Algebra von Homological ist der Zweig der Mathematik, die Homologie in einer allgemeinen algebraischen Einstellung studiert. Es ist eine relativ junge Disziplin, deren Ursprünge zu Untersuchungen in der kombinatorischen Topologie (ein Vorgänger zur algebraischen Topologie) und abstrakte Algebra (Theorie von Modulen und syzygies) am Ende des 19. Jahrhunderts, hauptsächlich von Henri Poincaré und David Hilbert verfolgt werden können.

Die Entwicklung der homological Algebra wurde mit dem Erscheinen der Kategorie-Theorie nah verflochten. Im Großen und Ganzen, homological Algebra ist die Studie von homological functors und den komplizierten algebraischen Strukturen, die sie zur Folge haben. Ein ziemlich nützliches und allgegenwärtiges Konzept in der Mathematik ist das von Kettenkomplexen, die sowohl durch ihre Homologie als auch durch cohomology studiert werden können. Algebra von Homological gewährt die Mittel, Information herauszuziehen, die in diesen Komplexen enthalten ist und es in der Form von homological invariants Ringe, Module, topologischer Räume und anderer 'greifbarer' mathematischer Gegenstände zu präsentieren. Ein starkes Werkzeug, um das zu tun, wird durch geisterhafte Folgen zur Verfügung gestellt.

Von seinen wirklichen Ursprüngen, homological Algebra hat eine enorme Rolle in der algebraischen Topologie gespielt. Sein Einflussbereich hat allmählich ausgebreitet und schließt jetzt Ersatzalgebra, algebraische Geometrie, Theorie der algebraischen Zahl, Darstellungstheorie, mathematische Physik, Maschinenbediener-Algebra, komplizierte Analyse und die Theorie von teilweisen Differenzialgleichungen ein. K-Theorie ist eine unabhängige Disziplin, die auf Methoden der homological Algebra zieht, wie die Nichtersatzgeometrie von Alain Connes tut.

Kettenkomplexe und Homologie

Der Kettenkomplex ist der Hauptbegriff der homological Algebra. Es ist eine Folge von abelian Gruppen und Gruppenhomomorphismus,

mit dem Eigentum, dass die Zusammensetzung irgendwelcher zwei Konsekutivkarten Null ist:

:

C_ {n+1} \stackrel {d_ {n+1}} {\\longrightarrow }\

C_n \stackrel {d_n} {\\longrightarrow }\

C_ {n-1} \stackrel {d_ {n-1}} {\\longrightarrow }\

\cdots, \quad d_n \circ d_ {n+1} =0. </math>

Die Elemente von C werden N-Ketten genannt, und der Homomorphismus werden d die Grenzkarten oder Differenziale genannt. Die Kettengruppen C können mit der Extrastruktur ausgestattet sein; zum Beispiel können sie Vektorräume oder Module über einen festen Ring R sein. Die Differenziale müssen die Extrastruktur bewahren, wenn sie besteht; zum Beispiel müssen sie geradlinige Karten oder Homomorphismus von R-Modulen sein. Für die notational Bequemlichkeit, schränken Sie Aufmerksamkeit auf abelian Gruppen (richtiger, auf die Kategorie Ab von abelian Gruppen) ein; ein berühmter Lehrsatz durch Barry Mitchell deutet an, dass die Ergebnisse zu jeder abelian Kategorie verallgemeinern werden. Jeder Kettenkomplex definiert zwei weitere Folgen von abelian Gruppen, die Zyklen Z = Ker d und die Grenzen B = Im d, wo Ker d und Im d den Kern und das Image von d anzeigen. Da die Zusammensetzung von zwei Konsekutivgrenzkarten Null ist, werden diese Gruppen in einander als eingebettet

:

Untergruppen von abelian Gruppen sind automatisch normal; deshalb können wir die n-te Homologie-Gruppe H (C) als die Faktor-Gruppe der N-Zyklen durch die N-Grenzen, definieren

Ein Kettenkomplex wird acyclic oder eine genaue Folge genannt, wenn alle seine Homologie-Gruppen Null sind.

Kettenkomplexe entstehen in Hülle und Fülle in der Algebra und algebraischen Topologie. Zum Beispiel, wenn X ein topologischer Raum dann ist, sind die einzigartigen Ketten C (X) formelle geradlinige Kombinationen von dauernden Karten vom StandardN-Simplex in X; wenn K ein simplicial Komplex dann ist, sind die simplicial Ketten C (K) formelle geradlinige Kombinationen des n-simplices X; wenn = F/R eine Präsentation einer abelian Gruppe durch Generatoren und Beziehungen ist, wo F eine freie abelian durch die Generatoren abgemessene Gruppe ist und R die Untergruppe von Beziehungen ist, dann C (A) = R C (A) = F lassend, und definiert C (A) = 0 für ganzen anderen n eine Folge von abelian Gruppen. In allen diesen Fällen gibt es natürliche Differenziale d, C in einen Kettenkomplex machend, dessen Homologie die Struktur des topologischen Raums X, der simplicial Komplex K oder die abelian Gruppe A widerspiegelt. Im Fall von topologischen Räumen erreichen wir den Begriff der einzigartigen Homologie, die eine grundsätzliche Rolle im Nachforschen der Eigenschaften solcher Räume, zum Beispiel, Sammelleitungen spielt.

