Einige elementare Beispiele von Gruppen in der Mathematik werden auf der Gruppe (Mathematik) angeführt.

Weitere Beispiele werden hier verzeichnet.

Versetzungen eine Reihe drei Elemente

Betrachten Sie drei farbige Blöcke (als rot, grün, und blau), am Anfang gelegt in die Ordnung RGB. Lassen Sie die Operation sein "tauschen den ersten Block und den zweiten Block", und b, die Operation sein, "tauschen den zweiten Block und den dritten Block".

Wir können schreiben, dass xy für die Operation "zuerst y tun, dann tun Sie x"; so dass ab die Operation RGB  RBG  BRG ist, der als "Bewegung die ersten zwei Blöcke eine Position nach rechts beschrieben werden konnte und den dritten Block in die erste Position gestellt hat". Wenn wir e für die "Erlaubnis die Blöcke schreiben, wie sie sind" (die Identitätsoperation), dann können wir die sechs Versetzungen der drei Blöcke wie folgt schreiben:

• e: RGB  RGB
• a: RGB  GRB
• b: RGB  RBG
• ab: RGB  BRG
• ba: RGB  GBR
• aba: RGB  BGR

Bemerken Sie, dass aa die Wirkung RGB  GRB  RGB hat; so können wir aa = e schreiben. Ähnlich bb = (aba) (aba) = e; (ab) (ba) = (ba) (ab) = e; so hat jedes Element ein Gegenteil.

Durch die Inspektion können wir associativity und Verschluss bestimmen; bemerken Sie insbesondere dass (ba) b = aba = b (ab).

Da es von den grundlegenden Operationen a und b aufgebaut wird, sagen wir, dass der Satz {a, b} diese Gruppe erzeugt. Die Gruppe, genannt die symmetrische Gruppe S, hat Auftrag 6, und ist non-abelian (seit, zum Beispiel, ab  ba).

Die Gruppe von Übersetzungen des Flugzeugs

Eine Übersetzung des Flugzeugs ist eine starre Bewegung jedes Punkts des Flugzeugs für eine bestimmte Entfernung in einer bestimmten Richtung.

Zum Beispiel "ist die Bewegung in der Nordostrichtung für 2 Meilen" eine Übersetzung des Flugzeugs.

Wenn Sie zwei solche Übersetzungen a und b haben, können sie zusammengesetzt werden, um eine neue Übersetzung ein  b wie folgt zu bilden: Folgen Sie zuerst der Vorschrift von b, dann dieser von a.

Zum Beispiel, wenn

:a = "bewegen sich nach Nordosten für 3 Meilen"

und

:b = "bewegen sich nach Südosten für 4 Meilen"

dann

:a  b = "bewegen sich nach Osten für 5 Meilen"

(sieh Pythagoreischen Lehrsatz dafür, warum das so, geometrisch ist).

Der Satz aller Übersetzungen des Flugzeugs mit der Zusammensetzung als Operation bildet eine Gruppe:

1. Wenn a und b Übersetzungen sind, dann ist ein  b auch eine Übersetzung.
2. Die Zusammensetzung von Übersetzungen ist assoziativ: (ein  b)  c = ein  (b  c).
3. Das Identitätselement für diese Gruppe ist die Übersetzung mit der Vorschrift "bewegen Nullmeilen in beliebiger Richtung, die Sie mögen".
4. Das Gegenteil einer Übersetzung wird durch das Wandern in der entgegengesetzten Richtung für dieselbe Entfernung gegeben.

Das ist eine Gruppe von Abelian und unser erstes (nichtgetrenntes) Beispiel einer Lüge-Gruppe: Eine Gruppe, die auch eine Sammelleitung ist.

Die Symmetrie-Gruppe eines Quadrats - zweiflächige Gruppe des Auftrags 8

Gruppen sind sehr wichtig, um die Symmetrie von Gegenständen zu beschreiben, sie geometrisch (wie ein Tetraeder) oder algebraisch (wie eine Reihe von Gleichungen) zu sein.

Als ein Beispiel betrachten wir ein Glasquadrat einer bestimmten Dicke (mit einem Brief "F" als geschrieben darüber, um gerade die verschiedenen Positionen discriminable zu machen).

Um seine Symmetrie zu beschreiben, bilden wir den Satz aller jener starren Bewegungen des Quadrats, die keinen sichtbaren Unterschied (außer dem "F") machen.

Zum Beispiel, wenn Sie es durch 90 ° im Uhrzeigersinn drehen, dann schaut es noch dasselbe, so ist diese Bewegung ein Element unseres Satzes, wollen wir es a nennen.

