In der Mathematik ist ein paraboloid eine quadric Oberfläche der speziellen Art. Es gibt zwei Arten von paraboloids: elliptisch und hyperbolisch. Der elliptische paraboloid wird wie eine ovale Tasse gestaltet und kann einen maximalen oder minimalen Punkt haben.

In einem passenden Koordinatensystem mit drei Äxten, und, kann es durch die Gleichung vertreten werden

:

\frac {z} {c} = \frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2}.

</Mathematik>

wo und Konstanten sind, die das Niveau der Krümmung in - und - Flugzeuge beziehungsweise diktieren.

Das ist ein elliptischer paraboloid, der sich aufwärts öffnet.

Der hyperbolische paraboloid (um mit einem hyperboloid nicht verwirrt zu sein), ist doppelt geherrscht in der Oberflächenform wie ein Sattel. In einem passenden Koordinatensystem kann ein hyperbolischer paraboloid durch die Gleichung vertreten werden

:

\frac {z} {c} = \frac {y^2} {b^2} - \frac {x^2} {a^2}.

</Mathematik>

Für c> 0 ist das ein hyperbolischer paraboloid, der entlang der X-Achse und unten entlang der Y-Achse öffnet (d. h. die Parabel im Flugzeug x=0 öffnet sich aufwärts, und die Parabel im Flugzeug öffnet sich y=0 nach unten).

Eigenschaften

Mit = b ein elliptischer paraboloid ist ein paraboloid der Revolution: eine erhaltene Oberfläche durch das Rotieren einer Parabel um seine Achse. Es ist die Gestalt der parabolischen Reflektoren, die in Spiegeln, Antenne-Tellern und ähnlich verwendet sind; und ist auch die Gestalt der Oberfläche von rotierender Flüssigkeit, ein Grundsatz, der in flüssigen Spiegelfernrohren und im Bilden fester Fernrohr-Spiegel verwendet ist (sieh Rotierenden Brennofen). Diese Gestalt wird auch ein Rundschreiben paraboloid genannt.

Eine Punkt-Licht-Quelle am Brennpunkt erzeugt einen parallelen leichten Balken. Das arbeitet auch der andere Weg ringsherum: Ein paralleles Lichtstrahl-Ereignis auf dem paraboloid wird am Brennpunkt konzentriert. Das gilt auch wegen anderer Wellen, folglich parabolische Antennen.

Der hyperbolische paraboloid ist eine doppelt geherrschte Oberfläche: Es enthält zwei Familien dessen gegenseitig verdrehen Linien. Die Linien in jeder Familie sind zu einem allgemeinen Flugzeug, aber nicht zu einander parallel.

Krümmung

Der elliptische paraboloid, parametrisiert einfach als

:

hat Krümmung von Gaussian

:

und Mittelkrümmung

:

die beide immer positiv sind, ihr Maximum am Ursprung haben, kleiner werden, weil ein Punkt auf der Oberfläche weiter vom Ursprung abrückt, und neigen Sie asymptotisch zur Null, weil vorerwähnter Punkt ungeheuer vom Ursprung abrückt.

Der hyperbolische paraboloid, wenn parametrisiert, als

:hat Krümmung von Gaussian:und Mittelkrümmung:

Multiplikationstabelle

Wenn der hyperbolische paraboloid

:

wird durch einen Winkel von π/4 in der +z Richtung rotieren gelassen (gemäß der Regel der rechten Hand), das Ergebnis ist die Oberfläche

:

und wenn dann das zu vereinfacht

:.

Schließlich, das Lassen, sehen wir dass der hyperbolische paraboloid

:ist

zur Oberfläche kongruent

:

vom als die geometrische Darstellung gedacht werden kann (ein dreidimensionaler nomograph, wie es war) einer Multiplikationstabelle.

Die zwei paraboloidal fungieren

:und:sind

harmonisch paart sich, und bilden Sie zusammen die analytische Funktion

:

der die analytische Verlängerung der parabolischen Funktion ist

Anwendungen

Die Flüssigkeit in einem spinnenden Zylinder wird einen paraboloid bilden. Dieses Eigentum kann verwendet werden, um ein flüssiges Spiegelfernrohr mit einer rotierenden Lache einer reflektierenden Flüssigkeit wie Quecksilber für den primären Spiegel zu machen. Dieselbe Technik wird verwendet, um festen paraboloids in rotierenden Brennöfen zu machen.

Die Pringles Kartoffelchips sind von der gestutzten Hyperbelparaboloid-Gestalt.

Siehe auch

• Quadratische Form

Ellipsoid

• Hyperboloid

Struktur von Hyperboloid

• Sattel-Dach
• Holophones