In der Logik ist das Paradox von Richard eine semantische Antinomie in der Mengenlehre und natürlichen Sprache, die zuerst vom französischen Mathematiker Jules Richard 1905 beschrieben ist. Heute wird das Paradox normalerweise verwendet, um die Wichtigkeit vom sorgfältigen Unterscheiden zwischen Mathematik und metamathematics zu motivieren. Das Paradox war auch eine Motivation in der Entwicklung der aussagenden Mathematik.

Beschreibung

Die ursprüngliche Behauptung des Paradoxes, wegen Richards (1905), hat eine Beziehung zum diagonalen Argument des Kantoren auf dem uncountability des Satzes von reellen Zahlen.

Das Paradox beginnt mit der Beobachtung, dass bestimmte Ausdrücke in Englisch eindeutig reelle Zahlen definieren, während andere Ausdrücke in Englisch nicht tun. Zum Beispiel "Definiert die reelle Zahl, deren Teil der ganzen Zahl 17 ist, und dessen n-ter dezimaler Platz 0 ist, wenn n sogar und 1 ist, wenn n seltsam ist", die reelle Zahl 17.1010101..., während der Ausdruck "London in England ist", definiert keine reelle Zahl.

So gibt es eine unendliche Liste von englischen Ausdrücken (wo jeder Ausdruck von der begrenzten Länge ist, aber Längen ändern sich in der Liste), die eindeutig reelle Zahlen definieren; ordnen Sie diese Liste durch die Länge und dann Wörterbuch-Ordnung ein, so dass die Einrichtung kanonisch ist. Das gibt eine unendliche Liste der entsprechenden reellen Zahlen nach: r, r.... Definieren Sie jetzt eine neue reelle Zahl r wie folgt. Der Teil der ganzen Zahl von r ist 0, der n-te dezimale Platz von r ist 1, wenn der n-te dezimale Platz von r nicht 1 ist, und der n-te dezimale Platz von r 2 ist, wenn der n-te dezimale Platz von r 1 ist.

Das Vorangehen zwei Paragrafen ist ein Ausdruck auf Englisch, das eindeutig eine reelle Zahl r definiert. So muss r eine der Zahlen r sein. Jedoch wurde r gebaut, so dass er keinem der r gleichkommen kann. Das ist der paradoxe Widerspruch.

Analyse und Beziehung mit metamathematics

Das Paradox von Richard verlässt einen unhaltbaren Widerspruch, der analysiert werden muss, um einen Fehler zu finden.

Die vorgeschlagene Definition der neuen reellen Zahl r enthält klar eine begrenzte Reihe von Charakteren, und folglich scheint es zuerst, eine Definition einer reellen Zahl zu sein. Jedoch bezieht sich die Definition auf definability in Englisch selbst. Wenn es möglich wäre zu bestimmen, welche englische Ausdrücke wirklich eine reelle Zahl definieren, und die nicht tun, dann würde das Paradox durchgehen. So ist die Entschlossenheit des Paradoxes von Richard, dass es keine Weise gibt, genau eindeutig zu bestimmen, welche englische Sätze Definitionen von reellen Zahlen sind (sieh Guten 1966). D. h. es gibt keine Weise, in einer begrenzten Zahl von Wörtern zu beschreiben, wie man erzählt, ob ein willkürlicher englischer Ausdruck eine Definition einer reellen Zahl ist. Das ist nicht überraschend, weil die Fähigkeit, diesen Entschluss zu machen, auch die Fähigkeit einbeziehen würde, das stockende Problem zu beheben und jede andere nichtalgorithmische Berechnung durchzuführen, die in Englisch beschrieben werden kann.

Ein ähnliches Phänomen kommt in formalisierten Theorien vor, die im Stande sind, sich auf ihre eigene Syntax, wie Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) zu beziehen. Sagen Sie, dass eine Formel φ (x) eine reelle Zahl definiert, wenn es genau eine reelle Zahl r solch gibt, dass φ (r) hält. Dann ist es nicht möglich, in ZFC, dem Satz von allen (Zahlen von Gödel) Formeln zu definieren, die reelle Zahlen definieren. Da, wenn es möglich war, diesen Satz zu definieren, es zu diagonalize darüber möglich sein würde, eine neue Definition einer reellen Zahl im Anschluss an den Umriss des Paradoxes von Richard oben zu erzeugen. Bemerken Sie, dass der Satz von Formeln, die reelle Zahlen definieren, als ein Satz F bestehen kann; die Beschränkung von ZFC ist, dass es keine Formel gibt, die F ohne Berücksichtigung anderer Sätze definiert. Das ist nah mit dem indefinability Lehrsatz von Tarski verbunden.