Auf einem philosophischen Niveau, homological Algebra lehrt uns, dass bestimmte Kettenkomplexe, die mit algebraischen oder geometrischen Gegenständen (topologische Räume, simplicial Komplexe, R-Module) vereinigt sind, viel wertvolle algebraische Information über sie mit der Homologie enthalten, die nur der am meisten sogleich verfügbare Teil ist. Auf einem technischen Niveau, homological Algebra stellt die Werkzeuge zur Verfügung, um Komplexe zu manipulieren und diese Information herauszuziehen. Hier sind zwei allgemeine Illustrationen.

• Zwei Gegenstände X und Y werden durch eine Karte f zwischen ihnen verbunden. Algebra von Homological studiert die Beziehung, die durch die Karte f zwischen Kettenkomplexen veranlasst ist, die mit X und Y und ihre Homologie vereinigt sind. Das wird zum Fall von mehreren Gegenständen und Karten verallgemeinert, die sie verbinden. Ausgedrückt auf der Sprache der Kategorie-Theorie, homological Algebra studiert die functorial Eigenschaften von verschiedenen Aufbauten von Kettenkomplexen und der Homologie dieser Komplexe.
• Ein Gegenstand X lässt vielfache Beschreibungen zu (zum Beispiel, als ein topologischer Raum und als ein simplicial Komplex), oder der Komplex wird mit etwas 'Präsentation' X gebaut, der nichtkanonische Wahlen einschließt. Es ist wichtig, die Wirkung der Änderung in der Beschreibung X auf Kettenkomplexen zu wissen, die mit X vereinigt sind. Gewöhnlich sind der Komplex und seine Homologie functorial in Bezug auf die Präsentation; und die Homologie (obwohl nicht der Komplex selbst) ist der gewählten Präsentation wirklich unabhängig, so ist es ein invariant X.

Functoriality

Eine dauernde Karte von topologischen Räumen verursacht einen Homomorphismus zwischen ihren n-ten Homologie-Gruppen für den ganzen n. Diese grundlegende Tatsache der algebraischen Topologie findet eine natürliche Erklärung durch bestimmte Eigenschaften von Kettenkomplexen. Da es sehr üblich ist, zu studieren

mehrere topologische Räume gleichzeitig in der homological Algebra wird eine nach der gleichzeitigen Rücksicht von vielfachen Kettenkomplexen geführt.

Ein morphism zwischen zwei Kettenkomplexen ist eine Familie des Homomorphismus von abelian Gruppen F:C &rarr; D, die mit den Differenzialen, im Sinn das F &bull pendeln; d = d &bull; F für den ganzen n. Ein morphism von Kettenkomplexen veranlasst einen morphism ihrer Homologie-Gruppen, aus dem Homomorphismus H (F) bestehend: H (C) &rarr; H (D) für den ganzen n. Ein morphism F wird einen Quasiisomorphismus genannt, wenn er einen Isomorphismus auf der n-ten Homologie für den ganzen n veranlasst.

Viele Aufbauten von Kettenkomplexen, die in der Algebra und Geometrie einschließlich der einzigartigen Homologie entstehen, haben das folgende functoriality Eigentum: Wenn zwei Gegenstände X und Y durch eine Karte f verbunden werden, dann werden die verbundenen Kettenkomplexe durch einen morphism F = C (f) von zu und außerdem, die Komposition g &bull verbunden; f Karten f: X &rarr; Y und g: Y &rarr; Z veranlasst den morphism C (g &bull; f) von dazu fällt mit der Komposition C (g) &bull zusammen; C (f). Hieraus folgt dass die Homologie-Gruppen functorial ebenso sind, so dass morphisms zwischen algebraischen oder topologischen Gegenständen vereinbare Karten zwischen ihrer Homologie verursachen.

