In der mathematischen Logik stellt der Kompaktheitslehrsatz fest, dass eine Reihe von Sätzen der ersten Ordnung ein Modell hat, wenn, und nur wenn jede begrenzte Teilmenge davon ein Modell hat. Dieser Lehrsatz ist ein wichtiges Werkzeug in der Mustertheorie, weil es eine nützliche Methode zur Verfügung stellt, um Modelle jeder Menge der Aussagen zu bauen, die begrenzt entspricht.

Der Kompaktheitslehrsatz für die Satzrechnung ist eine Folge des Lehrsatzes von Tychonoff (der sagt, dass das Produkt von Kompakträumen kompakt ist) angewandt auf Kompaktsteinräume; folglich, der Name des Lehrsatzes. Ebenfalls ist es der begrenzten Kreuzungseigentumscharakterisierung der Kompaktheit in topologischen Räumen analog: Eine Sammlung von geschlossenen Sätzen in einem Kompaktraum hat eine nichtleere Kreuzung, wenn jede begrenzte Subsammlung eine nichtleere Kreuzung hat.

Der Kompaktheitslehrsatz ist einer der zwei Schlüsseleigenschaften zusammen mit dem Löwenheim-Skolem Lehrsatz nach unten, der im Lehrsatz von Lindström verwendet wird, um Logik der ersten Ordnung zu charakterisieren. Obwohl es einige Generalisationen des Kompaktheitslehrsatzes zur Logik "nicht gibt, zuerst bestellen", der Kompaktheitslehrsatz selbst hält in ihnen nicht.

Geschichte

Kurt Gödel hat den zählbaren Kompaktheitslehrsatz 1930 bewiesen. Anatoly Maltsev hat den unzählbaren Fall 1936 bewiesen.

Anwendungen

Der Kompaktheitslehrsatz hat viele Anwendungen in der Mustertheorie; einige typische Ergebnisse werden hier kurz gefasst.

Der Kompaktheitslehrsatz bezieht den Grundsatz von Robinson ein: Wenn ein Satz der ersten Ordnung in jedem Feld der charakteristischen Null hält, dann dort besteht ein unveränderlicher solcher p, dass der Satz für jedes Feld der Eigenschaft größer hält als p. Das kann wie folgt gesehen werden: Nehmen Sie an, dass φ ein Satz ist, der in jedem Feld der charakteristischen Null hält. Dann würde seine Ablehnung ¬ φ, zusammen mit den Feldaxiomen und der unendlichen Folge von Sätzen, die 1+1  0, 1+1+1  0, …, nicht satisfiable sind (weil es kein Feld der Eigenschaft 0 gibt, in der ¬ φ hält, und sichert die unendliche Folge von Sätzen jedes Modell, ein Feld der Eigenschaft 0 sein). Deshalb gibt es eine begrenzte Teilmenge dieser Sätze, der nicht satisfiable ist. Wir können annehmen, dass A ¬ φ, die Feldaxiome, und, für einen k, die ersten k Sätze der Form 1+1 + enthält... +1  0 (weil das Hinzufügen von mehr Sätzen unsatisfiability nicht ändert). Gelassener B enthält alle Sätze außer ¬ φ. Dann ist jedes Modell von B ein Feld der Eigenschaft, die größer ist als k, und ¬ φ zusammen mit B ist nicht satisfiable. Das bedeutet, dass φ in jedem Modell von B halten muss, was genau bedeutet, dass φ in jedem Feld der Eigenschaft größer hält als k.