Das Beispiel von ZFC illustriert die Wichtigkeit davon, den metamathematics eines formellen Systems von den Behauptungen des formellen Systems selbst zu unterscheiden. Das Eigentum D (φ), dass eine Formel φ ZFC eine einzigartige reelle Zahl definiert, ist nicht selbst expressible in ZFC, aber muss im metatheory studiert werden, der verwendet ist, um ZFC zu formalisieren. Aus diesem Gesichtspunkt, die Paradox-Ergebnisse von Richard vom Behandeln eines Aufbaus im metatheory (die Enumeration aller Behauptungen im ursprünglichen System, die reelle Zahlen definieren), als ob dieser Aufbau im ursprünglichen System geführt werden konnte.

Schwankung: Zahlen von Richardian

Eine Schwankung des Paradoxes verwendet ganze Zahlen statt reeller Zahlen, während sie den Selbstverweisungscharakter des Originals bewahrt. Denken Sie eine Sprache (wie Englisch), in dem die arithmetischen Eigenschaften von ganzen Zahlen definiert werden. Zum Beispiel "definiert die erste natürliche Zahl" das Eigentum, die erste natürliche Zahl, ein zu sein; und "nicht teilbar durch jede natürliche Zahl außer 1 und es" definiert das Eigentum, eine Primzahl zu sein. (Es ist klar, dass einige Eigenschaften ausführlich nicht definiert werden können, da jedes deduktive System mit einigen Axiomen anfangen muss. Aber zu den Zwecken dieses Arguments wird es angenommen, dass Ausdrücke wie "eine ganze Zahl die Summe von zwei ganzen Zahlen sind", werden bereits verstanden.) Während die Liste aller dieser möglichen Definitionen selbst unendlich ist, wird es leicht gesehen, dass jede individuelle Definition aus einer begrenzten Zahl von Wörtern, und deshalb auch einer begrenzten Zahl von Charakteren zusammengesetzt wird. Da das wahr ist, können wir die Definitionen, zuerst durch die Länge des Wortes und dann lexikografisch (in der Wörterbuch-Ordnung) bestellen.

Jetzt können wir jede Definition zum Satz von natürlichen Zahlen, solch kartografisch darstellen, dass die Definition mit der kleinsten Zahl von Charakteren und alphabetischer Reihenfolge der Nummer 1 entsprechen wird, wird die folgende Definition in der Reihe 2, und so weiter entsprechen. Da jede Definition mit einer einzigartigen ganzen Zahl vereinigt wird, dann ist es möglich, dass gelegentlich die einer Definition zugeteilte ganze Zahl diese Definition passt, d. h. die Zahl von Briefen in der Definition der ganzen Zahl gleichkommt. Wenn, zum Beispiel, die 43 Briefe lange (die Räume ignorierend), Beschreibung, die "durch eine ganze Zahl nicht teilbar ist, außer 1 und es" der Nummer 43 zugeteilt würde, dann würde das wahr sein. Seitdem 43 ist selbst durch jede ganze Zahl außer 1 und es nicht teilbar, dann hat die Zahl dieser Definition das Eigentum der Definition selbst. Jedoch kann das nicht immer der Fall sein. Wenn die Definition:" die erste natürliche Zahl" wurde der Nummer 4 zugeteilt, dann hat die Zahl der Definition das Eigentum der Definition selbst nicht. Dieses letzte Beispiel wird genannt als, das Eigentum zu haben, Richardian zu sein. So, wenn eine Zahl Richardian ist, dann ist die Definition entsprechend dieser Zahl ein Eigentum, das die Zahl selbst nicht hat. (Mehr formell "ist x Richardian", ist zu "x gleichwertig lässt das Eigentum durch den Definieren-Ausdruck nicht benennen, mit dem x im serienmäßig bestellten Satz von Definitionen aufeinander bezogen wird".)

