In der Mathematik, der Funktion von Lambert W, hat auch die Omega-Funktion oder den Produktlogarithmus genannt, ist eine Reihe von Funktionen,

nämlich die Zweige der umgekehrten Beziehung der Funktion f (w) = sind wir, wo e die Exponentialfunktion und w ist, jede komplexe Zahl. Mit anderen Worten ist die Definieren-Gleichung für W (z)

für jede komplexe Zahl z.

Da der Funktions-ƒ nicht injective ist, wird die Beziehung W (außer auf 0) mehrgeschätzt. Wenn wir Aufmerksamkeit auf reellwertigen W dann einschränken, wird die Beziehung nur für x  −1/e definiert, und wird auf (−1/e, 0) doppelt geschätzt; die zusätzliche Einschränkung W  −1 definiert eine einzeln geschätzte Funktion W (x). Wir haben W (0) = 0 und W (−1/e) = −1. Inzwischen hat der niedrigere Zweig W  −1 und wird W (x) angezeigt. Es nimmt von W (−1/e) = −1 zu W (0) = −. ab

Die Beziehung von Lambert W kann in Bezug auf Elementarfunktionen nicht ausgedrückt werden. Es ist in combinatorics zum Beispiel in der Enumeration von Bäumen nützlich. Es kann verwendet werden, um verschiedene Gleichungen zu lösen, die exponentials (z.B die Maxima des Plancks, Bose-Einsteins und Vertriebs von Fermi-Dirac) einschließen, und kommt auch in der Lösung von Verzögerungsdifferenzialgleichungen, wie y' (t) = ein y vor (t − 1).

Fachsprache

Die W-Funktion von Lambert wird nach Johann Heinrich Lambert genannt. Der Hauptzweig W wird von Wp in der Digitalbibliothek von Mathematischen Funktionen angezeigt, und der Zweig wird W von Wm dort angezeigt.

Die Notationstagung gewählt hier (mit W und W) folgt der kanonischen Verweisung auf der Funktion von Lambert-W durch Corless, Gonnet, Hasen, Jeffrey und Knuth.

Geschichte

Lambert hat zuerst die Transzendentale Gleichung des verwandten Lamberts 1758 gedacht, die zu einem Vortrag von Leonhard Euler 1783 geführt hat, der den speziellen Fall von uns besprochen hat. Jedoch das Gegenteil von wurden uns zuerst von Pólya und Szegő 1925 beschrieben. Die Funktion von Lambert W wurde jedes Jahrzehnt oder so in Spezialanwendungen "wieder entdeckt", aber seine volle Wichtigkeit wurde bis zu den 1990er Jahren nicht begriffen. Als es berichtet wurde, dass die Funktion von Lambert W eine genaue Lösung des mit dem Quant mechanischen doppelten gut Delta-Funktionsmodells von Dirac für gleiche Anklagen — eines grundsätzlichen Problems in der Physik zur Verfügung stellt — haben Corless und Entwickler des Ahorn-Computeralgebra-Systems eine Bibliothek suchen lassen, um zu finden, dass diese Funktion tatsächlich zur Natur allgegenwärtig war.

Rechnung

Ableitung

Durch die implizite Unterscheidung kann man zeigen, dass alle Zweige von W die Differenzialgleichung befriedigen

:

</Mathematik>

gegeben in Corless., um W zu schätzen.

Siehe auch

• Omega von Wright fungiert
• Die Trinom-Gleichung von Lambert
• Inversionslehrsatz von Lagrange
• Experimentelle Mathematik
• R=T Modell

Zeichen

• Chapeau-Blondeau, F. und Monir, A: "Einschätzung der Funktion von Lambert W und Anwendung auf die Generation des Verallgemeinerten Gaussian Geräusches Mit der Hochzahl 1/2", IEEE Trans. Signalverarbeitung, 50 (9), 2002
• Francis u. a. "Quantitative Allgemeine Theorie für das Periodische Atmen" Umlauf 102 (18): 2214. (2000). Der Gebrauch von Lambert fungiert, um mit der Verzögerung unterschiedliche Dynamik in menschlicher Krankheit zu lösen.
• Veberic, D., "Spaß mit Lambert W (x) Funktion" arXiv:1003.1628 (2010) habend. C ++ Durchführung mit der Wiederholung von Halley und Fritschs.

Links

• Nationales Institut für die Wissenschaft und Technologie Digitalbibliothek - Lambert W
• MathWorld - W-Funktion von Lambert
• Die Computerwissenschaft vom Lambert W fungiert
• Corless u. a. Zeichen über die Forschung von Lambert W
• Äußerste Mathematik. Monografien auf der Funktion von Lambert W, seiner numerischen Annäherung und den Generalisationen für W ähnliche Gegenteile von transzendentalen Formen mit wiederholten Exponentialtürmen.
• GPL C ++ Durchführung mit der Wiederholung von Halley und Fritschs.