In der Mathematik ist die Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit dem Axiom der Wahl, genannt nach Mathematikern Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel und allgemein abgekürztem ZFC, eines von mehreren axiomatischen Systemen, die am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts vorgeschlagen wurden, um eine Theorie von Sätzen ohne die Paradoxe der naiven Mengenlehre wie das Paradox von Russell zu formulieren. Spezifisch erlaubt ZFC uneingeschränktes Verständnis nicht. Heute ist ZFC die Standardform der axiomatischen Mengenlehre, und wie solcher das allgemeinste Fundament der Mathematik ist.

ZFC ist beabsichtigt, um einen einzelnen primitiven Begriff, diesen eines erblichen wohl begründeten Satzes zu formalisieren, so dass alle Personen im Weltall des Gesprächs solche Sätze sind. So beziehen sich die Axiome von ZFC nur auf Sätze, nicht auf urelements (Elemente von Sätzen, die nicht sind, selbst geht unter), oder Klassen (Sammlungen von mathematischen Gegenständen, die durch ein Eigentum definiert sind, das von ihren Mitgliedern geteilt ist). Die Axiome von ZFC halten seine Modelle davon ab, urelements zu enthalten, und richtige Klassen können nur indirekt behandelt werden.

Formell ist ZFC eine eine sortierte Theorie in der Logik der ersten Ordnung. Die Unterschrift hat Gleichheit und eine einzelne primitive binäre Beziehung, Satz-Mitgliedschaft, die gewöhnlich  angezeigt wird. Die Formel ein  b bedeutet, dass der Satz eines Mitgliedes des Satzes b zu sein (der auch, "gelesen wird eines Elements von b" zu sein, oder "in b" zu sein).

Es gibt viele gleichwertige Formulierungen der ZFC Axiome. Die meisten ZFC Axiome setzen die Existenz von besonderen von anderen Sätzen definierten Sätzen fest. Zum Beispiel sagt das Axiom der Paarung, dass gegeben irgendwelche zwei Sätze a und b dort ein neuer Satz {a, b} ist, genau a und b enthaltend. Andere Axiome beschreiben Eigenschaften der Satz-Mitgliedschaft. Eine Absicht der ZFC Axiome besteht darin, dass jedes Axiom, wenn interpretiert, als eine Behauptung über die Sammlung aller Sätze im Weltall von von Neumann (auch bekannt als die kumulative Hierarchie) wahr sein sollte.

Der metamathematics von ZFC ist umfassend studiert worden. Grenzstein läuft auf dieses Gebiet hinaus hat die Unabhängigkeit der Kontinuum-Hypothese von ZFC, und des Axioms der Wahl von den restlichen ZFC Axiomen gegründet.

Geschichte

1908 hat Ernst Zermelo die erste axiomatische Mengenlehre, Mengenlehre von Zermelo vorgeschlagen. Diese axiomatische Theorie hat den Aufbau von großen Ordinalzahlen nicht erlaubt. Während der grösste Teil der "gewöhnlichen Mathematik" entwickelt werden kann, ohne diese großen Ordnungszahlen zu verwenden, sind sie ein wesentliches Werkzeug in den meisten mit dem Satz theoretischen Untersuchungen. Außerdem hat eines der Axiome von Zermelo ein Konzept, dieses eines "bestimmten" Eigentums angerufen, dessen betriebliche Bedeutung nicht klar war. 1922 haben Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem unabhängig operationalizing ein "bestimmtes" Eigentum als dasjenige vorgeschlagen, das als eine erste Ordnungstheorie formuliert werden konnte, deren Atomformeln beschränkt wurden, um Mitgliedschaft und Identität zu setzen. Sie haben auch unabhängig vorgehabt, das Axiom-Diagramm der Spezifizierung mit dem Axiom-Diagramm des Ersatzes zu ersetzen. Das Befestigen dieses Diagramms, sowie des Axioms der Regelmäßigkeit (zuerst vorgeschlagen von Dimitry Mirimanoff 1917), zur Mengenlehre von Zermelo gibt die durch ZF angezeigte Theorie nach. Wenn sie zu ZF beitragen, geben entweder das Axiom der Wahl (AC) oder eine Behauptung, die dazu gleichwertig ist, ZFC nach.

