In der Mathematik wird eine Gruppe G die direkte Summe von einer Reihe von Untergruppen {H} wenn genannt

• jeder H ist eine normale Untergruppe von G
• jedes verschiedene Paar von Untergruppen hat triviale Kreuzung und
• G =}>; mit anderen Worten wird G durch die Untergruppen {H} erzeugt.

Wenn G die direkte Summe von Untergruppen H und K ist, dann schreiben wir G = H + K; wenn G die direkte Summe von einer Reihe von Untergruppen {H} ist, schreiben wir häufig G = H. Lose sprechend, ist eine direkte Summe zu einem schwachen direkten Produkt von Untergruppen isomorph.

In der abstrakten Algebra kann diese Methode des Aufbaus zu direkten Summen von Vektorräumen, Modulen und anderen Strukturen verallgemeinert werden; sieh die direkte Artikel-Summe von Modulen für mehr Information.

Diese Notation ist auswechselbar; so dass im Fall von der direkten Summe von zwei Untergruppen, G = H + K = K + H. Es ist auch im Sinn dass wenn G = H + K, und K = L + M, dann G = H + (L + M) = H + L + M assoziativ.

Eine Gruppe, die als eine direkte Summe von nichttrivialen Untergruppen ausgedrückt werden kann, wird zerlegbar genannt; sonst wird es unzerlegbar genannt.

Wenn G = H + K, dann kann es dass bewiesen werden:

• für den ganzen h in H, k in K, haben wir das h*k = k*h
• für den ganzen g in G, dort besteht einzigartiger h in H, k in solchem K dass g = h*k
• Es gibt eine Annullierung der Summe in einem Quotienten; so dass (H + K)/K zu H isomorph

Die obengenannten Behauptungen können zum Fall von G = H verallgemeinert werden, wo {H} ein begrenzter Satz von Untergruppen ist.

• wenn ich  j, dann für den ganzen h in H, h in H, haben wir das h * h = h * h
• für jeden g in G, dort einzigartiger Satz {h in H} solch dass

:g = h*h*... * h *... * h

• Es gibt eine Annullierung der Summe in einem Quotienten; so dass ((H) + K) ist/K zu H isomorph

Bemerken Sie die Ähnlichkeit mit dem direkten Produkt, wo jeder g einzigartig als ausgedrückt werden kann

:g = (h, h..., h..., h)

Seitdem h * h = h * h für alles ich  j, hieraus folgt dass die Multiplikation von Elementen in einer direkten Summe zur Multiplikation der entsprechenden Elemente im direkten Produkt isomorph ist; so für begrenzte Sätze von Untergruppen ist H zum direkten Produkt &times isomorph; {H}.

Gleichwertigkeit von direkten Summen

Die direkte Summe ist für eine Gruppe nicht einzigartig; zum Beispiel, in der Gruppe von Klein, V = C × C haben wir das

:V =

Jedoch ist es der Inhalt des Remak-Krull-Schmidt Lehrsatzes, der gegeben eine begrenzte Gruppe G = A = B, wo jeder A und jeder B nichttrivial und dann unzerlegbar sind, die zwei Summen bis zur Umstellung und dem Isomorphismus der beteiligten Untergruppen gleichwertig sind.

Der Remak-Krull-Schmidt Lehrsatz scheitert für unendliche Gruppen; so im Fall von unendlichem G = H + K = L + M, selbst wenn alle Untergruppen nichttrivial und unzerlegbar sind, können wir nicht dann annehmen, dass H entweder zu L oder zu M isomorph ist.

Generalisation zu Summen über unendliche Sätze

Um die obengenannten Eigenschaften im Fall zu beschreiben, wo G die direkte Summe eines Unendliches (vielleicht unzählbar) Satz von Untergruppen ist, ist mehr Sorge erforderlich.

Wenn g ein Element des kartesianischen Produktes  {H} von einer Reihe von Gruppen ist, lassen Sie g das ith Element von g im Produkt sein. Die äußerliche direkte Summe von einer Reihe von Gruppen {H} (schriftlich als  {H}) ist die Teilmenge von  {H}, wo, für jedes Element g  {H}, g die Identität für alle außer einer begrenzten Zahl von g ist (gleichwertig, nur eine begrenzte Zahl von g sind nicht die Identität). Die Gruppenoperation in der äußerlichen direkten Summe ist pointwise Multiplikation, als im üblichen direkten Produkt.

Diese Teilmenge bildet wirklich tatsächlich eine Gruppe; und für einen begrenzten Satz von Gruppen H ist die äußerliche direkte Summe zum direkten Produkt identisch.

Wenn G = H, dann ist G zu  {H} isomorph. So, gewissermaßen, ist die direkte Summe eine "innere" äußerliche direkte Summe. Für jedes Element g in G gibt es einen einzigartigen begrenzten Satz S und einzigartig {h in H: ich in S\solchem dass g =  {h: ich in S\.

Siehe auch

• direkte Summe
• coproduct
• freies Produkt