"Was die Schildkröte Achilles Gesagt hat" geschrieben von Lewis Carroll 1895 für die philosophische Zeitschrift Meinung, ist ein kurzer Dialog der problematises die Fundamente der Logik. Der Titel spielt auf eines der Paradoxe von Zeno der Bewegung an, in der Achilles die Schildkröte in einer Rasse nie einholen konnte. Im Dialog von Carroll fordert die Schildkröte Achilles heraus, die Gewalt der Logik anzuwenden, um ihn den Beschluss eines einfachen deduktiven Arguments akzeptieren zu lassen. Schließlich scheitert Achilles, weil die kluge Schildkröte ihn in ein unendliches rückwärts Gehen führt.

Zusammenfassung des Dialogs

Die Diskussion beginnt durch das Betrachten des folgenden logischen Arguments:

• A: "Dinge, die demselben gleich sind, sind einander" (Euklidische Beziehung, eine geschwächte Form des transitiven Eigentums) gleich
• B: "Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die demselben" gleich

sind

• Deshalb Z: "Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind einander" gleich

Die Schildkröte fragt Achilles, ob der Beschluss logisch aus den Propositionen folgt, und Achilles zugibt, dass es offensichtlich tut. Die Schildkröte fragt dann Achilles, ob es einen Leser von Euklid geben könnte, der zugibt, dass das Argument als eine Folge logisch gültig ist, während es bestreitet, dass A und B wahr sind. Achilles akzeptiert, dass solch ein Leser bestehen könnte, und dass er dass meinen würde, wenn A und B wahr sind, dann muss Z wahr sein, während er noch nicht akzeptiert, dass A und B wahr sind. (Ein Leser, der die Propositionen bestreitet.)

Die Schildkröte fragt dann Achilles, ob eine zweite Art des Lesers bestehen könnte, wer akzeptiert, dass A und B wahr sind, aber wer den Grundsatz dass noch nicht akzeptiert, wenn A und B beide wahr sind, dann muss Z wahr sein. Achilles gewährt die Schildkröte, dass diese zweite Art des Lesers auch bestehen könnte. Die Schildkröte bittet dann Achilles, ihn als ein Leser dieser zweiten Art zu behandeln, und dann ihn logisch dazu zu zwingen, zu akzeptieren, dass Z wahr sein muss. (Die Schildkröte ist ein Leser, der das Argument selbst, den Beschluss des Syllogismus, die Struktur oder die Gültigkeit bestreitet.)

Nach dem Niederschreiben A, B und Z in seinem Notizbuch, bittet Achilles die Schildkröte, das hypothetische zu akzeptieren:

• C: "Wenn A und B wahr sind, muss Z" wahr

sein

Die Schildkröte ist bereit, C zu akzeptieren, wenn Achilles niederschreiben wird, was er in seinem Notizbuch akzeptieren muss, das neue Argument machend:

• A: "Dinge, die demselben gleich sind, sind einander" gleich

B: "Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die demselben" gleich sind C: "Wenn A und B wahr sind, muss Z" wahr sein Deshalb Z: "Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind einander" gleich

Aber jetzt wo die Schildkröte Proposition C akzeptiert, weigert er sich noch, das ausgebreitete Argument zu akzeptieren. Wenn Achilles fordert, dass, "Wenn Sie A und B und C akzeptieren, Sie Z akzeptieren müssen," bemerkt die Schildkröte, dass es ein anderer hypothetischer Vorschlag ist und andeutet, ob er C akzeptiert, konnte er noch scheitern, Z zu schließen, wenn er die Wahrheit nicht gesehen hat:

• D: "Wenn A und B und C wahr sind, muss Z" wahr

sein

Die Schildkröte setzt fort, jede hypothetische Proposition zu akzeptieren, sobald Achilles es niederschreibt, aber bestreitet, dass der Beschluss notwendigerweise folgt, seit jedem Mal bestreitet er das hypothetische, dass, wenn alle Propositionen niedergeschrieben bis jetzt wahr sind, Z wahr sein muss:

: "Und schließlich haben wir zum Ende dieser idealen Rennbahn! Jetzt wo Sie A und B und C und D akzeptieren, natürlich akzeptieren Sie Z."

:

: "Ich?" hat die Schildkröte unschuldig gesagt. "Wollen wir das ziemlich klar machen. Ich akzeptiere A und B und C und D. Nehmen Sie an, dass ich mich noch weigerte, Z zu akzeptieren?"