Die Axiome

Es gibt viele gleichwertige Formulierungen der ZFC Axiome; für eine reiche, aber etwas veraltete Diskussion dieser Tatsache, sieh Fraenkel u. a. (1973). Der folgende besondere Axiom-Satz ist von Kunen (1980). Die Axiome werden per se in der Symbolik der ersten Ordnungslogik ausgedrückt. Die verbundene englische Prosa ist nur beabsichtigt, um der Intuition zu helfen.

Alle Formulierungen von ZFC deuten an, dass mindestens ein Satz besteht. Kunen schließt ein Axiom ein, das direkt die Existenz eines Satzes zusätzlich zu den Axiomen behauptet, die unten gegeben sind. Seine Weglassung hier kann auf zwei Weisen gerechtfertigt werden. Viele Autoren verlangen ein nichtleeres Gebiet des Gesprächs als ein Teil der Semantik der Logik der ersten Ordnung, in der ZFC formalisiert wird. Auch das Axiom der Unendlichkeit deutet (unten) auch an, dass mindestens ein Satz besteht, weil es mit einem existenziellen quantifier beginnt, so macht seine Anwesenheit überflüssig ein Axiom (bloß) die Existenz eines Satzes behauptend.

1. Axiom von extensionality

Zwei Sätze sind gleich (sind derselbe Satz), wenn sie dieselben Elemente haben.

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Das gegenteilige von diesem Axiom folgt aus dem Ersatz-Eigentum der Gleichheit. Wenn die Hintergrundlogik Gleichheit "=" nicht einschließt, kann x=y als eine Abkürzung für die folgende Formel definiert werden (Hatcher 1982, p. 138, def. 1):

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In diesem Fall kann das Axiom von extensionality als wiederformuliert werden

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der dass sagt, wenn x und y dieselben Elemente haben, dann gehören sie denselben Sätzen (Fraenkel u. a. 1973).

2. Das Axiom der Regelmäßigkeit (hat auch das Axiom des Fundaments genannt)

Jeder nichtleere Satz x enthält ein Mitglied y solch, dass x und y zusammenhanglose Sätze sind.

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3. Das Axiom-Diagramm der Spezifizierung (hat auch das Axiom-Diagramm der Trennung oder des eingeschränkten Verständnisses genannt)

Wenn z ein Satz ist, und ein Eigentum ist, das die Elemente x von z charakterisieren kann, dann gibt es eine Teilmenge y von z, der jene x in z enthält, die das Eigentum befriedigen. Die "Beschränkung" zu z ist notwendig, um das Paradox von Russell und seine Varianten zu vermeiden. Lassen Sie mehr formell, jede Formel auf der Sprache von ZFC mit freien Variablen darunter zu sein. So ist y darin nicht frei. Dann:

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Dieses Axiom ist ein Teil von Z, aber kann in ZF überflüssig sein, in dem es aus dem Axiom-Diagramm des Ersatzes, mit (als hier) oder ohne das Axiom des leeren Satzes folgen kann.

Der durch das Axiom der Spezifizierung gebaute Satz wird häufig mit der Satz-Baumeister-Notation angezeigt. In Anbetracht eines Satzes z und einer Formel φ (x) mit einer freier Variable x wird der Satz des ganzen x in z, die φ befriedigen, angezeigt

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Das Axiom der Spezifizierung kann verwendet werden, um die Existenz des leeren Satzes, angezeigt zu beweisen, sobald die Existenz von mindestens einem Satz gegründet wird (sieh oben). Eine allgemeine Weise zu tun ist das, ein Beispiel der Spezifizierung für ein Eigentum zu verwenden, das alle Sätze nicht haben. Zum Beispiel, wenn w ein Satz ist, der bereits besteht, kann der leere Satz als gebaut werden

:.

Wenn die Hintergrundlogik Gleichheit einschließt, ist es auch möglich, den leeren Satz als zu definieren

:.

So wird das Axiom des leeren Satzes durch die neun Axiome präsentiert hier einbezogen. Das Axiom von extensionality deutet an, dass der leere Satz einzigartig ist (hängt von w nicht ab). Es ist üblich, eine definitorische Erweiterung zu machen, die das Symbol zur Sprache von ZFC hinzufügt.

4. Axiom der Paarung

Wenn x und y Sätze sind, dann dort besteht ein Satz, der x und y als Elemente enthält.

