In der Mathematik ist eine Methode, eine Gruppe zu definieren, durch eine Präsentation. Man gibt einen Satz S Generatoren an, so dass jedes Element der Gruppe als ein Produkt von Mächten von einigen dieser Generatoren und ein Satz R Beziehungen unter jenen Generatoren geschrieben werden kann. Wir sagen dann, dass G Präsentation hat

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Informell hat G die obengenannte Präsentation, wenn es die "freiste Gruppe ist, die" durch das S-Thema nur den Beziehungen R erzeugt ist. Formell, wie man sagt, hat die Gruppe G die obengenannte Präsentation, wenn es zum Quotienten einer freien Gruppe auf S durch die normale Untergruppe isomorph ist, die durch die Beziehungen R erzeugt ist.

Als ein einfaches Beispiel hat die zyklische Gruppe des Auftrags n die Präsentation

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wo 1 die Gruppenidentität ist. Das kann gleichwertig als geschrieben werden

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da Begriffe, die kein Gleichheitszeichen einschließen, genommen werden, um der Gruppenidentität gleich zu sein. Solche Begriffe werden relators genannt, sie von den Beziehungen unterscheidend, die ein Gleichheitszeichen einschließen.

Jede Gruppe hat eine Präsentation, und tatsächlich viele verschiedene Präsentationen; eine Präsentation ist häufig die kompakteste Weise, die Struktur der Gruppe zu beschreiben.

Ein nah zusammenhängendes, aber verschiedenes Konzept ist das einer absoluten Präsentation einer Gruppe.

Hintergrund

Eine freie Gruppe auf einem Satz S ist eine Gruppe, wo jedes Element als ein begrenztes Länge-Produkt der Form einzigartig beschrieben werden kann:

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wo die s Elemente von S sind, sind angrenzende s verschieden, und sind ganze Nichtnullzahlen (aber n kann Null sein). In weniger formellen Begriffen besteht die Gruppe aus Wörtern in den Generatoren und ihren Gegenteilen, Thema nur dem Annullieren eines Generators mit seinem Gegenteil.

Wenn G eine Gruppe ist, und S eine Erzeugen-Teilmenge von G ist, dann ist jedes Element von G auch der obengenannten Form; aber im Allgemeinen werden diese Produkte kein Element von G. einzigartig beschreiben

Zum Beispiel kann die zweiflächige Gruppe D der Ordnung sechzehn durch eine Folge, r vom Auftrag 8 erzeugt werden; und ein Flip, f, des Auftrags 2; und sicher ist jedes Element von D ein Produkt von r 's und f 's.

Jedoch haben wir, zum Beispiel, r f r = f, r = r usw.; so sind solche Produkte in D nicht einzigartig. Jede solche Produktgleichwertigkeit kann als eine Gleichheit zur Identität ausgedrückt werden; solcher als

:r f r f = 1

:r = 1

:f = 1.

Informell können wir diese Produkte linker Hand als Seite als seiend Elemente der freien Gruppe F = <r,f&gt betrachten; und kann die Untergruppe R F denken, der durch diese Schnuren erzeugt wird; von denen jeder auch zu 1, wenn betrachtet, als Produkte in D gleichwertig sein würde.

Wenn wir dann N die Untergruppe von durch alle erzeugtem F sein lassen, konjugiert x R x von R, dann ist es aufrichtig, um zu zeigen, dass jedes Element von N ein begrenztes Produkt x r x. ist.. x r x Mitglieder von solchem paart sich. Hieraus folgt dass

N ist eine normale Untergruppe von F; und dass jedes Element von N, wenn betrachtet, als ein Produkt in D, auch zu 1 bewerten wird. So ist D zur Quotient-Gruppe F/N isomorph. Wir sagen dann, dass D Präsentation hat

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Definition

Lassen Sie S ein Satz sein und F die freie Gruppe auf S sein zu lassen. Lassen Sie R eine Reihe von Wörtern auf S sein, so gibt R natürlich eine Teilmenge von F. Eine Gruppe mit der Präsentation zu bilden

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Die Elemente von S werden die Generatoren dessen genannt

Es ist eine übliche Praxis, um relators in der Form = zu schreiben, wo und Wörter darauf sind. Was das bedeutet, ist das. Das hat das intuitive Meinen, dass die Images von x und y in der Quotient-Gruppe gleich sein sollen. So z.B in der Liste von relators ist damit gleichwertig.

Eine andere allgemeine Schnellschrift soll für einen Umschalter schreiben.

Wie man

sagt, wird eine Präsentation begrenzt erzeugt, wenn begrenzt und begrenzt zusammenhängend ist, wenn begrenzt ist. Wenn beide begrenzt sind, wie man sagt, ist es eine begrenzte Präsentation. Eine Gruppe wird begrenzt erzeugt (beziehungsweise begrenzt verbunden, begrenzt präsentiert), wenn sie eine Präsentation hat, die (beziehungsweise begrenzt verbunden, eine begrenzte Präsentation) begrenzt erzeugt wird.