Wir konnten es auch horizontal schnipsen, so dass seine Unterseite wird.

Wieder, nach dem Durchführen dieser Bewegung, schaut das Glasquadrat dasselbe, so ist das auch ein Element unseres Satzes und wir es b nennen.

Dann gibt es natürlich die Bewegung, die nichts tut; es wird durch e angezeigt.

Jetzt, wenn Sie zwei solche Bewegungen x und y haben, können Sie die Komposition x  y als oben definieren: Sie führen zuerst die Bewegung y und dann die Bewegung x durch.

Das Ergebnis wird die Platte verlassen, die vorher ähnlich ist.

Es ist nämlich so, dass der Satz aller jener Bewegungen, mit der Zusammensetzung als Operation, eine Gruppe bildet.

Diese Gruppe ist die kürzeste Beschreibung der Symmetrie des Quadrats.

Chemiker verwenden Symmetrie-Gruppen dieses Typs, um die Symmetrie von Kristallen zu beschreiben.

Wollen wir unsere Quadratsymmetrie-Gruppe weiter untersuchen.

In diesem Augenblick haben wir die Elemente a, b und e, aber wir können uns mehr leicht formen:

zum Beispiel ist ein  a, auch schriftlich als a, eine 180 ° Grad-Umdrehung.

270 ° im Uhrzeigersinn Folge (oder 90 ° gegen den Uhrzeigersinn Folge) zu sein.

Wir sehen auch dass b = e und auch = e.

Hier ist ein interessanter: Was tut einen  b, tun?

Der erste Flip horizontal, dann rotieren Sie.

Versuchen Sie, sich das ein  b = b  a zu vergegenwärtigen.

Außerdem ist ein  b ein vertikaler Flip und ist b  a gleich.

Diese Gruppe des Auftrags 8 hat den folgenden Tisch von Cayley:

:

Für irgendwelche zwei Elemente in der Gruppe registriert der Tisch, wie ihre Zusammensetzung ist.

Hier haben wir "ab" als eine Kurzschrift für einen  b geschrieben.

Mathematiker kennen diese Gruppe als die zweiflächige Gruppe des Auftrags 8, und nennen es entweder Dih, D oder D abhängig davon, welche Notation sie für zweiflächige Gruppen verwenden.

Das war ein Beispiel einer non-abelian Gruppe: Die Operation  hier ist nicht auswechselbar, den Sie vom Tisch sehen können; der Tisch ist über die Hauptdiagonale nicht symmetrisch.

Die zweiflächige Gruppe des Auftrags 8 ist zu isomorph.

Matrixgruppen

Wenn n eine positive ganze Zahl ist, können wir den Satz des ganzen invertible n durch n matrices über den reals denken, sagen.

Das ist eine Gruppe mit der Matrixmultiplikation als Operation. Es wird die allgemeine geradlinige Gruppe, GL (n) genannt.

Geometrisch enthält es alle Kombinationen von Folgen, Nachdenken, Ausdehnungen, und verdrehen Sie Transformationen des n-dimensional Euklidischen Raums, die einen gegebenen Punkt (der Ursprung) befestigen.

Wenn wir uns zu matrices mit der Determinante 1 einschränken, dann bekommen wir eine andere Gruppe, die spezielle geradlinige Gruppe, SL (n).

Geometrisch besteht das aus allen Elementen von GL (n), die sowohl Orientierung als auch Volumen der verschiedenen geometrischen Festkörper im Euklidischen Raum bewahren.

Wenn stattdessen wir uns zu orthogonalem matrices einschränken, dann bekommen wir die orthogonale Gruppe O (n).

Geometrisch besteht das aus allen Kombinationen von Folgen und Nachdenken, das den Ursprung befestigt.

Das sind genau die Transformationen, die Längen und Winkel bewahren.

Schließlich, wenn wir beide Beschränkungen auferlegen, dann bekommen wir die spezielle orthogonale Gruppe SO (n), der aus Folgen nur besteht.

Diese Gruppen sind unsere ersten Beispiele von unendlichen non-abelian Gruppen. Sie sind auch zufällig sind Liegen Gruppen. Tatsächlich können die meisten wichtigen Lüge-Gruppen (aber nicht alle) als Matrixgruppen ausgedrückt werden.

Wenn diese Idee zu matrices mit komplexen Zahlen als Einträge verallgemeinert wird, dann bekommen wir weitere nützliche Lüge-Gruppen, wie die einheitliche Gruppe U (n).

