Vertrieb von Zeta

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der zeta Vertrieb ein getrennter Wahrscheinlichkeitsvertrieb. Wenn X eine zeta-verteilte zufällige Variable mit dem Parameter s ist, dann wird die Wahrscheinlichkeit, die X den Wert der ganzen Zahl k nimmt, durch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion gegeben

:

wo ζ (s) der Riemann zeta Funktion ist (der für s = 1 unbestimmt ist).

Die Vielfältigkeit von verschiedenen Hauptfaktoren X ist unabhängige zufällige Variablen.

Der zeta Vertrieb ist zum Vertrieb von Zipf für unendlichen N gleichwertig. Tatsächlich werden die Begriffe "Vertrieb von Zipf" und "zeta Vertrieb" häufig austauschbar gebraucht.

Momente

Der n-te rohe Moment wird als der erwartete Wert von X definiert:

:

Die Reihe ist rechts gerade eine Reihe-Darstellung des Riemanns zeta Funktion, aber es läuft nur für Werte von s-n zusammen, die größer sind als Einheit. So:

:

\begin {Matrix-}\

\zeta (s-n)/\zeta (s) & \textrm {für} ~n

Bemerken Sie, dass das Verhältnis der Zeta-Funktionen, sogar für n &ge gut definiert wird; s − 1, weil die Reihe-Darstellung der Zeta-Funktion analytisch fortgesetzt werden kann. Das ändert die Tatsache nicht, dass die Momente durch die Reihe selbst angegeben werden, und deshalb für großen n unbestimmt sind.

Moment-Erzeugen-Funktion

Die Moment-Erzeugen-Funktion wird als definiert

:

Die Reihe ist gerade die Definition des Polylogarithmus, der dafür gültig

ist :

Die Reihenentwicklung von Taylor dieser Funktion wird die Momente des Vertriebs nicht notwendigerweise nachgeben. Die Reihe von Taylor mit den Momenten, weil sie gewöhnlich im Moment vorkommen, Funktion erzeugend, gibt nach

:

der offensichtlich für keinen begrenzten Wert von s gut definiert wird, da die Momente unendlich für großen n werden. Wenn wir die analytisch fortlaufenden Begriffe statt der Momente selbst gebrauchen, herrschen wir von einer Reihe-Darstellung des Polylogarithmus vor

:

dafür

:::

wo H eine harmonische Zahl ist.

Der Fall s

1 = =

ζ (1) ist als die harmonische Reihe, und so der Fall unendlich, wenn s = 1 nicht bedeutungsvoll ist. Jedoch, wenn A ein Satz von positiven ganzen Zahlen ist, der eine Dichte, d. h. wenn hat

:

besteht, wo N (A, n) die Mitgliederzahl weniger ist als oder gleich n, dann

:ist

dieser Dichte gleich.

Die letzte Grenze kann auch in einigen Fällen bestehen, in dem A keine Dichte hat. Zum Beispiel, wenn A der Satz aller positiven ganzen Zahlen ist, deren erste Ziffer d ist, dann hat A keine Dichte, aber dennoch besteht die zweite Grenze, die oben vorgeschrieben ist, und ist zu proportional

:

ähnlich dem Gesetz von Benford.

Siehe auch

Anderer "mit der Machtgesetz"-Vertrieb

Außenverbindungen

  • Einige Bemerkungen auf dem Riemann zeta Vertrieb durch Allan Gut. Was Gut den Riemann zeta nennt, ist Vertrieb wirklich der Wahrscheinlichkeitsvertrieb −log X, wo X eine zufällige Variable damit ist, was dieser Artikel den zeta Vertrieb nennt.

Gramercy, Louisiana / Lutcher, Louisiana
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