In der Prädikat-Logik ist eine existenzielle Quantifizierung die Aussage eines Eigentums oder Beziehung mindestens einem Mitglied des Gebiets. Es wird durch das logische Maschinenbediener-Symbol  angezeigt (ausgesprochen "dort besteht" oder "für einige"), der den existenziellen quantifier genannt wird. Existenzielle Quantifizierung ist von der universalen Quantifizierung verschieden ("für alle"), der behauptet, dass das Eigentum oder die Beziehung für irgendwelche Mitglieder des Gebiets halten.

Symbole werden verschlüsselt und.

Grundlagen

Denken Sie eine Formel, die feststellt, dass eine natürliche Zahl multipliziert allein 25 ist.

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Das würde scheinen, eine logische Trennung wegen des wiederholten Gebrauches zu sein, "oder". Jedoch, macht "und so weiter" diesen Unmöglichen, um zu integrieren und als eine Trennung in der formalen Logik zu dolmetschen.

Statt dessen konnte die Behauptung mehr formell als umformuliert werden

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Das ist eine einzelne Behauptung mit der existenziellen Quantifizierung.

Diese Behauptung ist genauer als die ursprüngliche, weil der Ausdruck "und so weiter" alle natürlichen Zahlen und nichts mehr nicht notwendigerweise einschließt. Seitdem das Gebiet ausführlich nicht festgesetzt wurde, konnte der Ausdruck nicht formell interpretiert werden. In der gemessenen Behauptung, andererseits, werden die natürlichen Zahlen ausführlich erwähnt.

Dieses besondere Beispiel ist wahr, weil 5 eine natürliche Zahl ist, und wenn wir 5 n auswechseln, erzeugen wir "5 · 5 = 25", der wahr ist.

Es ist dass "n nicht von Bedeutung · n = 25" ist nur für eine einzelne natürliche Zahl, 5 wahr; sogar die Existenz einer einzelnen Lösung ist genug, um die existenzielle wahre Quantifizierung zu beweisen.

Im Gegensatz, "Für eine gerade Zahl n, n · n = 25" ist falsch, weil es keine gleichen Lösungen gibt.

Das Gebiet des Gesprächs, das angibt, den Werten die Variable n erlaubt wird zu nehmen, ist deshalb der kritischen Wichtigkeit in einer Wahrheit oder Falschheit einer Behauptung. Logische Verbindungen werden verwendet, um das Gebiet des Gesprächs einzuschränken, um ein gegebenes Prädikat zu erfüllen. Zum Beispiel:

:ist

zu logisch gleichwertig

:

Hier, "und" ist die logische Verbindung.

In der symbolischen Logik, "" (umgekehrt Brief "E" in einer Ohne-Serife-Schriftart) wird verwendet, um existenzielle Quantifizierung anzuzeigen. So, wenn P (a, b, c) das Prädikat "a ist · b = c" und ist der Satz von natürlichen Zahlen, dann

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ist die (wahre) Behauptung

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Ähnlich, wenn Q (n) das Prädikat "n ist, ist sogar", dann

:

ist die (falsche) Behauptung

:

In der Mathematik, dem Beweis "ein" kann Behauptung entweder durch einen konstruktiven Beweis erreicht werden, der einen Gegenstand ausstellt, der "ein" Behauptung, oder durch einen nichtkonstruktiven Beweis befriedigt, der zeigt, dass es solch einen Gegenstand geben muss, aber ohne denjenigen auszustellen.

Eigenschaften

Ablehnung

Eine gemessene Aussagefunktion ist eine Behauptung; so, wie Behauptungen, können gemessene Funktionen verneint werden. Das Symbol wird verwendet, um Ablehnung anzuzeigen.

Zum Beispiel, wenn P (x) die Aussagefunktion "x ist, ist zwischen 0 und 1" dann, für ein Gebiet des Gesprächs X aller natürlichen Zahlen, besteht die existenzielle Quantifizierung "Dort eine natürliche Zahl x, der zwischen 0 ist und 1" symbolisch festgesetzt wird:

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Das kann demonstriert werden, um unwiderruflich falsch zu sein. Ehrlich muss es gesagt werden, "Es ist nicht der Fall, dass es eine natürliche Zahl x gibt, der zwischen 0 und 1", oder symbolisch ist:

:.

Wenn es kein Element des Gebiets des Gesprächs gibt, für das die Behauptung wahr ist, dann muss es für alle jene Elemente falsch sein. D. h. die Ablehnung von

:ist

zu "Für jede natürliche Zahl x logisch gleichwertig, x ist nicht zwischen 0 und 1", oder:

:

Allgemein, dann, ist die Ablehnung einer existenziellen Quantifizierung einer Aussagefunktion eine universale Quantifizierung der Ablehnung dieser Aussagefunktion; symbolisch,

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Ein allgemeiner Fehler stellt fest, dass "alle Personen" nicht verheiratet sind (d. h. "dort keine Person besteht, die" verheiratet ist), wenn "nicht alle Personen" verheiratet sind (d. h. "dort eine Person besteht, die" nicht verheiratet ist), ist beabsichtigt:

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Ablehnung ist auch expressible durch eine Behauptung "für nicht", im Vergleich mit "für einige":

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Verschieden vom universalen quantifier verteilt der existenzielle quantifier über logische Trennungen:

Regeln der Schlussfolgerung

Eine Regel der Schlussfolgerung ist eine Regel, die einen logischen Schritt von der Hypothese bis Beschluss rechtfertigt. Es gibt mehrere Regeln der Schlussfolgerung, die den existenziellen quantifier verwerten.

Existenzielle Einführung (I) beschließt, dass, wenn, wie man bekannt, die Aussagefunktion für ein besonderes Element des Gebiets des Gesprächs wahr ist, dann muss es wahr sein, dass dort ein Element besteht, für das die Vorschlag-Funktion wahr ist. Symbolisch,

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Das Denken hinter der existenziellen Beseitigung (E) ist wie folgt: Wenn es ist vorausgesetzt, dass dort ein Element besteht, für das die Vorschlag-Funktion wahr ist, und wenn zu einem Schluss durch das Geben diesem Element einen willkürlichen Namen gelangen werden kann, ist dieser Beschluss notwendigerweise wahr, so lange es den Namen nicht enthält. Symbolisch, für einen willkürlichen c und für einen Vorschlag Q, in dem c nicht erscheint:

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muss für alle Werte von c über dasselbe Gebiet X wahr sein; sonst folgt die Logik nicht: Wenn c nicht willkürlich ist, und stattdessen ein spezifisches Element des Gebiets des Gesprächs ist, dann könnte das Angeben P (c) ungerechtfertigt mehr Information über diesen Gegenstand geben.

Der leere Satz

Die Formel ist immer, unabhängig von P (x) falsch. Das ist, weil den leeren Satz und keinen x jeder Beschreibung - ganz zu schweigen von einem x anzeigt, besteht Erfüllung eines gegebenen Prädikats P (x) - im leeren Satz. Siehe auch ausdruckslose Wahrheit.

Siehe auch

• Einzigartigkeitsquantifizierung
• Quantifiers
• Logik der ersten Ordnung

Referenzen