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Dieses Axiom ist ein Teil von Z, aber ist in ZF überflüssig, weil es aus dem Axiom-Diagramm des auf jeden Zwei-Mitglieder-Satz angewandten Ersatzes folgt. Die Existenz solch eines Satzes wird entweder durch das Axiom der Unendlichkeit, oder durch das Axiom des Macht-Satzes angewandt zweimal auf den leeren Satz gesichert.

5. Axiom der Vereinigung

Für jeden Satz gibt es einen Satz A, jeden Satz enthaltend, der ein Mitglied von einem Mitglied von ist

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6. Axiom-Diagramm des Ersatzes

Lassen Sie, jede Formel auf der Sprache von ZFC zu sein, dessen freie Variablen darunter sind, so dass in besonderem B darin nicht frei ist. Dann:

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Weniger formell stellt dieses Axiom fest, dass, wenn das Gebiet einer definierbaren Funktion f ein Satz ist, und f (x) ein Satz für jeden x in diesem Gebiet ist, dann ist die Reihe von f eine Unterklasse eines Satzes, das Thema einer Beschränkung musste Paradoxe vermeiden. Die Form hat hier festgesetzt, in dem B größer sein kann als ausschließlich notwendig, wird manchmal das Axiom-Diagramm der Sammlung genannt.

7. Axiom der Unendlichkeit

Lassen Sie kürzen ab, wo ein Satz ist. Dann dort besteht ein Satz X solch, dass der leere Satz ein Mitglied X ist und, wann auch immer ein Satz y ein Mitglied X ist, dann auch ein Mitglied von X. ist

:

Mehr umgangssprachlich, dort besteht ein Satz X habend ungeheuer viele Mitglieder. Der minimale Satz X Zufriedenheit des Axioms der Unendlichkeit ist der von Neumann Ordnungs-ω, von dem auch als der Satz von natürlichen Zahlen gedacht werden kann.

8. Das Axiom der Macht ist untergegangen

Lassen Sie kürzen Für jeden Satz x ab, es gibt einen Satz y, der eine Obermenge des Macht-Satzes von x ist. Der Macht-Satz von x ist die Klasse, deren Mitglieder alle Teilmengen von x sind.

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Auf alternative Formen von Axiomen 1-8 wird häufig gestoßen, von denen einige in Jech (2003) verzeichnet werden. Einige ZF axiomatizations schließen ein Axiom ein behauptend, dass der leere Satz besteht. Die Axiome von Paarung, Vereinigung, Ersatz und Macht-Satz werden häufig festgesetzt, so dass die Mitglieder des Satzes x, dessen Existenz behauptet wird, gerade jene Sätze sind, die das Axiom behauptet, dass x enthalten muss.

9. Gut bestellender Lehrsatz

Für jeden Satz X gibt es eine binäre Beziehung R, der X gut-bestellt. Das bedeutet, dass R eine geradlinige Ordnung auf X solch ist, dass jede nichtleere Teilmenge X ein Mitglied hat, das unter R minimal ist.

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Gegebene Axiome 1-8, es gibt viele Behauptungen, die zum Axiom 9 gleichwertig sind, von denen der am besten bekannte das Axiom der Wahl (AC) ist, der wie folgt geht. Lassen Sie X ein Satz sein, dessen Mitglieder alle nichtleer sind. Dann dort besteht eine Funktion f von X bis die Vereinigung der Mitglieder X, genannt eine "auserlesene Funktion", solch, dass für alle man hat. Seit der Existenz einer Wahl fungieren, wenn X ein begrenzter Satz ist, wird von Axiomen 1-8, AC nur Sachen für bestimmte unendliche Sätze leicht bewiesen. AC wird als nichtkonstruktiv charakterisiert, weil er die Existenz einer Auswahl behauptet, aber nichts darüber sagt, wie die Auswahl "gebaut" werden soll. Viel Forschung hat sich bemüht, den definability zu charakterisieren (oder an davon Mangel zu haben), bestimmter Sätze, deren Existenz AC behauptet.

