In der komplizierten Analyse ist eine Meromorphic-Funktion auf einer offenen Teilmenge D des komplizierten Flugzeugs eine Funktion, die holomorphic auf dem ganzen D außer einer Reihe isolierter Punkte ist, die Pole für die Funktion sind. (Die Fachsprache kommt aus dem Alten griechischen meros , Teil, im Vergleich mit holos bedeutend, ganz bedeutend.)

Jede Meromorphic-Funktion auf D kann als das Verhältnis zwischen zwei Holomorphic-Funktionen (mit dem Nenner nicht unveränderlicher 0) definiert auf D ausgedrückt werden: Jeder Pol muss mit einer Null des Nenners zusammenfallen.

Intuitiv dann ist eine Meromorphic-Funktion ein Verhältnis von zwei wohl erzogenen (holomorphic) Funktionen. Solch eine Funktion wird noch wohl erzogen sein, außer vielleicht an den Punkten, wo der Nenner des Bruchteils Null ist. (Wenn der Nenner eine Null an z hat und der Zähler nicht tut, dann wird der Wert der Funktion unendlich sein; wenn beide Teile eine Null an z haben, dann muss man die Vielfältigkeit dieser Nullen vergleichen.)

Aus einem algebraischen Gesichtspunkt, wenn D verbunden wird, dann ist der Satz von Meromorphic-Funktionen das Feld von Bruchteilen des integrierten Gebiets des Satzes von Holomorphic-Funktionen. Das ist der Beziehung zwischen, die rationalen Zahlen, und, die ganzen Zahlen analog.

Zusätzlich, in der Gruppentheorie der 1930er Jahre, war eine Meromorphic-Funktion (oder einfach ein meromorph) eine Funktion von einer Gruppe G in sich, der das Produkt auf der Gruppe bewahrt. Das Image dieser Funktion wurde einen automorphism von G. genannt (Ähnlich eine Homomorphic-Funktion (oder homomorph) war eine Funktion zwischen Gruppen, die das Produkt bewahrt haben, während ein Homomorphismus das Image eines homomorph war.) Ist diese Fachsprache durch den Gebrauch des Endomorphismus für die Funktion selbst ohne speziellen dem Image der Funktion gegebenen Namen ersetzt worden, und so meromorph hat nicht mehr einen implizierten

Bedeutung innerhalb der Gruppentheorie.

Beispiele

• Alle vernünftigen Funktionen wie

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:are meromorphic auf dem ganzen komplizierten Flugzeug.

• Die Funktionen

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:as gut als die Gammafunktion und der Riemann zeta Funktion sind meromorphic auf dem ganzen komplizierten Flugzeug.

• Die Funktion

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: wird im ganzen komplizierten Flugzeug abgesehen vom Ursprung, 0 definiert. Jedoch, 0 ist nicht ein Pol dieser Funktion, eher eine wesentliche Eigenartigkeit. So ist diese Funktion nicht meromorphic im ganzen komplizierten Flugzeug. Jedoch ist es meromorphic (sogar holomorphic) darauf.

• Der komplizierte Logarithmus fungiert

::

:is nicht meromorphic auf dem ganzen komplizierten Flugzeug, weil es auf dem ganzen komplizierten Flugzeug weniger ein isolierter Satz von Punkten nicht definiert werden kann.

Die Funktion::

:is nicht meromorphic im ganzen Flugzeug da ist der Punkt ein Anhäufungspunkt von Polen und ist so nicht eine isolierte Eigenartigkeit. Die Funktion

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:is nicht meromorphic auch, weil es eine wesentliche Eigenartigkeit an 0 hat.

Eigenschaften

Da die Pole einer Meromorphic-Funktion isoliert werden, gibt es höchstens zählbar viele. Der Satz von Polen, kann wie veranschaulicht, durch die Funktion unendlich

sein:

Durch das Verwenden analytischer Verlängerung, absetzbare Eigenartigkeiten, meromorphic Funktionen zu beseitigen, kann hinzugefügt, abgezogen, multipliziert werden, und der Quotient kann wenn auf einem verbundenen Bestandteil von D gebildet werden. So, wenn D verbunden wird, bilden die Meromorphic-Funktionen ein Feld, tatsächlich eine Felderweiterung der komplexen Zahlen.

Meromorphic fungiert auf Oberflächen von Riemann

Auf einer Oberfläche von Riemann lässt jeder Punkt eine offene Nachbarschaft zu

der homeomorphic zu einer offenen Teilmenge des komplizierten Flugzeugs ist. Dadurch kann der Begriff einer Meromorphic-Funktion für jede Oberfläche von Riemann definiert werden.

Wenn D der komplette Bereich von Riemann ist, ist das Feld von Meromorphic-Funktionen einfach das Feld von vernünftigen Funktionen in einer Variable über das komplizierte Feld, da man beweisen kann, dass jede Meromorphic-Funktion auf dem Bereich vernünftig ist. (Das ist ein spezieller Fall des so genannten VERTROTTELTEN Grundsatzes.)

Für jede Oberfläche von Riemann ist eine Meromorphic-Funktion dasselbe als eine Holomorphic-Funktion, die zum Bereich von Riemann kartografisch darstellt, und die nicht unveränderlicher  ist. Die Pole entsprechen jenen komplexen Zahlen, die zu  kartografisch dargestellt werden.

Auf einer Nichtkompaktoberfläche von Riemann kann jede Meromorphic-Funktion als ein Quotient zwei (allgemein definiert) holomorphic Funktionen begriffen werden. Im Gegensatz auf einer Kompaktoberfläche von Riemann ist jede Holomorphic-Funktion unveränderlich, während dort immer nichtunveränderliche Meromorphic-Funktionen bestehen.

Funktionen von Meromorphic auf einer elliptischen Kurve sind auch bekannt als elliptische Funktionen.

Höhere Dimensionen

In mehreren komplizierten Variablen wird eine Meromorphic-Funktion definiert, um lokal ein Quotient von zwei Holomorphic-Funktionen zu sein. Zum Beispiel, ist eine Meromorphic-Funktion auf dem zweidimensionalen Komplex affine Raum. Hier ist es nicht mehr wahr, dass jede Meromorphic-Funktion als holomorphic Funktion mit Werten im Bereich von Riemann betrachtet werden kann: Es gibt eine Reihe der "Unbegrenztheit" von codimension zwei (im angeführten Beispiel dieser Satz besteht aus dem Ursprung).

Unterschiedlich in der Dimension ein, in höheren Dimensionen dort bestehen komplizierte Sammelleitungen, auf denen es keine nichtunveränderlichen Meromorphic-Funktionen, zum Beispiel, kompliziertste Ringe gibt.