Jetzt, da das Eigentum, Richardian zu sein, selbst ein numerisches Eigentum von ganzen Zahlen ist, gehört es in der Liste aller Definitionen von Eigenschaften. Deshalb wird das Eigentum, Richardian zu sein, eine ganze Zahl, n zugeteilt. Schließlich wird das Paradox: Ist n Richardian? Nehmen Sie an, dass n Richardian ist. Das ist nur möglich, wenn n das Eigentum durch den Definieren-Ausdruck nicht benennen lässt, mit dem n aufeinander bezogen wird. Mit anderen Worten bedeutet das, dass n nicht Richardian ist, unserer Annahme widersprechend. Jedoch, wenn wir annehmen, dass n nicht Richardian ist, dann hat es wirklich das Definieren-Eigentum, dem es entspricht. Das bedeutet definitionsgemäß, dass es Richardian wieder gegen die Annahme ist. So ist die Behauptung "n Richardian" kann entweder als wahr oder als falsch nicht durchweg benannt werden.

Beziehung zu predicativism

Ein anderer Gesichtspunkt auf dem Paradox von Richard bezieht sich auf mathematischen predicativism. In dieser Ansicht werden die reellen Zahlen etappenweise mit jeder Bühne definiert, die nur auf vorherige Stufen und andere Dinge anspielt, die bereits definiert worden sind. Aus einem aussagenden Gesichtspunkt ist es nicht gültig, um über alle reellen Zahlen im Prozess zu messen, eine neue reelle Zahl zu erzeugen, weil, wie man glaubt, das zu einem Teufelskreis-Problem in den Definitionen führt. Mengenlehren wie ZFC basieren auf dieser Sorte des aussagenden Fachwerks nicht, und erlauben impredicative Definitionen.

Richard (1905) hat eine Lösung des Paradoxes aus dem Gesichtspunkt von predicativisim präsentiert. Richard hat behauptet, dass der Fehler im paradoxen Aufbau war, dass der Ausdruck für den Aufbau der reellen Zahl r keine reelle Zahl wirklich eindeutig definiert, weil sich die Behauptung auf den Aufbau eines unendlichen Satzes von reellen Zahlen bezieht, von denen r selbst ein Teil ist. So sagt Richard, die reelle Zahl r wird als kein r eingeschlossen, weil die Definition von r den Kriterien nicht entspricht, um in die Folge von Definitionen eingeschlossen zu werden, die verwendet sind, um die Folge r zu bauen. Zeitgenössische Mathematiker geben zu, dass die Definition von r, aber aus einem verschiedenen Grund ungültig ist. Sie glauben, dass die Definition von r ungültig ist, weil es keinen bestimmten Begriff dessen gibt, wenn ein englischer Ausdruck eine reelle Zahl definiert, und also gibt es keine eindeutige Weise, die Folge r zu bauen.

Obwohl die Lösung von Richard des Paradoxes Bevorzugung mit Mathematikern nicht gewonnen hat, ist predicativism ein wichtiger Teil der Studie der Fundamente der Mathematik. Predicativism wurde zuerst im Detail von Henri Poincaré und Hermann Weyl in Das Kontinuum studiert, wo sie gezeigt haben, dass so viel elementare echte Analyse auf eine aussagende Weise geführt werden kann, die mit nur den natürlichen Zahlen anfängt. Mehr kürzlich ist predicativism von Solomon Feferman studiert worden, der Probetheorie verwendet hat, die Beziehung zwischen aussagenden und impredicative Systemen zu erforschen.

Siehe auch

• Algorithmische Informationstheorie
• Beere-Paradox, das auch durch die Sprache definierbare Zahlen verwendet.
• Der ontologische Beweis von Gödel
• Paradox von Grelling-Nelson
• Liste von Paradoxen
• Definierbarer Ordnungssatz, ein mit dem Satz theoretisches Konzept von definability, der selbst auf der Sprache der Mengenlehre definierbar

• Das Paradox von Russell: Der Satz aller jener Sätze beherrschen sich die nicht beherrschen sich?
• Übersetzt in

Außenverbindungen

• "Paradoxe und zeitgenössische Logik", Enzyklopädie von Stanford der Philosophie