Motivation über die kumulative Hierarchie

Eine Motivation für die ZFC Axiome ist die kumulative Hierarchie von von John von Neumann eingeführten Sätzen (Shoenfield 1977, sec. 2). In diesem Gesichtspunkt wird das Weltall der Mengenlehre etappenweise mit einer Bühne für jede Ordinalzahl aufgebaut. In der Bühne 0 gibt es keine Sätze noch. An jedem im Anschluss an die Bühne wird ein Satz zum Weltall hinzugefügt, wenn alle seine Elemente in vorherigen Stufen hinzugefügt worden sind. So wird der leere Satz in der Bühne 1 hinzugefügt, und der Satz, der den leeren Satz enthält, wird in der Bühne 2 hinzugefügt; sieh Hinman (2005, p. 467). Die Sammlung aller Sätze, die auf diese Weise über alle Stufen erhalten werden, ist als V bekannt. Die Sätze in V können in eine Hierarchie durch das Zuweisen jedem Satz der ersten Stufe eingeordnet werden, an der dieser Satz zu V hinzugefügt wurde.

Es ist nachweisbar, dass ein Satz in V ist, wenn, und nur wenn der Satz rein und wohl begründet ist; und nachweisbar, dass V alle Axiome von ZFC befriedigt, wenn die Klasse von Ordnungszahlen passende Nachdenken-Eigenschaften hat. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass ein Satz x in der Bühne α hinzugefügt wird, was bedeutet, dass jedes Element von x in einer Bühne früher hinzugefügt wurde als α. Dann wird jede Teilmenge von x auch in der Bühne α hinzugefügt, weil alle Elemente jeder Teilmenge von x auch vor der Bühne α hinzugefügt wurden. Das bedeutet, dass jede Teilmenge von x, den das Axiom der Trennung bauen kann, in der Bühne α hinzugefügt wird, und dass der powerset von x in der folgenden Bühne danach α hinzugefügt wird. Für ein ganzes Argument, das V ZFC befriedigt, sieh Shoenfield (1977).

Das Bild des Weltalls von in die kumulative Hierarchie geschichteten Sätzen ist für ZFC charakteristisch und hat sich bezogen axiomatische Mengenlehren wie Mengenlehre von Von Neumann-Bernays-Gödel (hat häufig NBG genannt), und Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley. Die kumulative Hierarchie ist mit anderen Mengenlehren wie Neue Fundamente nicht vereinbar.

Es ist möglich, die Definition V zu ändern, so dass in jeder Bühne, anstatt alle Teilmengen der Vereinigung der vorherigen Stufen hinzuzufügen, Teilmengen nur hinzugefügt werden, wenn sie im gewissen Sinne definierbar sind. Das läuft auf eine "schmalere" Hierarchie hinaus, die das constructible Weltall L gibt, der auch alle Axiome von ZFC einschließlich des Axioms der Wahl befriedigt. Es ist von den ZFC Axiomen ob V = L unabhängig. Obwohl die Struktur von L regelmäßiger ist und sich gut benommen hat als dass V, behaupten wenige Mathematiker, dass V = L zu ZFC als ein zusätzliches Axiom hinzugefügt werden sollte.

Metamathematics

Die Axiom-Diagramme des Ersatzes und der Trennung enthält jeder ungeheuer viele Beispiele. Montague (1961) hat ein Ergebnis eingeschlossen zuerst hat sich in seiner 1957-Doktorarbeit erwiesen: Wenn ZFC entspricht, ist es zu axiomatize ZFC das Verwenden nur begrenzt vieler Axiome unmöglich. Andererseits kann Mengenlehre von Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) begrenzt axiomatized sein. Die Ontologie von NBG schließt richtige Klassen sowie Sätze ein; ein Satz ist jede Klasse, die ein Mitglied einer anderen Klasse sein kann. NBG und ZFC sind gleichwertige Mengenlehren im Sinn, dass jeder Lehrsatz, Klassen und nachweisbar in einer Theorie nicht erwähnend, im anderen bewiesen werden kann.

