Die Interpolationsformel von Whittaker-Shannon oder sinc Interpolation sind eine Methode, ein dauernd-maliges Bandlimited-Signal von einer Reihe von Proben ebenso unter Drogeneinfluss wieder aufzubauen.

Definition

Die Interpolationsformel, wie es allgemein genannt wird, geht auf die Arbeiten von E. Borel 1898 und E. T. Whittaker 1915 zurück, und wurde von Arbeiten von J. M. Whittaker 1935, und in der Formulierung des Abtasttheorems von Nyquist-Shannon von Claude Shannon 1949 zitiert. Es wird auch die Interpolationsformel von Shannon und die Interpolationsformel von Whittaker allgemein genannt. E. T. Whittaker, der es 1915, genannt es die Grundsätzliche Reihe veröffentlicht hat.

Das Abtasttheorem stellt fest, dass, unter bestimmten Begrenzungsbedingungen, eine Funktion x (t) genau von seinen Proben, x [n] = x (nT) durch die Interpolationsformel von Whittaker-Shannon wieder erlangt werden kann:

wo T = 1/f der ausfallende Zwischenraum ist, ist f die ausfallende Rate, und sinc (x) ist die normalisierte Sinc-Funktion.

Gültigkeitsbedingung

Wenn die Funktion x (t) bandlimited, und probiert an einer genug hohen Rate ist, wie man versichert, baut die Interpolationsformel es genau wieder auf. Formell, wenn dort ein B  0 solches dass besteht

1. die Funktion x (t) ist bandlimited zur Bandbreite B; d. h. es lässt sich einen Fourier für f> B verwandeln; und
2. die ausfallende Rate, f, überschreitet die Rate von Nyquist, zweimal die Bandbreite: f> 2B. Gleichwertig:

::

dann wird die Interpolationsformel den ursprünglichen x (t) von seinen Proben genau wieder aufbauen. Sonst kann aliasing vorkommen; d. h. Frequenzen an oder über f/2 können falsch wieder aufgebaut werden. Sieh Aliasing für die weitere Diskussion über diesen Punkt.

Interpolation als Gehirnwindungssumme

Die Interpolationsformel wird im Abtasttheorem-Artikel von Nyquist-Shannon abgeleitet, der darauf hinweist, dass es auch als die Gehirnwindung eines unendlichen Impuls-Zugs mit einer Sinc-Funktion ausgedrückt werden kann:

{\\rm sinc }\\ist (\frac {t} {T }\\Recht) abgereist. </Mathematik>

Das ist zur Entstörung des Impuls-Zugs mit einem Ideal (Backsteinmauer) Filter des niedrigen Passes gleichwertig.

Konvergenz

Die Interpolationsformel läuft immer absolut und lokal gleichförmig nicht weniger als zusammen

Durch die Ungleichheit von Hölder ist das zufrieden, ob die Folge einigen der Räume mit 1 gehört

Diese Bedingung ist genügend, aber nicht notwendig. Zum Beispiel wird die Summe allgemein zusammenlaufen, wenn die Beispielfolge daraus kommt, fast einen stationären Prozess zu probieren, in welchem Fall die Beispielfolge addierbar nicht quadratisch ist, und nicht in jedem Raum ist.

Stationäre Zufallsprozesse

Wenn x [n] eine unendliche Folge von Proben einer Beispielfunktion eines breiten Sinns stationärer Prozess ist, dann ist es nicht ein Mitglied jedes oder L Raums, mit der Wahrscheinlichkeit 1; d. h. die unendliche Summe von Proben, die zu einer Macht p erhoben sind, hat keinen begrenzten erwarteten Wert. Dennoch läuft die Interpolationsformel mit der Wahrscheinlichkeit 1 zusammen. Konvergenz kann durch die Computerwissenschaft der Abweichungen von gestutzten Begriffen der Summierung und die Vertretung sogleich gezeigt werden, dass die Abweichung willkürlich klein durch die Auswahl einer ausreichenden Anzahl von Begriffen gemacht werden kann. Wenn der bösartige Prozess Nichtnull ist, dann, wie man betrachten muss, zeigen Paare von Begriffen auch, dass der erwartete Wert der gestutzten Begriffe zur Null zusammenläuft.

Da ein Zufallsprozess keinen Fourier sich verwandeln lässt, muss die Bedingung, unter der die Summe zur ursprünglichen Funktion zusammenläuft, auch verschieden sein. Ein stationärer Zufallsprozess hat wirklich eine Autokorrelationsfunktion und folglich eine geisterhafte Dichte gemäß dem Wiener-Khinchin Lehrsatz. Eine passende Bedingung für die Konvergenz zu einer Beispielfunktion vom Prozess besteht darin, dass die geisterhafte Dichte des Prozesses Null an allen Frequenzen ist, die und über der Hälfte der Beispielrate gleich sind.

Siehe auch

• Aliasing, Antialiasing-Filter, Raumantialiasing
• Fourier gestaltet um
• Rechteckige Funktion
• Die Stichprobenerhebung (Signalverarbeitung)
• Signal (Elektronik)
• Funktion von Sinc, Filter von Sinc