In der Mathematik, mehr spezifisch komplizierten Analyse, ist der Rückstand eine komplexe Zahl, die zur Kontur proportional ist, die einer Meromorphic-Funktion entlang einem Pfad integriert ist, der eine seiner Eigenartigkeiten einschließt. (Mehr allgemein können Rückstände für jede Funktion berechnet werden, die holomorphic außer an den getrennten Punkten ist, selbst wenn einige von ihnen wesentliche Eigenartigkeiten sind.) Rückstände können ganz leicht geschätzt und, einmal bekannt werden, den Entschluss von allgemeinen Kontur-Integralen über den Rückstand-Lehrsatz erlauben.

Definition

Der Rückstand einer Meromorphic-Funktion an einer isolierten Eigenartigkeit, häufig angezeigt ist der einzigartige solcher Wert, der eine analytische Antiableitung in einer durchstochenen Platte hat

Beispiel

Als ein Beispiel, betrachten Sie die Kontur als integrierten

:

wo C eine einfache geschlossene Kurve ungefähr 0 ist.

Lassen Sie uns dieses Integral bewerten, ohne integrierte Standardlehrsätze zu verwenden, die für uns verfügbar sein können. Jetzt, die Reihe von Taylor für

ist

wohl bekannt, und wir setzen diese Reihe in den integrand ein. Das Integral wird dann

:

Lassen Sie uns den 1/z Faktor in die Reihe bringen, so erhalten wir

:

Das Integral bricht jetzt zu einer viel einfacheren Form zusammen. Rufen Sie das zurück

:

So, jetzt wird das Integral um C jedes anderen Begriffes nicht in der Form cz Null, und das Integral wird auf reduziert

:

Der Wert 1/4! ist der Rückstand von e/z an z = 0, und wird angezeigt

:

Das Rechnen von Rückständen

Nehmen Sie eine durchstochene Platte D = {z an: 0 (z − c) in der Reihenentwicklung von Laurent von f um c. Verschiedene Methoden bestehen, um diesen Wert zu berechnen, und von dessen Wahl Methode zu verwenden von der fraglichen Funktion, und auf der Natur der Eigenartigkeit abhängt.

Gemäß der integrierten Formel von Cauchy haben wir:

:

{1 \over 2\pi ich} \oint_\gamma f (z) \, dz </Mathematik>

wo γ einen Kreis um c in gegen den Uhrzeigersinn Weise verfolgt. Wir können den Pfad γ wählen, um ein Kreis des Radius ε um c zu sein, wo ε so klein ist, wie wir wünschen. Das kann für die Berechnung in Fällen verwendet werden, wo das Integral direkt berechnet werden kann, aber es ist gewöhnlich der Fall, dass Rückstände verwendet werden, um Berechnung von Integralen und nicht den anderen Weg ringsherum zu vereinfachen.

Absetzbare Eigenartigkeiten

Wenn die Funktion f zu einer Holomorphic-Funktion auf der ganzen Platte {z fortgesetzt werden kann: |z &minus; c

Es kann sein, dass die Funktion f als ein Quotient von zwei Funktionen, f (z) =g (z)/h (z) ausgedrückt werden kann, wo g und h Holomorphic-Funktionen in einer durchstochenen Nachbarschaft von c, mit h (c) = 0 und h' (c)  0 sind. In solch einem Fall vereinfacht die obengenannte Formel zu:

:

Grenze-Formel für höhere Ordnungspole

Mehr allgemein, wenn c ein Pol des Auftrags n ist, dann kann der Rückstand von f um z = c durch die Formel gefunden werden:

:

Diese Formel kann in der Bestimmung der Rückstände für Pole der niedrigen Ordnung sehr nützlich sein. Für höhere Ordnungspole können die Berechnungen schwer zu handhabend werden, und Reihenentwicklung ist gewöhnlich leichter. Auch für wesentliche Eigenartigkeiten müssen Rückstände häufig direkt von Reihenentwicklungen genommen werden.

Rückstand an der Unendlichkeit

Wenn die folgende Bedingung entsprochen wird:

:

dann kann der Rückstand an der Unendlichkeit mit der folgenden Formel geschätzt werden:

:

Reihe-Methoden

Wenn Teile oder die ganze Funktion in eine Reihe von Taylor oder Reihe von Laurent ausgebreitet werden können, die möglich sein kann, wenn die Teile oder der ganze die Funktion hat eine Standardreihenentwicklung, dann ist das Rechnen des Rückstands bedeutsam einfacher als durch andere Methoden.

1. Als ein erstes Beispiel, denken Sie, die Rückstände an den Eigenartigkeiten der Funktion zu berechnen

:

der verwendet werden kann, um bestimmte Kontur-Integrale zu berechnen. Diese Funktion scheint, eine Eigenartigkeit an z = 0 zu haben, aber wenn man den Nenner faktorisiert und so die Funktion als schreibt

:

es ist offenbar, dass die Eigenartigkeit an z = 0 eine absetzbare Eigenartigkeit ist und dann der Rückstand an z = 0 deshalb 0 ist.

Die einzige weitere Eigenartigkeit ist an z = 1. Rufen Sie den Ausdruck für die Reihe von Taylor für eine Funktion g (z) über z = a zurück:

:

Also, für g (z) = sündigen z, und = 1 haben wir

:

und für g (z) = 1/z und = 1 haben wir

:

Das Multiplizieren jener zwei Reihen und das Einführen 1 / (z &minus; 1) gibt uns

:

So ist der Rückstand von f (z) an z = 1 Sünde 1.

2. Das folgende Beispiel zeigt, dass, einen Rückstand durch die Reihenentwicklung schätzend, eine Hauptrolle durch den Inversionslehrsatz von Lagrange gespielt wird. Lassen Sie

:

seien Sie eine komplette Funktion, und lassen Sie

:

mit dem positiven Radius der Konvergenz, und damit. So ein lokales Gegenteil an 0, und ist meromorphic an 0. Dann haben wir:

:.

Tatsächlich,

:

</Mathematik>

weil die erste Reihe gleichförmig auf jedem kleinen Kreis ungefähr 0 zusammenläuft. Das Verwenden des Inversionslehrsatzes von Lagrange

:

und wir bekommen den obengenannten Ausdruck. Bemerken Sie, dass, mit den entsprechenden stärkeren symmetrischen Annahmen auf und, es auch folgt

:

wo ein lokales Gegenteil an 0 ist.

Siehe auch

• Die integrierte Formel von Cauchy
• Cauchy integrierter Lehrsatz
• Methoden der Kontur-Integration
• Der Lehrsatz von Morera
• Teilweise Bruchteile in der komplizierten Analyse

Außenverbindungen

• John H. Mathews. Modul für Rückstände.