Die folgende Definition entsteht aus einer typischen Situation in der Algebra und Topologie. Ein dreifacher, der aus drei Kettenkomplexen und zwei morphisms zwischen ihnen, besteht

wird einen genauen dreifachen, oder eine kurze genaue Folge von Komplexen genannt, und als geschrieben

M_\bullet \stackrel {g} {\\longrightarrow }\

N_\bullet \longrightarrow 0, </Mathematik>

wenn für jeden n, die Folge

M_n \stackrel {g_n} {\\longrightarrow }\

N_n \longrightarrow 0 </Mathematik>

ist eine kurze genaue Folge von abelian Gruppen. Definitionsgemäß bedeutet das, dass f eine Einspritzung ist, ist g eine Surjektion und Im f = Ker g. Einer der grundlegendsten Lehrsätze der homological Algebra, die manchmal als das zickzackförmige Lemma bekannt ist, stellt fest, dass, in diesem Fall, es eine lange genaue Folge in der Homologie gibt

wo die Homologie-Gruppen von L, M und N zyklisch einander, und &delta folgen; sind bestimmter Homomorphismus, der durch f und g bestimmt ist, genannt den in Verbindung stehenden Homomorphismus. Topologische Manifestationen dieses Lehrsatzes schließen die Folge von Mayer-Vietoris und die lange genaue Folge für die Verhältnishomologie ein.

Aspekte von Foundational

Theorien von Cohomology sind für viele verschiedene Gegenstände wie topologische Räume, Bündel definiert worden, Gruppen, Ringe, Lügen Algebra, und C*-algebras. Die Studie der modernen algebraischen Geometrie würde fast ohne Bündel cohomology undenkbar sein.

Zentral zur homological Algebra ist der Begriff der genauen Folge; diese können verwendet werden, um wirkliche Berechnungen durchzuführen. Ein klassisches Werkzeug der homological Algebra ist das von abgeleiteten functor; die grundlegendsten Beispiele sind functors App. und Felsturm.

Mit einem verschiedenen Satz von Anwendungen im Sinn war es natürlich zu versuchen, das ganze Thema auf einer gleichförmigen Basis zu stellen. Es gab mehrere Versuche, bevor sich das Thema niedergelassen hat. Eine ungefähre Geschichte kann wie folgt festgesetzt werden:

• Cartan-Eilenberg: In ihrem 1956-Buch "Homological Algebra" haben diese Autoren projektive und injective Modul-Entschlossenheiten verwendet.
• 'Tohoku': Die Annäherung in einem berühmten Vortrag von Alexander Grothendieck, der in der Zweiten Reihe der Tohoku Mathematischen Zeitschrift 1957, mit dem abelian Kategorie-Konzept erschienen ist (um Bündel von abelian Gruppen einzuschließen).
• Die abgeleitete Kategorie von Grothendieck und Verdier. Abgeleitete Kategorien gehen auf die 1967-These von Verdier zurück. Sie sind Beispiele von triangulierten in mehreren modernen Theorien verwendeten Kategorien.

Diese bewegen sich von der Berechenbarkeit bis Allgemeinheit.

Die rechenbetonte Holzhammerdurchschnitt-Vorzüglichkeit ist die geisterhafte Folge; diese sind in den Annäherungen von Cartan-Eilenberg und Tohoku notwendig, wo sie zum Beispiel erforderlich sind, um den abgeleiteten functors einer Zusammensetzung von zwei functors zu schätzen. Geisterhafte Folgen sind in der abgeleiteten Kategorie-Annäherung weniger notwendig, aber spielen noch eine Rolle, wann auch immer konkrete Berechnung notwendig ist.

Es hat Versuche von 'Nichtersatz'-Theorien gegeben, die den ersten cohomology als torsors (wichtig in Galois cohomology) erweitern.

Siehe auch

• Abstrakter Quatsch, (die sarkastischen 1950er Jahre) nennen für die homological Algebra und Kategorie-Theorie
• Algebra von Homotopical
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Algebra von Homological. Mit einem Anhang von David A. Buchsbaum. Nachdruck von ursprünglichem 1956. Grenzsteine von Princeton in der Mathematik. Universität von Princeton Presse, Princeton, New Jersey, 1999. internationale Xvi+390-Seiten-Standardbuchnummer 0-691-04991-2
• Alexander Grothendieck, Sur quelques spitzt d'algèbre homologique an. Tôhoku Mathematik. J. (2) 9, 1957, 119 - 221
• Saunders Mac Lane, Homologie. Nachdruck der 1975-Ausgabe. Klassiker in der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin, 1995. internationale X+422-Seiten-Standardbuchnummer 3-540-58662-8
• Peter Hilton; Stammbach, U. Ein Kurs in der homological Algebra. Die zweite Ausgabe. Absolvententexte in der Mathematik, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. internationale Xii+364-Seiten-Standardbuchnummer 0-387-94823-6
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methoden der homological Algebra. Übersetzt aus der russischen 1988-Ausgabe. Die zweite Ausgabe. Springer-Monografien in der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin, 2003. internationale Xx+372-Seiten-Standardbuchnummer 3-540-43583-2
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Algebra von Homological. Übersetzt aus dem durch die Autoren ursprünglichen 1989-Russen. Nachdruck der ursprünglichen englischen Ausgabe von der Reihe-Enzyklopädie von Mathematischen Wissenschaften (Algebra, V, Enzyklopädie-Mathematik. Sci. 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. internationale Iv+222-Seiten-Standardbuchnummer 3-540-65378-3