Der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel sagt, dass rekursiv axiomatizable System, das Arithmetik von Robinson interpretieren kann, seine eigene Konsistenz nur beweisen kann, wenn es inkonsequent ist. Außerdem kann Arithmetik von Robinson in der allgemeinen Mengenlehre, einem kleinen Bruchstück von ZFC interpretiert werden. Folglich kann die Konsistenz von ZFC nicht innerhalb von ZFC selbst bewiesen werden (wenn es nicht wirklich inkonsequent ist). So im Ausmaß, dass ZFC mit der gewöhnlichen Mathematik identifiziert wird, kann die Konsistenz von ZFC nicht in der gewöhnlichen Mathematik demonstriert werden. Die Konsistenz von ZFC folgt wirklich aus der Existenz eines schwach unzugänglichen Kardinals, der in ZFC unbeweisbar ist, wenn ZFC entspricht. Dennoch wird es unwahrscheinlich gehalten, dass ZFC einen unverdächtigten Widerspruch beherbergt; es wird dass weit geglaubt, wenn ZFC inkonsequent waren, dass Tatsache inzwischen aufgedeckt worden sein würde. Vieles ist sicher - ZFC ist zu den klassischen Paradoxen der naiven Mengenlehre geschützt: Das Paradox von Russell, das Burali-Forti Paradox und das Paradox des Kantoren.

Abian und LaMacchia (1978) haben eine Subtheorie von ZFC studiert, der aus den Axiomen von extensionality, Vereinigung, powerset, Ersatz und Wahl besteht. Mit Modellen haben sie diese Subtheorie konsequent bewiesen, und haben bewiesen, dass jedes der Axiome von extensionality, Ersatz und Macht-Satz der vier restlichen Axiome dieser Subtheorie unabhängig ist. Wenn diese Subtheorie mit dem Axiom der Unendlichkeit, jedem der Axiome der Vereinigung, Wahl vermehrt wird, und Unendlichkeit der fünf restlichen Axiome unabhängig ist. Weil es wohl nichtbegründete Modelle gibt, die jedes Axiom von ZFC außer dem Axiom der Regelmäßigkeit befriedigen, ist dieses Axiom der anderen ZFC Axiome unabhängig.

Wenn konsequent, kann ZFC nicht die Existenz der unzugänglichen Kardinäle beweisen, die Kategorie-Theorie verlangt. Riesige Sätze dieser Natur sind möglich, wenn ZF mit dem Axiom von Tarski (Tarski 1939) vermehrt wird. Annehmend, dass Axiom die Axiome der Unendlichkeit, des Macht-Satzes und der Wahl (7  9 oben) in Lehrsätze dreht.

Unabhängigkeit in ZFC

Viele wichtige Behauptungen sind von ZFC unabhängig (sieh Liste von Behauptungen, die in ZFC unentscheidbar sind). Die Unabhängigkeit wird gewöhnlich durch das Zwingen bewiesen, wodurch es gezeigt wird, dass jedes zählbare transitive Modell von ZFC (manchmal vermehrt mit großen grundsätzlichen Axiomen) ausgebreitet werden kann, um die fragliche Behauptung zu befriedigen. Wie man dann zeigt, befriedigt eine verschiedene Vergrößerung die Ablehnung der Behauptung. Ein Unabhängigkeitsbeweis durch das Zwingen beweist automatisch Unabhängigkeit von arithmetischen Behauptungen, anderen konkreten Behauptungen und großen grundsätzlichen Axiomen. Wie man beweisen kann, halten einige von ZFC unabhängige Behauptungen in besonderen inneren Modellen, solcher als im constructible Weltall. Jedoch sind einige Behauptungen, die über Constructible-Sätze wahr sind, mit Hypothese aufgestellten großen grundsätzlichen Axiomen nicht im Einklang stehend.

Das Zwingen beweist, dass die folgenden Behauptungen von ZFC unabhängig sind:

• Kontinuum-Hypothese
• Diamantgrundsatz
• Hypothese von Suslin
• Das Axiom von Martin (der nicht ein ZFC Axiom ist)
• Das Axiom von Constructibility (V=L) (der auch nicht ein ZFC Axiom ist).

Bemerkungen:

• Die Konsistenz von V=L ist durch innere Modelle, aber das nicht Zwingen nachweisbar: Jedes Modell von ZF kann zurechtgemacht werden, um ein Modell von ZFC+V=L zu werden.
• Der Diamantgrundsatz bezieht die Kontinuum-Hypothese und die Ablehnung der Suslin Hypothese ein.
• Das Axiom von Martin plus die Ablehnung der Kontinuum-Hypothese bezieht die Suslin Hypothese ein.
• Das constructible Weltall befriedigt die Verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese, den Diamantgrundsatz, das Axiom von Martin und die Kurepa Hypothese.
• Der Misserfolg der Hypothese von Kurepa ist equiconsistent mit der Existenz eines stark unzugänglichen Kardinals.