Wenn durch einen Satz mit einem Inhaltsverzeichnis versehen wird, der aus allen natürlichen Zahlen oder eine begrenzte Teilmenge von ihnen besteht, dann ist es leicht, ein einfaches zu einem Codieren (oder Gödel numerierend) von der freien Gruppe auf den natürlichen Zahlen, solch aufzustellen, dass wir Algorithmen finden können, die, gegeben, und umgekehrt rechnen. Wir können dann eine Teilmenge von rekursiven nennen (beziehungsweise rekursiv enumerable), wenn (beziehungsweise rekursiv enumerable) rekursiv ist. Wenn als oben und rekursiv enumerable mit einem Inhaltsverzeichnis versehen wird, dann ist die Präsentation eine rekursive Präsentation, und die entsprechende Gruppe wird rekursiv präsentiert. Dieser Gebrauch kann seltsam scheinen, aber es ist möglich zu beweisen, dass, wenn eine Gruppe eine Präsentation mit rekursiv enumerable dann hat, es einen anderen mit dem rekursiven hat.

Für eine begrenzte Gruppe stellt die Multiplikationstabelle eine Präsentation zur Verfügung. Wir nehmen, um die Elemente zu sein und alle Wörter der Form zu sein, wo ein Zugang in der Multiplikationstabelle ist. Von einer Präsentation kann dann als eine Generalisation einer Multiplikationstabelle gedacht werden.

Jede begrenzt präsentierte Gruppe wird rekursiv präsentiert, aber es gibt rekursiv präsentierte Gruppen, die nicht begrenzt präsentiert werden können. Jedoch stellt ein Lehrsatz von Graham Higman fest, dass eine begrenzt erzeugte Gruppe eine rekursive Präsentation hat, wenn, und nur wenn es in einer begrenzt präsentierten Gruppe eingebettet werden kann. Davon können wir ableiten, dass es (bis zum Isomorphismus) nur zählbar viele begrenzt erzeugte rekursiv präsentierte Gruppen gibt. Bernhard Neumann hat gezeigt, dass es unzählbar viele nichtisomorphe zwei Generator-Gruppen gibt. Deshalb gibt es begrenzt erzeugte Gruppen, die nicht rekursiv präsentiert werden können.

Beispiele

Geschichte

Eine der frühsten Präsentationen einer Gruppe durch Generatoren und Beziehungen wurde vom irischen Mathematiker William Rowan Hamilton 1856, in seiner Icosian Rechnung - eine Präsentation der icosahedral Gruppe gegeben.

Die erste systematische Studie wurde von Walther von Dyck, Studenten von Felix Klein am Anfang der 1880er Jahre gegeben, die Fundamente für die kombinatorische Gruppentheorie legend.

Allgemeine Beispiele

Der folgende Tisch verzeichnet einige Beispiele von Präsentationen für allgemein studierte Gruppen. Bemerken Sie, dass in jedem Fall es viele andere Präsentationen gibt, die möglich sind. Die verzeichnete Präsentation ist nicht notwendigerweise die effizienteste mögliche.

Ein Beispiel einer begrenzt erzeugten Gruppe, die nicht begrenzt präsentiert wird, ist das Kranz-Produkt der Gruppe von ganzen Zahlen mit sich.

Einige Lehrsätze

Jede Gruppe G hat eine Präsentation. Um das zu sehen, denken Sie die freie Gruppe F auf G. Durch das universale Eigentum von freien Gruppen, dort besteht ein einzigartiger Gruppenhomomorphismus φ: F → G, dessen Beschränkung zu G die Identitätskarte ist. Lassen Sie K der Kern dieses Homomorphismus sein. Dann ist K in F normal, deshalb ist seinem normalen Verschluss, so gleich

Jede begrenzte Gruppe hat eine begrenzte Präsentation.

Die negative Lösung des Wortproblems für Gruppen stellt fest, dass es eine begrenzte Präsentation gibt

Aufbauten

Nehmen Sie an, dass G Präsentation hat

• das freie Produkt G  H hat Präsentation

• das direkte Produkt G × H hat Präsentation

Geometrische Gruppentheorie

Eine Präsentation einer Gruppe bestimmt eine Geometrie im Sinne der geometrischen Gruppentheorie: Man hat den Graphen von Cayley, der einen metrischen, genanntes das metrische Wort hat. Das sind auch zwei resultierende Ordnungen, die schwache Ordnung und die Ordnung von Bruhat und entsprechenden Diagramme von Hasse. Ein wichtiges Beispiel ist in den Gruppen von Coxeter.

Weiter sind einige Eigenschaften dieses Graphen (die raue Geometrie) inner, unabhängig der Wahl von Generatoren bedeutend.

Siehe auch

• Transformation von Nielsen
• Transformation von Tietze
• Vermehrer von Schur

Zeichen

• Die Methode von Schreier, die Methode von Nielsen, freie Präsentationen, Untergruppen und HNN Erweiterungen, Lehrsatz von Golod-Shafarevich, usw.
• Diese nützliche Verweisung hat Tische von Präsentationen aller kleinen begrenzten Gruppen, der Nachdenken-Gruppen und so weiter.