In der Zahlentheorie ist eine algebraische ganze Zahl eine komplexe Zahl, die eine Wurzel von einem monic Polynom ist (ein Polynom, dessen Hauptkoeffizient 1 ist) mit Koeffizienten in (der Satz von ganzen Zahlen). Der Satz aller algebraischen ganzen Zahlen wird unter der Hinzufügung und Multiplikation geschlossen und ist deshalb ein Subring von durch A angezeigten komplexen Zahlen. Der Ring A ist der integrierte Verschluss von regelmäßigen ganzen Zahlen in komplexen Zahlen.

Der Ring von ganzen Zahlen eines numerischen Feldes K, angezeigt durch O, ist die Kreuzung von K und A: Es kann auch als die maximale Ordnung Feldes K charakterisiert werden.

Jede algebraische ganze Zahl gehört dem Ring von ganzen Zahlen von einem numerischen Feld. Eine Nummer x ist eine algebraische ganze Zahl, wenn, und nur wenn der Ring [x] als eine abelian Gruppe begrenzt erzeugt wird, die, als - Modul sagen soll.

Definitionen

Der folgende ist gleichwertige Definitionen einer algebraischen ganzen Zahl. Lassen Sie K ein numerisches Feld (d. h., eine begrenzte Erweiterung), mit anderen Worten, für einige durch den primitiven Element-Lehrsatz sein.

• ist eine algebraische ganze Zahl, wenn dort ein monic solches Polynom dass besteht.

• ist eine algebraische ganze Zahl, wenn das minimale monic Polynom von zu Ende darin ist.

• ist eine algebraische ganze Zahl, wenn begrenzt erzeugt - Modul ist.

• ist eine algebraische ganze Zahl, wenn dort begrenzt erzeugt - solches Untermodul dass besteht.

Algebraische ganze Zahlen sind ein spezieller Fall von integrierten Elementen einer Ringerweiterung. Insbesondere eine algebraische ganze Zahl ist ein integriertes Element einer begrenzten Erweiterung.

Beispiele

• Die einzigen algebraischen ganzen Zahlen, die im Satz von rationalen Zahlen gefunden werden, sind die ganzen Zahlen. Mit anderen Worten ist die Kreuzung von Q und A genau Z. Die rationale Zahl a/b ist nicht eine algebraische ganze Zahl, wenn b a nicht teilt. Bemerken Sie dass der Hauptkoeffizient des Polynoms bx − der ganzen Zahl b zu sein. Als ein anderer spezieller Fall ist die Quadratwurzel n einer natürlichen Zahl n eine algebraische ganze Zahl, und ist so vernunftwidrig, wenn n kein vollkommenes Quadrat ist.
• Wenn d eine quadratische freie ganze Zahl dann ist, ist die Erweiterung K = Q () ein quadratisches Feld von rationalen Zahlen. Der Ring von algebraischen ganzen Zahlen O enthält , da das eine Wurzel des monic Polynoms x &minus ist; d. Außerdem, wenn d  1 (mod 4) das Element (1 + )/2 auch eine algebraische ganze Zahl ist. Es befriedigt das Polynom x − x + (1 − d)/4 wo der unveränderliche Begriff (1 − d) ist/4 eine ganze Zahl. Der volle Ring von ganzen Zahlen wird durch  oder (1 + )/2 beziehungsweise erzeugt.
• Wenn ζ eine primitive n-te Wurzel der Einheit ist, dann ist der Ring von ganzen Zahlen des cyclotomic Feldes Q (ζ) genau Z [ζ].
• Wenn α eine algebraische ganze Zahl ist, dann ist eine andere algebraische ganze Zahl. Ein Polynom für β wird durch das Ersetzen x im Polynom für α erhalten.

Nichtbeispiel

• Wenn P (x) ein primitives Polynom ist, das Koeffizienten der ganzen Zahl hat, aber nicht monic ist, und P über Q nicht zu vereinfachend ist, dann ist keine der Wurzeln von P algebraische ganze Zahlen. (Hier primitiv wird im Sinn verwendet, dass der höchste gemeinsame Faktor des Satzes von Koeffizienten von P 1 ist; das ist schwächer als das Verlangen die Koeffizienten, relativ erst zu sein pairwise.)

Tatsachen

• Die Summe, der Unterschied und das Produkt von zwei algebraischen ganzen Zahlen sind eine algebraische ganze Zahl. Im Allgemeinen ist ihr Quotient nicht. Das monic beteiligte Polynom ist allgemein des höheren Grads als diejenigen der ursprünglichen algebraischen ganzen Zahlen, und kann durch die Einnahme von Endergebnissen und Factoring gefunden werden. Zum Beispiel, wenn x − x − 1 = 0, y − y − 1 = 0 und z = xy, dann x und y von z &minus beseitigend; xy und die Polynome, die durch x und y das Verwenden des Endergebnisses zufrieden sind, geben z − 3z − 4z + z + z − 1, der nicht zu vereinfachend ist, und das monic durch das Produkt zufriedene Polynom ist. (Um zu sehen, dass der xy eine Wurzel des X-Endergebnisses von z &minus ist; xy und x − x − 1 könnte man die Tatsache verwenden, dass das Endergebnis im durch seine zwei Eingangspolynome erzeugten Ideal enthalten wird.)
• Jede Zahl constructible aus den ganzen Zahlen mit Wurzeln, Hinzufügung und Multiplikation ist deshalb eine algebraische ganze Zahl; aber nicht alle algebraischen ganzen Zahlen sind so constructible: In einem naiven Sinn sind die meisten Wurzeln von nicht zu vereinfachendem quintics nicht. Das ist der Lehrsatz von Abel-Ruffini.
• Jede Wurzel eines monic Polynoms, dessen Koeffizienten algebraische ganze Zahlen sind, ist selbst eine algebraische ganze Zahl. Mit anderen Worten bilden die algebraischen ganzen Zahlen einen Ring, der in einigen seiner Erweiterungen integriert geschlossen wird.
• Der Ring von algebraischen ganzen Zahlen A ist ein Gebiet von Bézout.
• Daniel A. Marcus, Numerische Felder, die dritte Ausgabe, Springer-Verlag, 1977

Siehe auch

• Ganze Zahl von Gaussian
• Ganze Zahl von Eisenstein
• Wurzel der Einheit
• Der Einheitslehrsatz von Dirichlet
• Grundsätzliche Einheiten