Eine Schwankung auf der Methode zu zwingen kann auch verwendet werden, um die Konsistenz und unprovability des Axioms der Wahl zu demonstrieren, d. h., dass das Axiom der Wahl von ZF unabhängig ist. Die Konsistenz der Wahl kann (relativ) durch den Beweis leicht nachgeprüft werden, dass das innere Modell L Wahl befriedigt. (So enthält jedes Modell von ZF ein Submodell von ZFC, so dass Con (ZF) Con (ZFC) einbezieht.) Seit dem Zwingen der Konserve-Wahl können wir keine Musterwidersprechen-Wahl von einer Musterzufriedenheitswahl direkt erzeugen. Jedoch können wir das Zwingen verwenden, um ein Modell zu schaffen, das ein passendes Submodell, nämlich eine Zufriedenheit ZF, aber nicht C enthält.

Eine andere Methode, Unabhängigkeitsergebnisse, das ein Schulden von nichts zum Zwingen zu beweisen, basiert auf dem zweiten Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel. Diese Annäherung verwendet die Behauptung, deren Unabhängigkeit untersucht wird, um die Existenz eines Satz-Modells von ZFC zu beweisen, in welchem Fall Con (ZFC) wahr ist. Da ZFC die Bedingungen des zweiten Lehrsatzes von Gödel befriedigt, ist die Konsistenz von ZFC in ZFC unbeweisbar (vorausgesetzt, dass ZFC tatsächlich, konsequent ist). Folglich kann keine Behauptung, die solch einen Beweis erlaubt, in ZFC bewiesen werden. Diese Methode kann beweisen, dass die Existenz von großen Kardinälen in ZFC nicht nachweisbar ist, aber nicht beweisen kann, dass das Annehmen solcher Kardinäle, gegeben ZFC, frei vom Widerspruch ist.

Kritiken

:For-Kritik der Mengenlehre im Allgemeinen, sieh Einwände gegen die Mengenlehre

ZFC ist kritisiert worden, sowohl dafür übermäßig stark zu sein als auch dafür übermäßig schwach, sowie für seinen Misserfolg zu sein, Gegenstände wie richtige Klassen und der universale Satz zu gewinnen.

Viele mathematische Lehrsätze können in viel schwächeren Systemen bewiesen werden als ZFC, wie Peano die arithmetische und zweite Ordnungsarithmetik (wie erforscht, durch das Programm der Rückmathematik). Saunders Mac Lane und Solomon Feferman haben beide dieses Argument angebracht. Etwas von der "Hauptströmungsmathematik" (Mathematik, die nicht direkt mit der axiomatischen Mengenlehre verbunden ist), ist außer Peano die arithmetische und zweite Ordnungsarithmetik, aber dennoch, die ganze Mathematik kann in ZC (Mengenlehre von Zermelo mit der Wahl), eine andere Theorie ausgeführt werden, die schwächer ist als ZFC. Viel von der Macht von ZFC, einschließlich des Axioms der Regelmäßigkeit und des Axiom-Diagramms des Ersatzes, wird in erster Linie eingeschlossen, um die Studie der Mengenlehre selbst zu erleichtern.

Andererseits, unter axiomatischen Mengenlehren, ist ZFC verhältnismäßig schwach. Verschieden von Neuen Fundamenten lässt ZFC die Existenz eines universalen Satzes nicht zu. Folglich wird das Weltall von Sätzen unter ZFC unter den elementaren Operationen der Algebra von Sätzen nicht geschlossen. Verschieden von der Mengenlehre von von Neumann-Bernays-Gödel und Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley (MK) lässt ZFC die Existenz von richtigen Klassen nicht zu. Diese ontologischen Beschränkungen sind für ZFC erforderlich, das Paradox von Russell zu vermeiden, aber Kritiker behaupten, dass diese Beschränkungen die ZFC Axiome scheitern lassen, das informelle Konzept des Satzes zu gewinnen. Eine weitere vergleichende Schwäche von ZFC ist, dass das Axiom der in ZFC eingeschlossenen Wahl schwächer ist als das Axiom der globalen in MK eingeschlossenen Wahl.

