In der Mathematik, besonders geradlinigen Algebra und Funktionsanalyse, ist der geisterhafte Lehrsatz einige mehrerer Ergebnisse über geradlinige Maschinenbediener oder über matrices. In breiten Begriffen stellt der geisterhafte Lehrsatz Bedingungen zur Verfügung, unter denen ein Maschinenbediener oder eine Matrix diagonalized (d. h. vertreten als eine Diagonalmatrix in einer Basis) sein können. Dieses Konzept von diagonalization ist für Maschinenbediener auf endlich-dimensionalen Räumen relativ aufrichtig, aber verlangt etwas Modifizierung für Maschinenbediener auf unendlich-dimensionalen Räumen. Im Allgemeinen identifiziert der geisterhafte Lehrsatz eine Klasse von geradlinigen Maschinenbedienern, die von Multiplikationsmaschinenbedienern modelliert werden können, die so einfach sind, wie man hoffen kann zu finden. Auf der abstrakteren Sprache ist der geisterhafte Lehrsatz eine Behauptung über den auswechselbaren C*-algebras. Siehe auch geisterhafte Theorie für eine historische Perspektive.

Beispiele von Maschinenbedienern, für die der geisterhafte Lehrsatz gilt, sind selbst adjungierte Maschinenbediener oder allgemein normalere Maschinenbediener auf Räumen von Hilbert.

Der geisterhafte Lehrsatz stellt auch eine kanonische Zergliederung, genannt die geisterhafte Zergliederung, eigenvalue Zergliederung oder eigendecomposition vom zu Grunde liegenden Vektorraum zur Verfügung, auf dem der Maschinenbediener handelt.

In diesem Artikel denken wir hauptsächlich die einfachste Art des geisterhaften Lehrsatzes, dessen für einen selbst adjungierten Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert. Jedoch, wie bemerkt, oben, hält der geisterhafte Lehrsatz auch für normale Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert.

Endlich-dimensionaler Fall

Karten von Hermitian und Hermitian matrices

Wir beginnen, indem wir eine Matrix von Hermitian auf denken oder. Mehr allgemein betrachten wir eine Karte A von Hermitian auf einem endlich-dimensionalen echten oder komplizierten mit einem positiven bestimmten Skalarprodukt von Hermitian als ausgestatteten Skalarprodukt-Raum. Die Hermitian Bedingung bedeutet

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für alle Elemente x und y in V. Eine gleichwertige Bedingung besteht darin, dass A* =, wo sich A* mit seinem hermitian paaren. Im Fall, der mit einer Matrix von Hermitian identifiziert wird, kann die Matrix von A* mit seinem verbundenen identifiziert werden stellen um. Wenn A eine echte Matrix ist, ist das zu = gleichwertig (d. h. A ist eine symmetrische Matrix).

Diese Bedingung deutet leicht an, dass alle eigenvalues einer Karte von Hermitian echt sind: Es ist genug, es auf den Fall anzuwenden, wenn x=y ein Eigenvektor ist.

(Rufen Sie zurück, dass ein Eigenvektor einer geradlinigen Karte A ein (nichtnull)-Vektor x solch dass Axt = λx für einen Skalar λ ist. Der Wert λ ist der entsprechende eigenvalue.)

Lehrsatz. Dort besteht eine orthonormale Basis V, aus Eigenvektoren von A bestehend. Jeder eigenvalue ist echt.

Wir stellen eine Skizze eines Beweises für den Fall zur Verfügung, wo das zu Grunde liegende Feld von Skalaren die komplexen Zahlen ist.

Durch den Hauptsatz der Algebra, die auf das charakteristische Polynom von A angewandt ist, gibt es mindestens einen eigenvalue und Eigenvektoren. Dann seitdem

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wir finden, dass das echt ist. Denken Sie jetzt den Raum K = Spanne {e}, die orthogonale Ergänzung von e. Durch Hermiticity ist K ein invariant Subraum von A. Die Verwendung desselben Arguments für K zeigt, dass A einen Eigenvektoren e &isin hat; K. Begrenzte Induktion beendet dann den Beweis.