:

: "Dann würde Logik Sie durch den Hals nehmen, und Sie zwingen, es zu tun!" Achilles triumphierend geantwortet. "Logik würde Ihnen erzählen, 'Sie sich nicht helfen können. Jetzt wo Sie A und B und C und D akzeptiert haben, müssen Sie Z akzeptieren!' So haben Sie keine Wahl, sehen Sie."

:

: "Was auch immer Logik gut genug ist, um mir zu erzählen, lohnt sich niederzuschreiben," hat die Schildkröte gesagt. "So gehen Sie darin in Ihrem Notizbuch bitte ein. Wir werden es nennen

:: (E), Wenn A und B und C und D wahr sind, muss Z wahr sein.

:

: Bis ich zugegeben habe, dass natürlich ich Z nicht zu gewähren brauche. So ist es ganz ein notwendiger Schritt, sehen Sie?"

:

: "Ich sehe," hat Achilles gesagt; und es gab etwas Schwermut in seinem Ton.

So setzt die Liste von Propositionen fort, ohne Ende zu wachsen, das Argument immer in der Form verlassend:

• (1): "Dinge, die demselben gleich sind, sind einander" gleich
• (2): "Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind Dinge, die demselben" gleich

sind

• (3): (1) und (2)  (Z)
• (4): (1) und (2) und (3)  (Z)
• ...
• (n): (1) und (2) und (3) und (4) und... und (n  1)  (Z)
• Deshalb (Z): "Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind einander" gleich

An jedem Schritt behauptet die Schildkröte, dass, wenn auch er alle Propositionen akzeptiert, die niedergeschrieben worden sind, es eine weitere Proposition gibt (dass, wenn ganzer (1) - (n) wahr ist, dann (Z) muss wahr sein), dass er noch akzeptieren muss, bevor er dazu gezwungen wird zu akzeptieren, dass (Z) wahr ist.

Erklärung

Lewis Carroll zeigte, dass es ein Rückwärtsbewegungsproblem gibt, das aus dem Modus ponens Abzüge entsteht.

: (1) P  Q

: (2) P

:---------------

:Therefore, Q.

Das Rückwärtsbewegungsproblem entsteht, weil, um den logischen Grundsatz zu erklären, wir dann einen vorherigen Grundsatz vorschlagen müssen. Und sobald wir erklären, dass Grundsatz dann wir einen anderen Grundsatz einführen müssen, um diesen Grundsatz zu erklären. So, wenn die kausale Kette weitergehen soll, sollen wir in die unendliche Rückwärtsbewegung fallen. Jedoch, wenn wir ein formelles System einführen, wo Modus ponens einfach ein Axiom ist, dann sollen wir dabei einfach bleiben, weil es so ist. Zum Beispiel in einem Schachspiel gibt es besondere Regeln, und die Regeln gehen einfach ohne Frage. Als Spieler des Schachspiels sollen wir einfach den Regeln folgen. Ebenfalls, wenn wir uns mit einem formellen System der Logik beschäftigen, dann sollen wir einfach den Regeln ohne Frage folgen. Folglich hört das Einführen des formellen Systems der Logik das unendliche rückwärts Gehen auf — d. h. weil die Rückwärtsbewegung an den Axiomen oder Regeln, per se, des gegebenen Spiels, Systems usw. anhalten würde. Obwohl es wirklich auch feststellt, dass es Probleme damit ebenso gibt, weil, innerhalb des Systems, keines Vorschlags oder der Variable damit jeden semantischen Inhalt trägt. Also, der Moment, den Sie zu jedem Vorschlag oder variablem semantischem Inhalt, das Problem hinzufügen, entsteht wieder, weil die Vorschläge und Variablen mit dem semantischen außerhalb des Systems geführten Inhalt. So, wenn, wie man sagen soll, die Lösung arbeitet, dann, wie man sagen soll, arbeitet sie allein innerhalb des gegebenen formellen Systems, und nicht sonst.

Einige Logiker (Kenneth Ross, Charles Wright) machen einen festen Unterschied zwischen dem bedingten Bindewort (das syntaktische Zeichen "") und der Implikationsbeziehung (der formelle Gegenstand, der durch das doppelte Pfeil-Symbol "" angezeigt ist). Diese Logiker verwenden den Ausdruck nicht p oder q für das bedingte Bindewort, und der Begriff bezieht für die Implikationsbeziehung ein. Einige erklären den Unterschied, indem sie sagen, dass das bedingte die nachgedachte Beziehung ist, während die Implikation die behauptete Beziehung ist. In den meisten Feldern der Mathematik wird es als eine Schwankung im Gebrauch des einzelnen Zeichens "," das nicht Verlangen zwei getrennter Zeichen behandelt. Nicht alle von denjenigen, die das Zeichen "" für die bedingte verbindende Rücksicht es als ein Zeichen verwenden, das jede Art des Gegenstands anzeigt, aber behandeln es als ein so genanntes Syncategorematic-Zeichen, d. h. ein Zeichen mit einer rein syntaktischen Funktion. Wegen der Klarheit und Einfachheit in der gegenwärtigen Einführung ist es günstig, die Zwei-Zeichen-Notation zu verwenden, aber dem Zeichen "" zu erlauben, die Boolean-Funktion anzuzeigen, die mit der Wahrheitstabelle des bedingten Materials vereinigt wird.