Es gibt zahlreiche mathematische in ZFC unentscheidbare Behauptungen. Diese schließen die Kontinuum-Hypothese, das Problem von Whitehead und die Normale Raumvermutung von Moore ein. Einige dieser Vermutungen sind mit der Hinzufügung von Axiomen wie das Axiom von Martin, große grundsätzliche Axiome zu ZFC nachweisbar. Einige andere werden in ZF+AD entschieden, wo n.Chr. das Axiom von determinacy, eine starke mit der Wahl unvereinbare Annahme ist. Eine Anziehungskraft von großen grundsätzlichen Axiomen besteht darin, dass sie vielen Ergebnissen von ZF+AD ermöglichen, in durch ein großes grundsätzliches Axiom angegrenztem ZFC gegründet zu werden (sieh projektiven determinacy). Das Mizar System hat Tarski-Grothendieck Mengenlehre statt ZFC angenommen, so dass das Probebeteiligen Weltall von Grothendieck (gestoßen in der Kategorie-Theorie und algebraischen Geometrie) formalisiert werden kann.

Siehe auch

• Fundament der Mathematik
• Inneres Modell
• Großes grundsätzliches Axiom

Zusammenhängende axiomatische Mengenlehren:

• Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley
• Mengenlehre von Von Neumann-Bernays-Gödel
• Tarski-Grothendieck Mengenlehre
• Konstruktive Mengenlehre
• Innere Mengenlehre
• Alexander Abian, 1965. Die Theorie von Sätzen und Transfiniter Arithmetik. W B Saunders.
• -------- und LaMacchia, Samuel, 1978, "Auf der Konsistenz und Unabhängigkeit von Einigen mit dem Satz theoretischen Axiomen," Notre Dame-Zeitschrift der Formalen Logik 19: 155-58.
• Keith Devlin, 1996 (1984). Die Heiterkeit von Sätzen. Springer.
• Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel und Azriel Levy, 1973 (1958). Fundamente der Mengenlehre. Nordholland. Das Endwort von Fraenkel auf ZF und ZFC.
• Hatcher, William, 1982 (1968). Die Logischen Fundamente der Mathematik. Pergamon Presse.
• Peter Hinman, 2005, Grundlagen der Mathematischen Logik, Eines K Peters. Internationale Standardbuchnummer 978-1-56881-262-5
• Thomas Jech, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen, 1980. Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise. Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 0-444-86839-9.
• Richard Montague, 1961, "Semantischer Verschluss und nichtbegrenzter axiomatizability" in Infinistic Methoden. London: Pergamon Presse: 45-69.
• Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatische Mengenlehre. Nachdruck von Dover. Vielleicht die beste Ausstellung von ZFC vor der Unabhängigkeit von AC und der Kontinuum-Hypothese und dem Erscheinen von großen Kardinälen. Schließt viele Lehrsätze ein.
• Gaisi Takeuti und Zaring, W M, 1971. Einführung in die Axiomatische Mengenlehre. Springer-Verlag.
• Alfred Tarski, 1939, "Auf gut bestellten Teilmengen jedes Satzes,", Fundamenta Mathematicae 32: 176-83.
• Ziegel, Mary, 2004 (1989). Die Philosophie der Mengenlehre. Nachdruck von Dover. Schwach auf metatheory; der Autor ist nicht ein Mathematiker.
• Tourlakis, George, 2003. Vorträge in der Logik und Mengenlehre, Vol. 2. Universität von Cambridge Presse.
• Jean van Heijenoort, 1967. Von Frege bis Godel: Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik, 1879-1931. Universität von Harvard Presse. Schließt kommentierte englische Übersetzungen der klassischen Artikel durch Zermelo, Fraenkel und Skolem ein, der sich auf ZFC bezieht.
• Englische Übersetzung in *

Links

• Enzyklopädie von Stanford von Artikeln Philosophy von Thomas Jech:
• Mengenlehre;
• Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre.
• Version von Metamath der ZFC Axiome - Ein kurzer und nichtüberflüssiger axiomatization. Der Hintergrund befiehlt zuerst, dass Logik besonders definiert wird, um Maschinenüberprüfung von Beweisen zu erleichtern.
• Eine Abstammung in Metamath einer Version des Trennungsdiagramms von einer Version des Ersatzdiagramms.