In der Gruppentheorie ist der centralizer einer Teilmenge S einer Gruppe G der Satz von Elementen von G, die mit jedem Element von S pendeln, und der normalizer von S der Satz von Elementen von G ist, die mit S "als Ganzes" pendeln. Der centralizer und normalizer von S sind Untergruppen von G, und können Einblick in die Struktur von G gewähren.

Die Definitionen gelten auch für monoids und Halbgruppen.

In der Ringtheorie wird der centralizer einer Teilmenge eines Rings in Bezug auf die Halbgruppe (Multiplikation) Operation des Rings definiert. Der centralizer einer Teilmenge eines Rings R ist ein Subring von R. Dieser Artikel befasst sich auch mit centralizers und normalizers in der Lüge-Algebra.

Der idealizer in einer Halbgruppe oder Ring ist ein anderer Aufbau, der in derselben Ader wie der centralizer und normalizer ist.

Definitionen

Gruppen und Halbgruppen

Der centralizer einer Teilmenge S der Gruppe (oder Halbgruppe) G wird definiert, um zu sein

Manchmal, wenn es keine Zweideutigkeit über die fragliche Gruppe gibt, wird der G aus der Notation völlig unterdrückt. Als S = eines Singletons zu sein, untergegangen ist, dann C ({eine}) Dose werden zu C (a) abgekürzt. Eine andere weniger allgemeine Notation für den centralizer ist Z (a), der der Notation für das Zentrum einer Gruppe anpasst. Mit dieser letzten Notation muss man darauf achten, Verwirrung zwischen dem Zentrum einer Gruppe G, Z (G), und dem centralizer eines Elements g in G zu vermeiden, der durch Z (g) gegeben ist.

Der normalizer von S in der Gruppe (oder Halbgruppe) G wird definiert, um zu sein

Die Definitionen sind ähnlich, aber nicht identisch. Wenn g im centralizer von S ist und s in S ist, dann muss es sein, dass gs = sg, jedoch wenn g im normalizer, gs = tg für einen t in S ist, der von s potenziell verschieden ist. Dieselbe Vereinbarung erwähnt vorher über das Unterdrücken G und Unterdrücken von geschweiften Klammern von Singleton-Sätzen gilt auch für die normalizer Notation. Der normalizer sollte mit dem normalen Verschluss nicht verwirrt sein.

Ringe, Algebra, Liegen Ringe und Liegen Algebra

Wenn R ein Ring oder eine Algebra ist, und S eine Teilmenge des Rings ist, dann wird der centralizer von S genau als für Gruppen mit R im Platz von G definiert.

Wenn eine Lüge-Algebra ist (oder Lügen Sie Ring) mit dem Lüge-Produkt [x, y], dann wird der centralizer einer Teilmenge S dessen definiert, um zu sein

Die Definition von centralizers für Lüge-Ringe wird mit der Definition für Ringe folgendermaßen verbunden. Wenn R ein assoziativer Ring ist, dann kann R das Klammer-Produkt [x, y] = xy — yx gegeben werden. Natürlich dann xy = yx wenn und nur wenn [x, y] = 0. Wenn wir den Satz R mit dem Klammer-Produkt als L anzeigen, dann klar ist der Ring centralizer S in R dem Lüge-Ringcentralizer von S in L gleich.

Der normalizer einer Teilmenge S einer Lüge-Algebra (oder Liegen Ring), wird durch gegeben

Während das der Standardgebrauch des Begriffes "normalizer" in der Lüge-Algebra ist, sollte es bemerkt werden, dass dieser Aufbau wirklich der idealizer des Satzes S darin ist. Wenn S eine zusätzliche Untergruppe dessen ist, dann der größte Lüge-Subring ist (oder Lügen Sie Subalgebra, je nachdem), in dem S ein Lüge-Ideal ist.

Eigenschaften

Gruppen

• Der centralizer und normalizer von S sind beide Untergruppen von G.
• Klar, C (S) N (S). Tatsächlich C ist (S) immer eine normale Untergruppe von N (S).
• C (C (S)) enthält S, aber C (S) braucht S nicht zu enthalten. Eindämmung wird wenn st=ts für jeden s und t in S vorkommen. Natürlich dann, wenn H eine abelian Untergruppe von G ist, C enthält (H) H.
• Wenn S ein subsemigroup von G ist, dann enthält N (S) S.
• Wenn H eine Untergruppe von G ist, dann ist die größte Untergruppe, in der H normal ist, die Untergruppe N (H).
• Eine Untergruppe H einer Gruppe G wird eine Selbstnormalisieren-Untergruppe von G wenn N (H) = H genannt.
• Das Zentrum von G ist genau C (G), und G ist eine abelian Gruppe wenn und nur wenn C (G) =Z (G) = G.
• Für Singleton-Sätze, C (a) =N (a).
• Durch die Symmetrie, wenn S und T zwei Teilmengen von G, TC (S) wenn und nur wenn SC (T) sind.
• Für eine Untergruppe H der Gruppe G stellt der N/C Lehrsatz fest, dass die Faktor-Gruppe N (H)/C (H) zu einer Untergruppe von Aut (H), die automorphism Gruppe von H isomorph ist. Seitdem N (G) = G und C (G) = Z (G), der N/C Lehrsatz deutet auch an, dass G/Z (G) zum Gasthof (G), die Untergruppe von Aut (G) isomorph ist, aus dem ganzen inneren automorphisms von G bestehend.
• Wenn wir einen Gruppenhomomorphismus T definieren: G  Gasthof (G) durch T (x) (g) = T (g) = xgx dann können wir N (S) und C (S) in Bezug auf die Gruppenhandlung des Gasthofs (G) auf G beschreiben: Der Ausgleicher von S im Gasthof (G) ist T (N (S)), und die Untergruppe des Gasthofs (G), S befestigend, ist T (C (S)).

Ringe und Algebra

• Centralizers in Ringen und Algebra sind Subringe und Subalgebra, beziehungsweise, und centralizers in Lüge-Ringen und Lügen Algebra sind Lüge-Subringe und Liegen Subalgebra beziehungsweise.
• Der normalizer von S in einem Lüge-Ring enthält den centralizer von S.
• C (C (S)) enthält S, aber ist nicht notwendigerweise gleich. Der doppelte centralizer Lehrsatz befasst sich mit Situationen, wo Gleichheit vorkommt.
• Wenn S eine zusätzliche Untergruppe eines Lüge-Rings A ist, dann ist N (S) der größte Lüge-Subring, in dem S ein Lüge-Ideal ist.
• Wenn S ein Lüge-Subring eines Lüge-Rings A, dann SN (S) ist.

Siehe auch

• Commutant
• Ausgleicher-Untergruppe
• Vermehrer und centralizers (Banachräume)
• Verdoppeln Sie centralizer Lehrsatz
• Idealizer

Referenzen