Der geisterhafte Lehrsatz hält auch für symmetrische Karten auf endlich-dimensionalen echten Skalarprodukt-Räumen, aber die Existenz eines Eigenvektoren folgt sofort vom Hauptsatz der Algebra nicht. Die leichteste Weise, es zu beweisen, soll wahrscheinlich als eine Matrix von Hermitian denken und die Tatsache verwenden, dass alle eigenvalues einer Matrix von Hermitian echt sind.

Wenn man die Eigenvektoren als eine orthonormale Basis wählt, ist die Matrixdarstellung in dieser Basis diagonal. Gleichwertig kann A als eine geradlinige Kombination von pairwise orthogonalen Vorsprüngen, genannt seine geisterhafte Zergliederung geschrieben werden. Lassen Sie

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seien Sie der eigenspace entsprechend einem eigenvalue λ. bemerken Sie, dass die Definition von keiner Wahl von spezifischen Eigenvektoren abhängt. V ist die orthogonale direkte Summe der Räume V, wo sich der Index über eigenvalues erstreckt. Lassen Sie P der orthogonale Vorsprung auf V und &lambda sein;..., λ der eigenvalues von A, man kann seine geisterhafte Zergliederung so schreiben:

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Die geisterhafte Zergliederung ist ein spezieller Fall sowohl der Zergliederung von Schur als auch der einzigartigen Wertzergliederung.

Normaler matrices

Der geisterhafte Lehrsatz streckt sich bis zu eine allgemeinere Klasse von matrices aus. Lassen Sie A ein Maschinenbediener auf einem endlich-dimensionalen Skalarprodukt-Raum sein. Wie man sagt, ist A wenn = Ein A normal. Man kann zeigen, dass A normal ist, wenn, und nur wenn es unitarily diagonalizable ist: Durch die Zergliederung von Schur haben wir = U T U, wo U einheitlich ist und T ober-dreieckig.

Da A, T T = normal ist, muss T T. Therefore T diagonal sein, da normale obere dreieckige matrices diagonal sind. Das gegenteilige ist auch offensichtlich.

Mit anderen Worten ist A normal, wenn, und nur wenn dort eine einheitliche Matrix U solch dass besteht

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wo Λ ist die Diagonalmatrix, deren Einträge der eigenvalues von A sind. Die Spaltenvektoren von U sind die Eigenvektoren von A, und sie sind orthonormal. Verschieden vom Fall von Hermitian, den Einträgen Λ braucht nicht echt zu sein.

Selbst adjungierte Kompaktmaschinenbediener

In Hilbert Räumen im Allgemeinen ist die Behauptung des geisterhaften Lehrsatzes für selbst adjungierte Kompaktmaschinenbediener eigentlich dasselbe als im endlich-dimensionalen Fall.

Lehrsatz. Nehmen Sie an, dass A ein selbst adjungierter Kompaktmaschinenbediener auf einem Raum von Hilbert V ist. Es gibt eine orthonormale Basis V, aus Eigenvektoren von A bestehend. Jeder eigenvalue ist echt.

Bezüglich Hermitian matrices soll der Stichpunkt die Existenz von mindestens einem Nichtnulleigenvektoren beweisen. Um das zu beweisen, können wir uns nicht auf Determinanten verlassen, um Existenz von eigenvalues zu zeigen, aber stattdessen kann man ein der abweichenden Charakterisierung von eigenvalues analoges Maximierungsargument verwenden. Der obengenannte geisterhafte Lehrsatz hält für echte oder komplizierte Räume von Hilbert.

Wenn die Kompaktheitsannahme entfernt wird, ist es nicht wahr, dass jeder selbst adjoint Maschinenbediener Eigenvektoren hat.

