Die geodesics sind große Kreiskreisbogen.]]

In der Mathematik, besonders unterschiedlichen Geometrie, einem geodätischen (oder) ist eine Generalisation des Begriffs einer "Gerade" zu "gekrümmten Räumen". In Gegenwart von metrischem Riemannian werden geodesics definiert (um lokal) der kürzeste Pfad zwischen Punkten im Raum zu sein. In Gegenwart von einer affine Verbindung werden geodesics definiert, um Kurven zu sein, deren Tangente-Vektoren parallel bleiben, wenn sie entlang ihr transportiert werden.

Der Begriff "geodätischer" kommt aus der Erdmessung, der Wissenschaft, die Größe und Gestalt der Erde zu messen; im ursprünglichen Sinn war ein geodätischer der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Erde, nämlich, einem Segment eines großen Kreises. Der Begriff ist verallgemeinert worden, um Maße in viel allgemeinere mathematische Räume einzuschließen; zum Beispiel, in der Graph-Theorie, könnte man einen geodätischen zwischen zwei Scheitelpunkten/Knoten eines Graphen denken.

Geodesics sind von besonderer Wichtigkeit in der allgemeinen Relativität, weil sie die Bewegung von Trägheitstestpartikeln beschreiben.

Einführung

Der kürzeste Pfad zwischen zwei Punkten in einem gekrümmten Raum kann durch das Schreiben der Gleichung für die Länge einer Kurve (eine Funktion f von einem offenen Zwischenraum von R zur Sammelleitung), und dann die Minderung dieser Länge mit der Rechnung von Schwankungen gefunden werden. Das hat einige geringe technische Probleme, weil es einen unendlichen dimensionalen Raum von verschiedenen Weisen gibt, den kürzesten Pfad zu parametrisieren. Es ist einfacher, nicht nur zu fordern, dass die Kurve lokal Länge minimiert, sondern auch dass es "mit der unveränderlichen Geschwindigkeit" parametrisiert wird, bedeutend, dass die Entfernung von f (s) zu f (t) entlang dem geodätischen zu |s−t proportional ist. Gleichwertig kann eine verschiedene Menge definiert werden, hat die Energie der Kurve genannt; Minderung der Energie führt zu denselben Gleichungen für einen geodätischen (hier "unveränderliche Geschwindigkeit" ist eine Folge von minimisation). Intuitiv kann man diese zweite Formulierung verstehen, indem man bemerkt, dass ein zwischen zwei Punkten gestrecktes Gummiband seine Länge zusammenziehen wird, und auf diese Weise seine Energie minimieren wird. Die resultierende Gestalt des Bandes ist ein geodätischer.

In der Riemannian Geometrie sind geodesics nicht dasselbe als "kürzeste Kurven" zwischen zwei Punkten, obwohl die zwei Konzepte nah verbunden sind. Der Unterschied ist, dass geodesics nur lokal die kürzeste Entfernung zwischen Punkten sind, und mit der "unveränderlichen Geschwindigkeit" parametrisiert werden. Gehend ist der "lange Umweg" auf einem großen Kreis zwischen zwei Punkten auf einem Bereich ein geodätischer, aber nicht der kürzeste Pfad zwischen den Punkten. Die Karte t  t vom Einheitszwischenraum bis sich gibt den kürzesten Pfad zwischen 0 und 1, aber ist nicht ein geodätischer, weil die Geschwindigkeit der entsprechenden Bewegung eines Punkts nicht unveränderlich ist.

Geodesics werden in der Studie der Geometrie von Riemannian und mehr allgemein metrischer Geometrie allgemein gesehen. In der allgemeinen Relativität beschreiben geodesics die Bewegung von Punkt-Partikeln unter dem Einfluss des Ernstes allein. Insbesondere der Pfad, der von einem fallenden Felsen, einem umkreisenden Satelliten oder der Gestalt einer planetarischen Bahn genommen ist, ist der ganze geodesics in der gekrümmten Raum-Zeit. Mehr allgemein befasst sich das Thema der sub-Riemannian Geometrie mit den Pfaden, die Gegenstände nehmen können, wenn sie nicht frei sind, und ihre Bewegung auf verschiedene Weisen beschränkt wird.

