine Computersuche verwendet. Wie man bewiesen hat, ist sein mit Ziegeln deckender Gebrauch 21 Quadrate, und minimal gewesen. Die kleinste vollkommene Zusammensetzung hat übereingestimmt Quadrat wurde von T.H. Willcocks 1946 entdeckt und hat 24 Quadrate; jedoch, erst als 1982, dass Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico und P. Leeuw es mathematisch bewiesen haben, um das Beispiel der niedrigsten Ordnung zu sein.

Das kleinste einfache karierte Quadrat bildet das Firmenzeichen der Dreieinigkeit Mathematische Gesellschaft.

Die Steppdecke von Frau Perkins

Wenn die Einschränkung aller Quadrate, die verschiedene Größen sind, ein kariertes solches Quadrat entspannt wird, dass die Seitenlängen der kleineren Quadrate keinen allgemeinen Teiler haben, der größer ist als 1, wird eine Steppdecke von "Frau Perkins" genannt. Mit anderen Worten sollte der größte allgemeine Teiler aller kleineren Seitenlängen 1 sein.

Das Steppdecke-Problem von Frau Perkins ist, eine Steppdecke von Frau Perkins mit wenigsten Stücken für einen gegebenen n × n Quadrat zu finden.

Quadrieren das Flugzeug

1975 hat Solomon Golomb die Frage aufgebracht, ob das ganze Flugzeug durch Quadrate mit Ziegeln gedeckt werden kann, deren Größen alle natürlichen Zahlen ohne Wiederholungen sind, die er die heterogene mit Ziegeln deckende Vermutung genannt hat. Dieses Problem wurde später von Martin Gardner in seiner Wissenschaftlichen amerikanischen Säule veröffentlicht und ist in mehreren Büchern erschienen, aber es hat sich über Lösung seit mehr als 30 Jahren hinweggesetzt. In Tilings und Mustern, veröffentlicht 1987, haben Branko Grünbaum und G. C. Shephard festgestellt, dass im ganzen vollkommenen integrierten tilings des Flugzeugs bekannt damals die Größen der Quadrate exponential gewachsen sind.

Kürzlich haben James Henle und Frederick Henle bewiesen, dass das tatsächlich getan werden kann. Ihr Beweis ist konstruktiv und geht durch "das Aufblasen" durch ein L-shaped Gebiet weiter, das durch zwei nebeneinander gebildet ist, und spülen Sie horizontal Quadrate verschiedener Größen dazu, eines größeren rechteckigen Gebiets vollkommen mit Ziegeln zu decken, dann hat das Angrenzen an das Quadrat der kleinsten Größe noch nicht gepflegt, einen anderen, größeres L-shaped Gebiet zu bekommen. Die Quadrate haben während des Luftstoßens beigetragen Verfahren hat Größen, die im Aufbau noch nicht erschienen sind und das Verfahren aufgestellt wird, so dass sich die resultierenden rechteckigen Gebiete in allen vier Richtungen ausbreiten, der führt des ganzen Flugzeugs mit Ziegeln zu decken.

Das Kubieren des Würfels

Das Kubieren des Würfels ist die Entsprechung in drei Dimensionen des Quadrierens das Quadrat: d. h. in Anbetracht eines Würfels C, des Problems des Teilens davon in begrenzt viele kleinere Würfel, keine kongruenten zwei.

Verschieden vom Fall des Quadrierens das Quadrat ist ein hartes, aber lösbares Problem, den Würfel kubierend, unmöglich. Das kann durch ein relativ einfaches Argument gezeigt werden. Denken Sie einen hypothetischen kubierten Würfel. Das unterste Gesicht dieses Würfels ist ein kariertes Quadrat; heben Sie der Rest des Würfels ab, so haben Sie ein Quadratgebiet des Flugzeugs, das mit einer Sammlung von Würfeln bedeckt ist

Denken Sie den kleinsten Würfel in dieser Sammlung, mit der Seite c (nennen Sie es S). Da das kleinste Quadrat eines karierten Quadrats an seinem Rand nicht sein kann, werden seine Nachbarn der ganze Turm darüber, meinend, dass es nicht Raum gibt, um einen Würfel der Seite zu stellen, die größer ist als c obendrein. Da der Aufbau ein kubierter Würfel ist, wird Ihnen nicht erlaubt, einen Würfel der c gleichen Seite zu verwenden; so nur kleinere Würfel können auf S stehen. Das bedeutet, dass das Spitzengesicht von S ein kariertes Quadrat sein muss, und das Argument durch den unendlichen Abstieg weitergeht. So ist es nicht möglich, einen Würfel in begrenzt viele kleinere Würfel verschiedener Größen zu analysieren.

Ähnlich ist es unmöglich, einen Hyperwürfel zu hyperkubieren, weil jede Zelle des Hyperwürfels ein kubierter Würfel und so weiter in die höheren Dimensionen würde sein müssen.

Referenzen

• C. J. Bouwkamp und A. J. W. Duijvestijn, Eindhoven Univ. Technologie, Abteilung der Mathematik. Bericht 92-WSK-03, November 1992.
• C. J. Bouwkamp und A. J. W. Duijvestijn, Eindhoven Universität der Technologie, Fakultät der Mathematik und Computerwissenschaft der Wissenschaft, des EUT Berichts 94-WSK-02, Dezember 1994.
• Bäche, R. L.; Schmied, C. A. B.; Stein, A. H.; und Tutte, W. T., Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
• Martin Gardner, "Quadrieren das Quadrat," im 2. Wissenschaftlichen amerikanischen Buch von Mathematischen Rätseln und Ablenkungen.
• Frederick V. Henle und James M. Henle, "Quadrieren das Flugzeug", Amerikaner Mathematisch Monatlich, 115, Januar 2008, 3-12

Außenverbindungen

• Vollkommene karierte Quadrate:
• http://www.squaring.net /
• http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_01_03.html
• http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml
• http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/square_dissect
• http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/sq.pdf
• Nirgends ordentliche karierte Quadrate:
• http://karlscherer.com /
• Die Steppdecke von Frau Perkins:
• Die Steppdecke von Frau Perkins auf MathWorld