Wir können auch matrices mit quaternions als Einträge denken; in diesem Fall gibt es keinen bestimmten Begriff einer Determinante (und so keine gute Weise, ein quaternionic "Volumen" zu definieren), aber wir können noch eine Gruppe definieren, die der orthogonalen Gruppe, der symplectic Gruppe Sp (n) analog ist.

Außerdem kann die Idee rein algebraisch mit matrices über jedes Feld behandelt werden, aber dann sind die Gruppen nicht Liegen Gruppen.

Zum Beispiel haben wir die allgemeinen geradlinigen Gruppen über begrenzte Felder. Der Gruppentheoretiker J. L. Alperin hat geschrieben, dass "Das typische Beispiel einer begrenzten Gruppe GL (n, q), die allgemeine geradlinige Gruppe von n Dimensionen über das Feld mit q Elementen ist. Der Student, der ins Thema mit anderen Beispielen vorgestellt wird, lässt sich völlig verleiten." (Meldung (Neue Reihe) der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft, 10 (1984) 121)

Freie Gruppe auf zwei Generatoren

Die freie Gruppe mit zwei Generatoren a und b besteht aus allen begrenzten Schnuren, die von den vier Symbolen a, a, b und solcher b gebildet werden können, dass nicht ein Erscheinen direkt neben einem a und keinem b direkt neben einem b erscheint.

Zwei solche Schnuren können verkettet und in eine Schnur dieses Typs durch das wiederholte Ersetzen der "verbotenen" Teilketten mit der leeren Schnur umgewandelt werden.

Zum Beispiel: "ababa" mit verkettet

"ababa" gibt "ababaababa" nach, der auf "abaaba" reduziert wird.

Man kann überprüfen, dass der Satz jener Schnuren mit dieser Operation eine Gruppe mit dem neutralen Element die leere Schnur ε bildet: = "".

(Gewöhnlich werden die Anführungszeichen weggelassen, der ist, warum Sie das Symbol ε brauchen!)

Das ist eine andere unendliche non-abelian Gruppe.

Freie Gruppen sind in der algebraischen Topologie wichtig; die freie Gruppe in zwei Generatoren wird auch für einen Beweis des Paradoxes von Banach-Tarski verwendet.

Der Satz von Karten

Die Sätze von Karten von einem Satz bis eine Gruppe

Lassen Sie G eine Gruppe und S ein nichtleerer Satz sein.

Der Satz von Karten ist M (S, G) selbst eine Gruppe; nämlich für zwei Karten f, g von S in G definieren wir fg, um die solche Karte dass (fg) (x) = f (x) g (x) für jeden xS und f zu sein, um die solche Karte dass f (x) = f (x) zu sein.

Nehmen Sie Karten f, g und h in der M (S, G).

Für jeden x in S sind f (x) und g (x) sowohl in G, als auch ist auch (fg) (x).

Deshalb ist fg auch in der M (S, G), oder M (S, G) wird geschlossen.

Für ((fg) h) (x) = (fg) (x) h (x) = (f (x) g (x)) h (x) = f (x) (g (x) h (x)) = f (x) (gh) (x) = (f (gh)) (x),

M (S, G) ist assoziativ.

Und es gibt eine solche Karte i, dass ich (x) = e, wo e das Einheitselement von G ist.

Die Karte i macht alle Funktionen f in der M (S, G) solch dass

wenn = fi = f, oder ich das Einheitselement der M (S, G) bin.

So ist M (S, G) wirklich eine Gruppe.

Wenn G, dann (fg) (x) = f (x) g (x) = g (x) f (x) = (gf) (x) auswechselbar ist.

Deshalb auch ist M (S, G).

Die Gruppen von Versetzungen

Lassen Sie G der Satz von bijektivem mappings eines Satzes S auf sich sein.

Dann ist G, der auch durch Dauerwelle (S) oder Sym (S) angezeigt ist, eine Gruppe mit der gewöhnlichen Zusammensetzung von mappings.

Das Einheitselement von G ist die Identitätskarte von S.

Weil zwei Karten f und g in G bijektiv sind, ist fg auch bijektiv.

Deshalb wird G geschlossen.

Die Zusammensetzung von Karten ist assoziativ; folglich ist G eine Gruppe.

S kann entweder begrenzt, oder unendlich sein.

Einige begrenztere Gruppen

• Liste von kleinen Gruppen
• Liste der 230 crystallographic 3D-Raumgruppen