In der Ringtheorie, einem Zweig der abstrakten Algebra, ist ein Hauptideal ein Ideal I in einem Ring R, der durch ein einzelnes Element von R erzeugt wird.

Mehr spezifisch:

• ein linkes Hauptideal von R ist eine Teilmenge von R der Form Ra: = {ra: r in R\;
• ein richtiges Hauptideal ist eine Teilmenge der Form aR: = {ar: r in R\;
• ein zweiseitiges Hauptideal ist eine Teilmenge der Form RaR: = {ras +... + ras: r, s..., r, s in R\.

Wenn R ein Ersatzring ist, dann sind die obengenannten drei Begriffe alle gleich.

In diesem Fall ist es üblich, das Ideal zu schreiben, das durch als a  erzeugt ist.

Nicht alle Ideale sind hauptsächlich.

Denken Sie zum Beispiel den Ersatzring C [x, y] von allen Polynomen in zwei Variablen x und y mit komplizierten Koeffizienten.

Das Ideal x, y  erzeugt durch x und y, der aus allen Polynomen in C [x, y] besteht, die Null für den unveränderlichen Begriff haben, ist nicht hauptsächlich.

Um das zu sehen, nehmen Sie an, dass p ein Generator für x, y  waren; dann würde x und y beide durch p teilbar sein, der unmöglich ist, wenn p keine Nichtnullkonstante ist.

Aber Null ist die einzige Konstante in x, y , so haben wir einen Widerspruch.

Ein Ring, in dem jedes Ideal hauptsächlich ist, wird hauptsächlich, oder ein idealer Hauptring genannt.

Ein ideales Hauptgebiet (PID) ist ein integriertes Gebiet, das hauptsächlich ist.

Jeder PID muss ein einzigartiges factorization Gebiet sein; der normale Beweis von einzigartigem factorization in den ganzen Zahlen (der so genannte Hauptsatz der Arithmetik) hält in jedem PID.

Außerdem ist jedes Euklidische Gebiet ein PID; der Algorithmus, der verwendet ist, um größte allgemeine Teiler zu berechnen, kann verwendet werden, um einen Generator jedes Ideales zu finden.

Mehr allgemein haben irgendwelche zwei Hauptideale in einem Ersatzring einen größten allgemeinen Teiler im Sinne der idealen Multiplikation.

In idealen Hauptgebieten erlaubt das uns, größte allgemeine Teiler von Elementen des Rings bis zur Multiplikation durch eine Einheit zu berechnen; wir definieren gcd (a, b), um jeder Generator des Ideales a, b  zu sein.

Für ein Gebiet von Dedekind R können wir auch, in Anbetracht eines Nichthauptideales I von R fragen, ob es etwas Erweiterung S von solchem R gibt, dass das Ideal von von mich erzeugtem S hauptsächlich bin (hat loser gesagt, ich werde hauptsächlich in S).

Diese Frage ist im Zusammenhang mit der Studie von Ringen von algebraischen ganzen Zahlen entstanden (die Beispiele von Gebieten von Dedekind sind) in der Zahlentheorie, und zur Entwicklung der Klassenfeldtheorie durch Teiji Takagi, Emil Artin, David Hilbert und viele andere geführt hat.

Der ideale Hauptlehrsatz der Klassenfeldtheorie stellt fest, dass jede ganze Zahl R anruft (d. h. der Ring von ganzen Zahlen von einem numerischen Feld) in einem größeren RingS der ganzen Zahl enthalten wird, der das Eigentum hat, dass jedes Ideal von R ein Hauptideal von S wird.

In diesem Lehrsatz können wir S nehmen, um der Ring von ganzen Zahlen des Klassenfeldes von Hilbert von R zu sein; d. h. die maximale unverzweigte abelian Erweiterung (d. h. Erweiterung von Galois, deren Gruppe von Galois abelian ist) des Bruchteil-Feldes von R, und wird das durch R einzigartig bestimmt.

Der ideale Hauptlehrsatz von Krull stellt fest, dass, wenn R ein Ring von Noetherian ist und ich ein hauptsächliches, richtiges Ideal von R bin, dann habe ich Höhe an meisten ein.

Siehe auch

• Das Steigen der Kettenbedingung für Hauptideale