} }\

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der chi-karierte Vertrieb (auch Chi-Quadrat oder) mit k Graden der Freiheit der Vertrieb einer Summe der Quadrate von k unabhängigen zufälligen normalen Standardvariablen. Es ist einer des am weitesten verwendeten Wahrscheinlichkeitsvertriebs in der zu folgernden Statistik z.B in der Hypothese-Prüfung oder im Aufbau von Vertrauensintervallen. Wenn es ein Bedürfnis gibt, ihm mit dem chi-karierten Nichthauptvertrieb gegenüberzustellen, wird dieser Vertrieb manchmal den chi-karierten Hauptvertrieb genannt.

Der chi-karierte Vertrieb wird in den allgemeinen chi-karierten Tests auf die Güte von passendem von einem beobachteten Vertrieb zu einem theoretischen, der Unabhängigkeit von zwei Kriterien der Klassifikation von qualitativen Daten, und vertraulich Zwischenraum-Bewertung für eine Bevölkerungsstandardabweichung einer Normalverteilung von einer Beispielstandardabweichung verwendet. Viele andere statistische Tests verwenden auch diesen Vertrieb wie die Analyse von Friedman der Abweichung durch Reihen.

Der chi-karierte Vertrieb ist ein spezieller Fall des Gammavertriebs.

Definition

Wenn Z..., Z unabhängige, normale normale zufällige Variablen, dann die Summe ihrer Quadrate, sind

:

Q\= \sum_ {i=1} ^k Z_i^2,

</Mathematik>

wird gemäß dem chi-karierten Vertrieb mit k Graden der Freiheit verteilt. Das wird gewöhnlich als angezeigt

:

Q\\sim\\chi^2 (k) \\\text {oder }\\\Q\\sim\\chi^2_k.

</Mathematik>

Der chi-karierte Vertrieb hat einen Parameter: k — eine positive ganze Zahl, die die Zahl von Graden der Freiheit (d. h. die Zahl von Z) angibt

Eigenschaften

Weitere Eigenschaften des chi-karierten Vertriebs können im Kasten an der oberen richtigen Ecke dieses Artikels gefunden werden.

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (pdf) des chi-karierten Vertriebs ist

:

f (x; \, k) =

\begin {Fälle }\

\frac {x^ {(k/2)-1} e^ {-x/2}} {2^ {k/2} \Gamma\left (\frac {k} {2 }\\Recht)}, & x \geq 0; \\0, & \text {sonst}.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

wo Γ (k/2) die Gammafunktion anzeigt, die Werte der geschlossenen Form an den halbganzen Zahlen hat.

Für Abstammungen des pdf in den Fällen von einem und zwei Graden der Freiheit, sieh mit dem chi-karierten Vertrieb verbundene Beweise.

Kumulative Vertriebsfunktion

Seine kumulative Vertriebsfunktion ist:

:

F (x; \, k) = \frac {\\Gamma (\frac {k} {2}, \, \frac {x} {2})} {\\Gamma (\frac {k} {2})} = P\left (\frac {k} {2}, \, \frac {x} {2 }\\Recht),

</Mathematik>

wo γ (k, z) die niedrigere unvollständige Gammafunktion ist und P (k, z) die normalisierte Gammafunktion ist.

In einem speziellen Fall von k = hat 2 diese Funktion eine einfache Form:

:

F (x; \, 2) = 1 - e^ {-\frac {x} {2}}.

</Mathematik>

Für die Fälle wenn 0

:

F (z k; \, k) \leq (z E^ {1-z}) ^ {k/2}.

</Mathematik>

Der Schwanz hat für die Fälle gebunden, wenn z> 1 ähnlich folgt

:

1-f (z k; \, k) \leq (z E^ {1-z}) ^ {k/2}.

</Mathematik>

Tische dieser kumulativen Vertriebsfunktion sind weit verfügbar, und die Funktion wird in viele Spreadsheets und alle statistischen Pakete eingeschlossen. Für eine andere Annäherung für den nach dem Würfel von Gaussian modellierten CDF, sieh unter dem chi-karierten Nichthauptvertrieb.

Additivität

Es folgt aus der Definition des chi-karierten Vertriebs, dass die Summe von unabhängigen chi-karierten Variablen auch verteilt gechi-quadratisch-macht wird. Spezifisch, wenn {X} unabhängige chi-karierte Variablen mit {k} Graden der Freiheit beziehungsweise sind, dann wird verteilt mit Graden der Freiheit gechi-quadratisch-macht.

Informationswärmegewicht

Das Informationswärmegewicht wird durch gegeben

:

H = \int_ {-\infty} ^\\infty f (x; \, k) \ln f (x; \, k) \, dx

= \frac {k} {2} + \ln\left (2\Gamma\left (\frac {k} {2 }\\Recht) \right) + \left (1-\frac {k} {2 }\\Recht) \psi\left (\frac {k} {2 }\\Recht),

</Mathematik>

wo ψ (x) die Funktion von Digamma ist.

