Der Nullstellensatz von Hilbert (Deutsch: "Der Lehrsatz von Nullen," oder wörtlicher, "Null-Lehrsatz des geometrischen Orts" - sieht Satz) ist ein Lehrsatz, der eine grundsätzliche Beziehung zwischen Geometrie und Algebra herstellt. Diese Beziehung ist die Basis der algebraischen Geometrie, ein wichtiger Zweig der Mathematik. Es bezieht sich algebraische Sätze zu Idealen in polynomischen Ringen haben algebraisch Felder geschlossen. Diese Beziehung wurde von David Hilbert entdeckt, der Nullstellensatz und mehrere andere wichtige zusammenhängende Lehrsätze bewiesen hat, die nach ihm (wie der Basislehrsatz von Hilbert) genannt sind.

Formulierung

Lassen Sie k ein Feld (wie die rationalen Zahlen) und K sein, eine algebraisch geschlossene Felderweiterung (wie die komplexen Zahlen) sein, den polynomischen Ring k [X, X..., X] zu denken und mich ein Ideal in diesem Ring sein zu lassen. Die affine Vielfalt V durch dieses Ideal definierter (I) besteht aus allen N-Tupeln x = (x..., x) in solchem K dass f (x) = 0 für den ganzen f in mir. Nullstellensatz von Hilbert stellt fest, dass, wenn p ein Polynom in k [X, X..., X] ist, der auf der Vielfalt V (I), d. h. p (x) = 0 für den ganzen x in V (I) dann verschwindet, dort eine natürliche Zahl r solch besteht, dass p in I. ist

Eine unmittelbare Folgeerscheinung ist "schwacher Nullstellensatz": Das Ideal I in k [X, X..., X] enthält 1, wenn, und nur wenn die Polynome in mir keine allgemeinen Nullen in K habe.

Wenn k=K "schwacher Nullstellensatz" auch wie folgt festgesetzt werden kann:

wenn ich ein richtiges Ideal in K [X, X..., X] bin, dann V (I) kann nicht leer sein, d. h. dort besteht eine allgemeine Null für alle Polynome im Ideal. Das ist der Grund für den Namen des Lehrsatzes, der leicht von der 'schwachen' Form mit dem Trick von Rabinowitsch bewiesen werden kann. Die Annahme, dass K algebraisch geschlossen werden hier notwendig ist; die Elemente des richtigen Ideales (X + 1) in R [X] haben keine allgemeine Null.

Mit der in der algebraischen Geometrie üblichen Notation kann Nullstellensatz auch als formuliert werden

für jedes Ideal J. Hier, zeigt den Radikalen von J an, und ich (U) bin das Ideal aller Polynome, die auf dem Satz U verschwinden.

Auf diese Weise erhalten wir eine Ordnung umkehrende bijektive Ähnlichkeit zwischen den affine Varianten in K und den radikalen Idealen von K [X, X..., X]. Tatsächlich, mehr allgemein, hat man eine Verbindung von Galois zwischen Teilmengen des Raums und Teilmengen der Algebra, wo "Verschluss von Zariski" und "radikal des erzeugten Ideales" die Verschluss-Maschinenbediener ist.

Generalisation

Diese Generalisation ist wegen Bourbaki, und ist die allgemeinste Form von Nullstellensatz.

Lassen Sie, ein Ring von Jacobson zu sein. Wenn eine begrenzt erzeugte R-Algebra ist, dann ein Ring von Jacobson ist. Weiter, wenn ein maximales Ideal ist, dann ein maximales Ideal von R ist, und ein begrenztes Erweiterungsfeld dessen ist.

Eine andere Generalisation stellt fest, dass ein treu flacher morphism lokal des begrenzten Typs mit X quasikompakt eine Quasiabteilung hat, d. h. dort affine und treu flach und quasibegrenzt mehr als X zusammen mit einem X-morphism besteht.

Anwendungen

Das Austauschen matrices

Die Tatsache, dass das Austauschen matrices einen allgemeinen Eigenvektoren - und folglich durch die Induktion hat, stabilisiert eine allgemeine Fahne und ist gleichzeitig triangularizable - kann infolge schwachen Nullstellensatz wie folgt interpretiert werden: Das Austauschen matrices bildet eine Ersatzalgebra

: über

die matrices befriedigen verschiedene Polynome wie ihre minimalen Polynome, die ein richtiges Ideal bilden (weil sie nicht die ganze Null sind, in welchem Fall das Ergebnis trivial ist); man könnte das das charakteristische Ideal analog mit dem charakteristischen Polynom nennen.

Man definiert dann einen Eigenvektoren für eine Ersatzalgebra als ein Vektor v solch, dass für alle man für einen geradlinigen funktionellen hat

Das einfach linearizes die Definition eines eigenvalue, und ist die richtige Definition für einen allgemeinen Eigenvektoren, als ob v ein allgemeiner Eigenvektor ist, dann bedeutend, dass das funktionelle als definiert wird

(behandelnde Skalare als Vielfachen der Identitätsmatrix, die eigenvalue 1 für alle Vektoren hat), und umgekehrt ist ein Eigenvektor für solch ein funktionelles ein allgemeiner Eigenvektor. Geometrisch entspricht der eigenvalue dem Punkt im affine K-Raum mit Koordinaten in Bezug auf die durch gegebene Basis

Dann ist die Existenz eines eigenvalue zum Ideal gleichwertig, das durch (die Beziehungen erzeugt ist, die durch zufrieden sind) nichtleer zu sein, der genau den üblichen Beweis der Existenz eines eigenvalue vorhandenen für eine einzelne Matrix über ein algebraisch geschlossenes Feld durch die Vertretung verallgemeinert, dass das charakteristische Polynom eine Null hat.

Siehe auch

• Der Positivstellensatz von Stengle
• Differenzial Nullstellensatz
• Kombinatorischer Nullstellensatz
• David Eisenbud, Ersatzalgebra Mit einer Ansicht zur Algebraischen Geometrie, New York: Springer-Verlag, 1999.