In der Mathematik, und mehr spezifisch in der homological Algebra stellt das zerreißende Lemma fest, dass in jeder abelian Kategorie die folgenden Behauptungen für die kurze genaue Folge gleichwertig sind.

In Anbetracht einer kurzen genauen Folge mit Karten q und r:

man schreibt die zusätzlichen Pfeile t und u für Karten, die nicht bestehen können:

Dann ist der folgende gleichwertig:

1. verlassener Spalt: Dort besteht eine Karte t: B  Ein solcher, dass tq die Identität auf A, ist

2. richtiger Spalt: Dort besteht eine Karte u: C  B solch, dass ru die Identität auf C, ist

3. direkte Summe: B ist zur direkten Summe von A und C mit q isomorph die natürliche Einspritzung von A und r zu sein, der natürliche Vorsprung auf C. zu sein

Die kurze genaue Folge wird gespalten genannt, wenn einige der obengenannten Behauptungen hält.

(Das Wort "Karte" bezieht sich auf morphisms in der abelian Kategorie wir arbeiten in, nicht mappings zwischen Sätzen.)

Es erlaubt, den ersten Isomorphismus-Lehrsatz zu raffinieren:

• der erste Isomorphismus-Lehrsatz stellt das in der obengenannten kurzen genauen Folge, fest
• wenn sich die Folge aufspaltet, dann und ist der erste Isomorphismus-Lehrsatz gerade der Vorsprung auf C.

Es ist eine kategorische Generalisation des Lehrsatzes der Reihe-Ungültigkeit (in der Form) in der geradlinigen Algebra.

Beweis

Erstens, um zu zeigen, dass (3) sowohl (1) und (2) einbezieht, nehmen wir (3) an und nehmen als t der natürliche Vorsprung der direkten Summe auf A, und nehmen als u die natürliche Einspritzung von C in die direkte Summe.

zu beweisen, dass (1) (3), zuerst einbezieht, bemerken Sie, dass jedes Mitglied von B im Satz (ker t + im q) ist. Das folgt seitdem für den ganzen b in B, b = (b - qt (b)) + qt (b); qt (b) ist offensichtlich in im q, und (b - qt (b)) ist in ker t, seitdem

:t (b - qt (b)) = t (b) - tqt (b) = t (b) - (tq) t (b) = t (b) - t (b) = 0.

Dann ist die Kreuzung von im q und ker t 0, seitdem, wenn dort in Einem solchem dass q (a) = b, und t (b) = 0, dann 0 = tq (a) = a besteht; und deshalb, b = 0.

Das beweist, dass B die direkte Summe von im q und ker t ist. Also, für den ganzen b in B kann b von einigen in A, k in ker t, solch dass b = q (a) + k einzigartig identifiziert werden.

Durch die Genauigkeit ker r = im q. Die Subfolge B  C  0 deutet an, dass r darauf ist; deshalb für jeden c in C dort besteht ein b = q (a) + k solch dass c = r (b) = r (q (a) + k) = r (k). Deshalb, für jeden c in C, besteht k in ker t solch dass c = r (k) und r (ker t) = C.

Wenn r (k) = 0, dann ist k in im q; seit der Kreuzung von im q und ker t = 0, dann k = 0. Deshalb die Beschränkung des morphism r: Ker t  C ist ein Isomorphismus; und ker t ist zu C isomorph.

Schließlich im ist q zu Einem erwarteten zur Genauigkeit von 0  Ein  B isomorph; so ist B zur direkten Summe von A und C isomorph, der sich (3) erweist.

Um zu zeigen, dass (2) (3) einbezieht, folgen wir einem ähnlichen Argument. Jedes Mitglied von B ist im Satz ker r + im u; seitdem für den ganzen b in B, b = (b - ur (b)) + ur (b), der in ker r + im u ist. Die Kreuzung von ker r und im u ist 0, seitdem wenn r (b) = 0 und u (c) = b, dann 0 = ru (c) = c.

Durch die Genauigkeit im q = ker r, und da ist q eine Einspritzung, im ist q zu A isomorph, so ist A zu ker r isomorph. Da ru eine Bijektion ist, ist u eine Einspritzung, und so im ist u zu C isomorph. So ist B wieder die direkte Summe von A und C.

Non-abelian Gruppen

In der Form festgesetzt hier hält das zerreißende Lemma in der vollen Kategorie von Gruppen nicht, die nicht eine abelian Kategorie ist.

Teilweise wahr

Es ist teilweise wahr: Wenn eine kurze genaue Folge von Gruppen gespalten oder eine direkte Summe verlassen wird (Bedingungen 1 oder 3), dann halten alle Bedingungen. Für eine direkte Summe ist das klar, weil man davon einspritzen oder zum summands vorspringen kann. Für eine linke Spalt-Folge gibt die Karte einen Isomorphismus, so ist B eine direkte Summe (Bedingung 3), und so das Umkehren des Isomorphismus und Bestehen mit der natürlichen Einspritzung eine Einspritzung geben, die sich r (Bedingung 2) aufspaltet.

Jedoch, wenn eine kurze genaue Folge von Gruppen richtiger Spalt ist (Bedingung 2), dann braucht es nicht gespalten verlassen zu werden, oder eine direkte Summe (folgt weder Bedingung 1 noch 3): Das Problem besteht darin, dass das Image des richtigen zerreißenden nicht normal zu sein braucht. Was wahr ist, in diesem Fall ist, dass B ein halbdirektes Produkt, obwohl nicht im Allgemeinen ein direktes Produkt ist.

Gegenbeispiel

Um ein Gegenbeispiel zu bilden, nehmen Sie die kleinste non-abelian Gruppe, die symmetrische Gruppe auf drei Briefen. Lassen Sie A die Wechseluntergruppe anzeigen und lassen. Lassen Sie q, und r zeigen die Einschließungskarte und die Zeichen-Karte beziehungsweise, so dass an

ist eine kurze genaue Folge. Bedingung (3) scheitert, weil nicht abelian ist. Aber Bedingung (2) hält: Wir können u definieren: C  B, indem es den Generator zu irgendwelchem zwei-Zyklen-kartografisch dargestellt wird. Bemerken Sie für die Vollständigkeit, dass Bedingung (1) scheitert: jede Karte t: B  muss A jeden zwei-Zyklen-zur Identität kartografisch darstellen, weil die Karte ein Gruppenhomomorphismus sein muss, während die Ordnung eines zwei-Zyklen-2 ist, der durch die Ordnung der Elemente in anderem nicht geteilt werden kann als das Identitätselement, das 3 ist, wie A die Wechseluntergruppe, oder nämlich die zyklische Gruppe des Auftrags 3 ist. Aber jede Versetzung ist ein Produkt von zwei Zyklen, so ist t die triviale Karte, woher tq: Ein  A ist die triviale Karte, nicht die Identität.