Der Chi-karierte Vertrieb ist der maximale Wärmegewicht-Wahrscheinlichkeitsvertrieb für einen zufälligen variate X, für den befestigt wird und befestigt wird.

Nichthauptmomente

Die Momente über die Null eines chi-karierten Vertriebs mit k Graden der Freiheit werden durch gegeben

:

\operatorname {E} (X^m) = k (k+2) (k+4) \cdots (k+2m-2) = 2^m \frac {\\Gamma (M +\frac {k} {2})} {\\Gamma (\frac {k} {2})}.

</Mathematik>

Cumulants

Die cumulants werden durch eine (formelle) Macht-Reihenentwicklung des Logarithmus der charakteristischen Funktion sogleich erhalten:

:

\kappa_n = 2^ {n-1} (n-1)! \, k

</Mathematik>

Asymptotische Eigenschaften

Durch den Hauptgrenzwertsatz, weil der chi-karierte Vertrieb die Summe von k unabhängigen zufälligen Variablen mit dem begrenzten bösartig und Abweichung ist, läuft es zu einer Normalverteilung für großen k zusammen. Zu vielen praktischen Zwecken zu k> 50 ist der Vertrieb genug einer Normalverteilung für den zu ignorierenden Unterschied nah. Spezifisch, wenn X ~ χ ² (k), dann weil neigt k zur Unendlichkeit, dem Vertrieb dessen, zu einer Standardnormalverteilung neigen. Jedoch ist Konvergenz langsam, wie die Schiefe ist und das Übermaß kurtosis 12/k ist. Andere Funktionen des chi-karierten Vertriebs laufen schneller zu einer Normalverteilung zusammen. Einige Beispiele sind:

• Wenn X ~ χ ² (k) ungefähr normalerweise dann mit dem bösartigen und der Einheitsabweichung (Ergebnis verteilt werden, das R. A. Fisher kreditiert ist).
• Wenn X ~ χ ² (k) ungefähr normalerweise dann mit dem bösartigen und der Abweichung verteilt werden, ist Das als die Transformation von Wilson-Hilferty bekannt.

Zusammenhängender Vertrieb

• (Normalverteilung)
• (Chi-karierter Nichthauptvertrieb mit dem non-centrality Parameter)
• Wenn dann den chi-karierten Vertrieb hat
• Als ein spezieller Fall, wenn dann den chi-karierten Vertrieb hat
• (Die karierte Norm des n Standards hat normalerweise Variablen verteilt ist ein chi-karierter Vertrieb mit k Graden der Freiheit)
• Wenn und, dann. (Gammavertrieb)
• Wenn dann (chi Vertrieb)
• Wenn (Vertrieb von Rayleigh) dann
• Wenn (Vertrieb von Maxwell) dann
• Wenn dann (Inverse-chi-squared Vertrieb)
• Der chi-karierte Vertrieb ist ein spezieller Fall des Typs 3 Vertrieb von Pearson
• Wenn und dann (Beta-Vertrieb)
• Wenn (Rechteckverteilung (dauernd)) dann

• ist eine Transformation des Vertriebs von Laplace
• Wenn dann
• chi-karierter Vertrieb ist eine Transformation des Vertriebs von Pareto
• Der T-Vertrieb des Studenten ist eine Transformation des chi-karierten Vertriebs
• Der T-Vertrieb des Studenten kann beim chi-karierten Vertrieb und der Normalverteilung erhalten werden
• Nichthauptbeta-Vertrieb kann als eine Transformation des chi-karierten Vertriebs und chi-karierten Nichthauptvertriebs erhalten werden
• NichthauptT-Vertrieb kann bei der Normalverteilung und dem chi-karierten Vertrieb erhalten werden

Eine chi-karierte Variable mit k Graden der Freiheit wird als die Summe der Quadrate von k unabhängigen zufälligen normalen Standardvariablen definiert.

Wenn Y k-dimensional Gaussian zufälliger Vektor mit dem Mittelvektoren μ und Reihe k Kovarianz-Matrix C ist, dann X = (Y μ) C (Y μ) wird verteilt mit k Graden der Freiheit gechi-quadratisch-macht.

Die Summe von Quadraten der statistisch unabhängigen Einheitsabweichung, geben Variablen von Gaussian, die Mittelnull nicht haben, eine Generalisation des chi-karierten Vertriebs nach, hat den chi-karierten Nichthauptvertrieb genannt.

Wenn Y ein Vektor von k i.i.d. zufällige normale Standardvariablen ist und A ein k×k idempotent Matrix mit der Reihe kn dann die quadratische Form ist, wird YAY verteilt mit kn Graden der Freiheit gechi-quadratisch-macht.

Der chi-karierte Vertrieb ist auch natürlich mit anderem Vertrieb verbunden, der aus Gaussian entsteht. In der besonderen Einzelheit,

• Y ist F-distributed, Y ~ F (k, k), wenn, wo X ~ χ ² (k) und X ~ χ ² (k) statistisch unabhängig sind.
• Wenn X verteilt gechi-quadratisch-macht wird, dann verteilter chi ist.
• Wenn und, dann statistisch unabhängig sind. Wenn X und X ziemlich abhängig sind, dann wird verteilt nicht gechi-quadratisch-macht.