Dieser Artikel präsentiert den mathematischen Formalismus, der am Definieren, der Entdeckung und dem Beweis der Existenz von geodesics, im Fall von Riemannian und Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen beteiligt ist. Der Artikel geodätisch (allgemeine Relativität) bespricht den speziellen Fall der allgemeinen Relativität im größeren Detail.

Beispiele

Die vertrautesten Beispiele sind die Geraden in der Euklidischen Geometrie.

Auf einem Bereich sind die Images von geodesics die großen Kreise.

Der kürzeste Pfad vom Punkt, um B auf einem Bereich anzuspitzen, wird durch den kürzeren Kreisbogen des großen Kreises gegeben, der A und B durchgeht. Wenn A und B antipodische Punkte (wie der Nordpol und der Südpol) sind, dann gibt es ungeheuer viele kürzeste Pfade zwischen ihnen.

Metrische Geometrie

In der metrischen Geometrie ist ein geodätischer eine Kurve, die überall lokal eine Entfernung minimizer ist. Genauer, eine Kurve γ: Ich  M von einem Zwischenraum I der reals zur metrischen RaumM sind ein geodätischer, wenn es einen unveränderlichen v  0 solches gibt, dass für jeden t  ich es eine Nachbarschaft J t in mir solch gibt, dass für irgendwelchen wir haben

:

Das verallgemeinert den Begriff von geodätischen für Sammelleitungen von Riemannian. Jedoch in der metrischen Geometrie wird das betrachtete geodätische häufig mit natürlichem parameterization, d. h. in der obengenannten Identität v = 1 und ausgestattet

:

Wenn die letzte Gleichheit für den ganzen t, t I zufrieden ist, wird das geodätische einen minimierenden geodätischen oder kürzesten Pfad genannt.

Im Allgemeinen kann ein metrischer Raum keinen geodesics haben außer unveränderlichen Kurven. Am anderen Extrem, irgendwelchen zwei Punkten in einer Länge wird metrischer Raum durch eine Minderungsfolge von korrigierbaren Pfaden angeschlossen, obwohl diese Minderungsfolge zu einem geodätischen nicht zusammenzulaufen braucht.

Geometrie von Riemannian

In einer SammelleitungsM von Riemannian mit dem metrischen Tensor g biegt die Länge unaufhörlich differentiable γ: [a, b]  M wird durch definiert

:

Die Entfernung d (p, q) zwischen zwei Punkten p und q der M wird als der infimum der übernommenen Länge definiert alle dauernd, piecewise unaufhörlich differentiable biegen γ: [a, b]  solche M dass γ (a) = p und γ (b) = q. Mit dieser Definition der Entfernung, geodesics in einer Sammelleitung von Riemannian sind dann die lokal Entfernung minimierenden Pfade im obengenannten Sinn.

Die Minderungskurven von L in einem genug kleinen offenen Satz der M können durch Techniken der Rechnung von Schwankungen erhalten werden. Gewöhnlich führt man die folgende Handlung oder Energie funktioneller ein

:

Es ist dann genug, den funktionellen E, infolge der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz zu minimieren

:

mit der Gleichheit wenn, und nur wenn |dγ/dt | unveränderlich ist.

Die Euler-Lagrange Gleichungen der Bewegung für den funktionellen E werden dann in lokalen Koordinaten durch gegeben

:

wo die Symbole von Christoffel des metrischen sind. Das ist die geodätische Gleichung, die unten besprochen ist.

Rechnung von Schwankungen

Techniken der klassischen Rechnung von Schwankungen können angewandt werden, um die Energie funktioneller E zu untersuchen. Die erste Schwankung der Energie wird in lokalen Koordinaten durch definiert

:

Die kritischen Punkte der ersten Schwankung sind genau der geodesics. Die zweite Schwankung wird durch definiert

:

In einem passenden Sinn entstehen Nullen der zweiten Schwankung entlang einem geodätischen γ entlang Feldern von Jacobi. Felder von Jacobi werden so als Schwankungen durch geodesics betrachtet.