Begrenzte selbst adjungierte Maschinenbediener

Die folgende Generalisation, die wir denken, ist die von begrenzten selbst adjungierten Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert. Solche Maschinenbediener können keinen eigenvalues haben: Lassen Sie zum Beispiel A der Maschinenbediener der Multiplikation durch t auf L [0, 1] sein, der ist

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Lassen Sie A ein begrenzter selbst adjungierter Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert H sein. Dann gibt es einen Maß-Raum (X, Σ &mu) und eine reellwertige im Wesentlichen begrenzte messbare Funktion f auf X und ein einheitlicher Maschinenbediener U:H → L (X) solch dass

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wo T der Multiplikationsmaschinenbediener ist:

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und

Das ist der Anfang des riesengroßen Forschungsgebiets der Funktionsanalyse genannt Maschinenbediener-Theorie. sieh auch das geisterhafte Maß.

Es gibt auch einen analogen geisterhaften Lehrsatz für begrenzte normale Maschinenbediener auf Räumen von Hilbert. Der einzige Unterschied im Beschluss ist, der jetzt Komplex-geschätzt werden kann.

Eine alternative Formulierung des geisterhaften Lehrsatzes drückt den Maschinenbediener als ein Integral der Koordinatenfunktion über das Spektrum des Maschinenbedieners in Bezug auf ein Vorsprung-geschätztes Maß aus.

Wenn der normale fragliche Maschinenbediener kompakt ist, nimmt diese Version des geisterhaften Lehrsatzes zum endlich-dimensionalen geisterhaften Lehrsatz oben ab, außer dass der Maschinenbediener als eine geradlinige Kombination vielleicht ungeheuer vieler Vorsprünge ausgedrückt wird.

Allgemeine selbst adjungierte Maschinenbediener

Viele wichtige geradlinige Maschinenbediener, die in der Analyse wie Differenzialoperatoren vorkommen, sind unbegrenzt. Es gibt auch einen geisterhaften Lehrsatz für selbst adjungierte Maschinenbediener, der in diesen Fällen gilt. Um ein Beispiel anzuführen, ist jeder unveränderliche mitwirkende Differenzialoperator unitarily Entsprechung einem Multiplikationsmaschinenbediener. Tatsächlich ist der einheitliche Maschinenbediener, der diese Gleichwertigkeit durchführt, der Fourier verwandeln sich; der Multiplikationsmaschinenbediener ist ein Typ des Vermehrers von Fourier.

Im Allgemeinen kann der geisterhafte Lehrsatz für selbst adjungierte Maschinenbediener mehrere gleichwertige Formen annehmen.

Geisterhafter Lehrsatz in der Form des Multiplikationsmaschinenbedieners. Für jeden selbst adjungierten Maschinenbediener 'T, in einem Raum von Hilbert H handelnd, dort besteht ein einheitlicher Maschinenbediener, machend des Raums von Hilbert H auf den Raum L isometrisch isomorph kartografisch darzustellen (M, μ), wo der Maschinenbediener T als ein Multiplikationsmaschinenbediener vertreten wird.

Der Hilbert Raum H, wo ein selbst adjungierter Maschinenbediener T handelt, kann in eine direkte Summe von Räumen von Hilbert H auf solche Art und Weise zersetzt werden, dass der Maschinenbediener T, der zu jedem Raum H eingeengt ist, ein einfaches Spektrum hat. Es ist möglich, einzigartig solche Zergliederung zu bauen (bis zur einheitlichen Gleichwertigkeit), der eine bestellte geisterhafte Darstellung genannt wird.

Siehe auch

• Geisterhafte Theorie
• Matrixzergliederung
• Kanonische Form
• Zergliederung von Jordan, deren die geisterhafte Zergliederung ein spezieller Fall ist.
• Einzigartige Wertzergliederung, eine Verallgemeinerung des geisterhaften Lehrsatzes zu willkürlichem matrices.
• Eigendecomposition einer Matrix
• Sheldon Axler, Geradlinige Algebra Getanes Recht, Springer Verlag, 1997
• Paul Halmos, "Was Sagt der Geisterhafte Lehrsatz?", Amerikaner Mathematisch Monatlich, Band 70, Nummer 3 (1963), Seiten 241-247
• M. Rohr und B. Simon, Methoden der Mathematischen Physik, vols I-IV, Akademische Presse 1972.
• G. Teschl, Mathematische Methoden in der Quant-Mechanik mit Anwendungen auf Maschinenbediener von Schrödinger, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, amerikanische Mathematische Gesellschaft, 2009.