Generalisationen

Der chi-karierte Vertrieb wird als die Summe der Quadrate des k Unabhängigen, nullbösartig, Einheitsabweichung Gaussian zufällige Variablen erhalten. Generalisationen dieses Vertriebs können durch das Summieren der Quadrate anderer Typen von Gaussian zufällige Variablen erhalten werden. Solcher mehrerer Vertrieb wird unten beschrieben.

Chi-karierter Vertrieb

Chi-karierter Nichthauptvertrieb

Der chi-karierte Nichthauptvertrieb wird bei der Summe der Quadrate von unabhängigem Gaussian zufällige Variablen erhalten, die Einheitsabweichung und Nichtnullmittel haben.

Verallgemeinerter chi-karierter Vertrieb

Der verallgemeinerte chi-karierte Vertrieb wird bei der quadratischen Form zAz erhalten, wo z ein Nullmittelvektor von Gaussian ist, der eine willkürliche Kovarianz-Matrix hat, und A eine willkürliche Matrix ist.

Gamma, verwandter und Exponentialvertrieb

Der chi-karierte Vertrieb X ~ χ ² (k) sind ein spezieller Fall des Gammavertriebs, in diesen X ~ Γ (k/2, 2) (das Verwenden der Gestalt parameterization des Gammavertriebs), wo k eine ganze Zahl ist.

Weil der Exponentialvertrieb auch ein spezieller Fall des Gammavertriebs ist, haben wir auch das, wenn X ~ χ ² (2), dann sind X ~ Exp (1/2) ein Exponentialvertrieb.

Der Erlang Vertrieb ist auch ein spezieller Fall des Gammavertriebs, und so haben wir auch das, wenn X ~ χ ² (k) mit sogar k, dann X ist Erlang, der mit dem Gestalt-Parameter k/2 und Skala-Parameter 1/2 verteilt ist.

Anwendungen

Der chi-karierte Vertrieb hat zahlreiche Anwendungen in der zu folgernden Statistik, zum Beispiel in chi-karierten Tests und im Schätzen von Abweichungen. Es geht ins Problem ein, die bösartige von einer normalerweise verteilten Bevölkerung und das Problem zu schätzen, den Hang einer Linie des rückwärts Gehens über seine Rolle im T-Vertrieb des Studenten zu schätzen. Es geht in die ganze Analyse von Abweichungsproblemen über seine Rolle im F-Vertrieb ein, der der Vertrieb des Verhältnisses von zwei unabhängigen chi-karierten zufälligen Variablen, jeder ist, der durch ihre jeweiligen Grade der Freiheit geteilt ist.

Folgender ist einige der allgemeinsten Situationen, in denen der chi-karierte Vertrieb aus einer Gaussian-verteilten Probe entsteht.

• wenn X..., X i.i.d sind. N (μ, σ) zufällige Variablen, dann wo.
• Der Kasten unter dem Show-Wahrscheinlichkeitsvertrieb mit dem Namen, der mit chi für etwas Statistik anfängt, hat auf unabhängigen zufälligen Variablen gestützt:

</Zentrum>

Der Tisch von χ schätzt gegen den P-Wert

Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, einen Test statistisch mindestens als äußerst in einem chi-karierten Vertrieb zu beobachten. Entsprechend seit der kumulativen Vertriebsfunktion (CDF) für die passenden Grade der Freiheit gibt (df) die Wahrscheinlichkeit, einen weniger äußersten Wert erhalten zu haben, als dieser Punkt, den CDF-Wert von 1 abziehend, den P-Wert gibt. Der Tisch gibt unten mehrere P-Werte, die χ für die ersten 10 Grade der Freiheit zusammenpassen.

Ein P-Wert von 0.05 oder weniger wird gewöhnlich als statistisch bedeutend betrachtet, d. h. die beobachtete Abweichung aus der ungültigen Hypothese ist bedeutend.

Siehe auch

• Der Lehrsatz von Cochran
• Die Methode des Fischers, um unabhängige Tests der Bedeutung zu verbinden
• Der chi-karierte Test von Pearson
• F-Vertrieb
• Verallgemeinerter chi-karierter Vertrieb
• Gammavertrieb
• Der T-squared Vertrieb von Hotelling
• Der T-Vertrieb des Studenten
• Der Lambda-Vertrieb von Wilks
• Vertrieb von Wishart

Links

• Frühster Gebrauch von Einigen der Wörter der Mathematik: Der Zugang auf quadratisch gemachtem Chi hat eine kurze Geschichte
• Kurs bemerkt auf der Chi-karierten Güte der Passenden Prüfung von Yale akademischem Stats 101 Klasse.
• Demonstration von Mathematica, den chi-karierten ausfallenden Vertrieb der verschiedenen Statistik, z.B Σx ², für eine normale Bevölkerung zeigend
• Einfacher Algorithmus, um cdf und Gegenteil cdf für den chi-karierten Vertrieb mit einer Taschenrechenmaschine näher zu kommen