Indem

man abweichende Techniken von der klassischen Mechanik anwendet, kann man auch geodesics als Flüsse von Hamiltonian betrachten. Sie sind Lösungen der verbundenen Gleichungen von Hamilton-Jacobi, mit (pseudo-) Riemannian metrisch genommen als Hamiltonian.

Affine geodesics

Ein geodätischer auf einer glatten mannigfaltigen M mit einer affine Verbindung  wird als eine Kurve γ (t) solch definiert, dass der parallele Transport entlang der Kurve den Tangente-Vektoren zur Kurve, so bewahrt

an jedem Punkt entlang der Kurve, wo die Ableitung in Bezug darauf ist. Genauer, um die kovariante Ableitung davon zu definieren, ist zuerst notwendig, um sich bis zu unaufhörlich differentiable Vektorfeld in einem offenen Satz auszustrecken. Jedoch ist der resultierende Wert der Wahl der Erweiterung unabhängig.

Mit lokalen Koordinaten auf der M können wir die geodätische Gleichung schreiben (die Summierungstagung verwendend), als

:

wo die Koordinaten der Kurve γ (t) sind und die Symbole von Christoffel der Verbindung  sind. Das ist gerade eine gewöhnliche Differenzialgleichung für die Koordinaten. Es hat eine einzigartige Lösung, in Anbetracht einer anfänglichen Position und einer anfänglichen Geschwindigkeit. Deshalb, aus dem Gesichtswinkel von der klassischen Mechanik, kann von geodesics als Schussbahnen von freien Partikeln in einer Sammelleitung gedacht werden. Tatsächlich bedeutet die Gleichung, dass die Beschleunigung der Kurve keine Bestandteile in der Richtung auf die Oberfläche hat (und deshalb es auf der Tangentialebene der Oberfläche an jedem Punkt der Kurve rechtwinklig ist). Also, die Bewegung wird durch das Verbiegen der Oberfläche völlig bestimmt. Das ist auch die Idee von der allgemeinen Relativität, wo Partikel-Bewegung geodesics und das Verbiegen durch den Ernst verursacht werden.

Existenz und Einzigartigkeit

Lokaler Existenz- und Einzigartigkeitslehrsatz für geodesics stellt fest, dass geodesics auf einer glatten Sammelleitung mit einer affine Verbindung bestehen und einzigartig sind. Genauer:

:For jeder Punkt p in der M und für jeden Vektoren V in TM (der Tangente-Raum zur M an p) dort besteht ein einzigartiger geodätischer: Ich → solche M dass

:: und

::

:where bin ich ein maximaler offener Zwischenraum in R, der 0 enthält.

Im Allgemeinen kann ich nicht alle R bezüglich des Beispiels für eine offene Scheibe in R. sein

Der Beweis dieses Lehrsatzes folgt aus der Theorie von gewöhnlichen Differenzialgleichungen, dadurch zu bemerken, dass die geodätische Gleichung eine zweite Ordnung ODE ist. Existenz und Einzigartigkeit folgen dann aus dem Picard-Lindelöf Lehrsatz für die Lösungen von ODEN mit vorgeschriebenen anfänglichen Bedingungen. γ hängt glatt sowohl von p als auch von V ab.

Geodätischer Fluss

Geodätischer Fluss ist eine lokale R-Handlung auf dem Tangente-Bündel, das TM einer mannigfaltigen M folgendermaßen definiert

hat:

wo t  R, V  TM und das geodätische mit anfänglichen Daten anzeigt. So G (V) = exp ist (tV) die Exponentialkarte des Vektoren tV. Eine geschlossene Bahn des geodätischen Flusses entspricht einem geschlossenen geodätischen auf der M.

Auf (pseudo-) Sammelleitung von Riemannian wird der geodätische Fluss mit einem Fluss von Hamiltonian auf dem Kotangens-Bündel identifiziert. Der Hamiltonian wird dann durch das Gegenteil (pseudo-) Riemannian metrisch, bewertet gegen die kanonische eine Form gegeben. Insbesondere bewahrt der Fluss (pseudo-) Riemannian metrisch, d. h.

:.