Eine zweite Anwendung des Kompaktheitslehrsatzes zeigt, dass jede Theorie, die willkürlich große begrenzte Modelle oder ein einzelnes unendliches Modell hat, Modelle von willkürlichem großem cardinality hat (das ist der Nach oben gerichtete Löwenheim-Skolem Lehrsatz). Also, zum Beispiel gibt es Sondermodelle der Arithmetik von Peano mit unzählbar vielen 'natürlichen Zahlen'. Um das zu erreichen, lassen Sie T die anfängliche Theorie sein und κ jede Grundzahl sein zu lassen. Fügen Sie zur Sprache von T ein unveränderliches Symbol für jedes Element von κ hinzu. Dann fügen Sie zu T eine Sammlung von Sätzen hinzu, die sagen, dass die Gegenstände, die durch irgendwelche zwei verschiedenen unveränderlichen Symbole von der neuen Sammlung angezeigt sind, verschieden sind (das ist eine Sammlung von κ-Sätzen). Da jede begrenzte Teilmenge dieser neuen Theorie satisfiable durch ein genug großes begrenztes Modell von T, oder durch jedes unendliche Modell ist, ist die komplette verlängerte Theorie satisfiable. Aber jedes Modell der verlängerten Theorie hat cardinality mindestens κ

Eine dritte Anwendung des Kompaktheitslehrsatzes ist der Aufbau von Sondermodellen der reellen Zahlen, d. h. konsequenten Erweiterungen der Theorie der reellen Zahlen, die "unendlich kleine" Zahlen enthalten. Um das zu sehen, lassen Sie Σ eine erste Ordnung axiomatization der Theorie der reellen Zahlen sein. Betrachten Sie die Theorie als erhalten, indem Sie ein neues unveränderliches Symbol ε in die Sprache hinzufügen und Σ an das Axiom ε> 0 und die Axiome ε angrenzen

Beweise

Man kann den Kompaktheitslehrsatz mit dem Vollständigkeitslehrsatz von Gödel beweisen, der feststellt, dass eine Reihe von Sätzen satisfiable ist, wenn, und nur wenn kein Widerspruch davon bewiesen werden kann. Da Beweise immer begrenzt sind und deshalb nur begrenzt viele der gegebenen Sätze einschließen, folgt der Kompaktheitslehrsatz. Tatsächlich ist der Kompaktheitslehrsatz zum Vollständigkeitslehrsatz von Gödel gleichwertig, und beide sind zu Boolean idealer Hauptlehrsatz, eine schwache Form des Axioms der Wahl gleichwertig.

Gödel hat ursprünglich den Kompaktheitslehrsatz auf gerade diese Weise bewiesen, aber später wurden einige "rein semantische" Beweise des Kompaktheitslehrsatzes, d. h., Beweise gefunden, die sich auf die Wahrheit, aber nicht auf provability beziehen. Einer jener Beweise verlässt sich auf Ultraprodukte, die vom Axiom der Wahl wie folgt abhängen:

Beweis: Befestigen Sie eine Sprache der ersten Ordnung L, und lassen Sie Σ eine Sammlung von solchen L-Sätzen sein, dass jede begrenzte Subsammlung von L-Sätzen ich  Σ seiner ein Modell hat. Lassen Sie auch, das direkte Produkt der Strukturen und meiner zu sein, die Sammlung von begrenzten Teilmengen von Σ sein. Für jeden ich in lasse mir

A: = {j  I: j  i\.

Die Familie aller dieser Sätze A erzeugt einen Filter, also gibt es einen Ultrafilter U, alle Sätze der Form A enthaltend.

Jetzt für jede Formel φ in Σ haben wir:

• der Satz A ist in U
• wann auch immer j  A, dann φ  j, folglich φ in hält
• der Satz des ganzen j mit dem Eigentum, das φ zurückhält, ist eine Obermenge von A, folglich auch in U

Das Verwenden des Łoś's Lehrsatzes wir sehen, dass φ im Ultraprodukt hält. So befriedigt dieses Ultraprodukt alle Formeln in Σ.

Siehe auch

• Liste von Algebra-Themen von Boolean
• Löwenheim-Skolem Lehrsatz
• Der Lehrsatz von Herbrand
• Kompaktheitslehrsatz von Barwise

Referenzen

Weiterführende Literatur