Insbesondere wenn V ein Einheitsvektor ist, bleibt Einheitsgeschwindigkeit überall, so ist der geodätische Fluss Tangente zum Einheitstangente-Bündel. Der Lehrsatz von Liouville bezieht invariance eines kinematischen Maßes auf dem Einheitstangente-Bündel ein.

Geodätischer Spray

Der geodätische Fluss definiert eine Familie von Kurven im Tangente-Bündel. Die Ableitungen dieser Kurven definieren ein Vektorfeld auf dem Gesamtraum des Tangente-Bündels, das als der geodätische Spray bekannt ist.

Genauer verursacht eine affine Verbindung ein Aufspalten des doppelten Tangente-Bündels TTM in horizontale und vertikale Bündel:

:

Der geodätische Spray ist das einzigartige horizontale Vektorfeld W, befriedigend

:

an jedem Punkt v  TM; hier π: TTM  TM zeigt den pushforward (Differenzial) entlang dem Vorsprung π an: TM  M hat zum Tangente-Bündel verkehrt.

Mehr allgemein erlaubt derselbe Aufbau, ein Vektorfeld für jede Verbindung von Ehresmann auf dem Tangente-Bündel zu bauen. Für das resultierende Vektorfeld, um ein Spray zu sein (auf der gelöschten Tangente stopfen TM \{0}), ist es genug, dass die Verbindung equivariant unter positivem rescalings ist: Es braucht nicht geradlinig zu sein. D. h. (vgl macht sich Ehresmann connection#Vector davon und kovariante Ableitungen) es ist genug, dass der horizontale Vertrieb befriedigt

:

für alle X  TM \{0} und λ> 0. Hier d ist (S) der pushforward entlang dem Skalar homothety Ein besonderer Fall einer nichtlinearen Verbindung, die auf diese Weise entsteht, ist, der zu einer Sammelleitung von Finsler verkehrt hat.

Affine und projektiver geodesics

Gleichung ist invariant unter affine reparameterizations; d. h. parameterizations der Form

:

wo a und b unveränderliche reelle Zahlen sind. So abgesondert vom Spezifizieren einer bestimmten Klasse von eingebetteten Kurven bestimmt die geodätische Gleichung auch eine bevorzugte Klasse von parameterizations auf jeder der Kurven. Entsprechend werden Lösungen geodesics mit dem affine Parameter genannt.

Eine affine Verbindung wird von seiner Familie von parametrisiertem geodesics von affinely bis zur Verdrehung bestimmt. Die Verdrehung selbst betrifft tatsächlich die Familie von geodesics nicht, da die geodätische Gleichung nur vom symmetrischen Teil der Verbindung abhängt. Genauer, wenn zwei solche Verbindungen dass der Unterschied-Tensor sind

:

ist verdrehen - symmetrisch dann und haben denselben geodesics, mit demselben affine parameterizations. Außerdem gibt es eine einzigartige Verbindung, die denselben geodesics wie, aber mit der verschwindenden Verdrehung hat.

Geodesics ohne einen besonderen parameterization werden durch eine projektive Verbindung beschrieben.

Siehe auch

• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Die Beziehung von Clairaut
• Geschlossener geodätischer
• Komplizierter geodätischer
• Differenzialgeometrie von Kurven
• Exponentialkarte
• Geodätische Kuppel
• Geodätisch (allgemeine Relativität)
• Geodesics als Hamiltonian überflutet
• Hopf-Rinow Lehrsatz
• Innerer metrischer
• Feld von Jacobi
• Quasigeodätischer
• Das Lösen der geodätischen Gleichungen
• Zoll erscheinen
• Seefahrtskarte
• Linie von Rhumb (loxodrome)
• Großer Kreis (Erde geodätisch)
• Meridian-Kreisbogen
• . Sieh Kapitel 2.
• . Sieh Abschnitt 2.7.
• . Sieh Abschnitt 1.4.

.

• . Sieh Abschnitt 87.
• . Bemerken Sie besonders Seiten 7 und 10.

.

• . Sieh Kapitel 3.

Außenverbindungen

• Caltech Tutorenkurs auf der Relativität - Eine nette, einfache Erklärung von geodesics mit dem Begleitzeichentrickfilm.