Diese Rücksichten laufen auf das folgende Schema der Notation hinaus.

p \rightarrow q & \quad & \quad & p \Rightarrow q \\

\mbox {nicht }\\p \\mbox {oder }\\q & \quad & \quad & p \\mbox {bezieht }\\q ein

\end {Matrix} </Mathematik>

Das Paradox hört auf, der Moment zu bestehen, wir ersetzen informelle Logik durch die Satzlogik. Die Schildkröte und Achilles einigen sich über keine Definition der logischen Implikation. In der Satzlogik wird die logische Implikation wie folgt definiert:

P  Q wenn, und nur wenn der Vorschlag P  Q eine Tautologie ist

folglich De-Modus ponens [P  (P  Q)]  Q, ist eine gültige logische Implikation gemäß der Definition der logischen Implikation gerade hat festgesetzt. Es gibt kein Bedürfnis wiederzufluchen, da die logische Implikation in Symbole und Satzmaschinenbediener wie  übersetzt werden kann. Das Demonstrieren der logischen Implikation übersetzt einfach ins Überprüfen, dass die zusammengesetzte Wahrheitstabelle eine Tautologie erzeugt.

Diskussion

Mehrere Philosophen haben versucht, das Paradox von Carroll aufzulösen. Bertrand Russell hat das Paradox kurz in § 38 Der Grundsätze der Mathematik (1903) besprochen, zwischen der Implikation unterscheidend (vereinigt mit der Form "wenn p, dann q"), den er gehalten hat, um eine Beziehung zwischen unbehaupteten Vorschlägen und Schlussfolgerung zu sein (vereinigt mit der Form "p, deshalb q"), den er gehalten hat, um eine Beziehung zwischen behaupteten Vorschlägen zu sein; diese Unterscheidung gemacht, konnte Russell bestreiten, dass der Versuch der Schildkröte, das Schließen Z von A und B zu behandeln, zu, oder Abhängiger gleichwertig ist auf, dem hypothetischen zustimmend, "Wenn A und B wahr sind, dann ist Z wahr."

Der Wittgensteinian Philosoph Peter Winch hat das Paradox in Der Idee von einer Sozialwissenschaft und seiner Beziehung zur Philosophie (1958) besprochen, wo er behauptet hat, dass das Paradox gezeigt hat, dass "der wirkliche Prozess, eine Schlussfolgerung zu ziehen, die schließlich am Herzen der Logik ist, etwas ist, was als eine logische Formel nicht vertreten werden kann... Das Lernen abzuleiten ist nicht nur eine Sache, über ausführliche logische Beziehungen zwischen Vorschlägen unterrichtet zu werden; es lernt, etwas zu tun" (p. 57). Winch setzt fort vorzuschlagen, dass die Moral des Dialogs ein besonderer Fall einer allgemeinen Lehre ist, des Inhalts, dass die richtige Anwendung von Regeln, eine Form der menschlichen Tätigkeit regelnd, mit einer Reihe weiterer Regeln nicht selbst summiert werden kann, und so dass "eine Form der menschlichen Tätigkeit in einer Reihe ausführlicher Moralprinzipien nie summiert werden kann" (p. 53).

Siehe auch

• Regel der Schlussfolgerung
• Abzug-Lehrsatz
• Münchhausen Trilemma
• Paradox
• Menschlein-Argument
• Rückwärtsbewegungsargument

Wo man den Artikel findet

• Carroll, Lewis. "Was die Schildkröte Achilles Gesagt hat". Meinung, n.s. 4 (1895), Seiten 278-80.
• Hofstadter, Douglas. Gödel, Escher, Junggeselle: eine Ewige Goldene Flechte. Sieh den zweiten Dialog, betitelt "Zweiteilige Erfindung." Dr Hofstadter hat die Charaktere von Achilles und der Schildkröte für anderen, ursprünglich, Dialoge im Buch verwendet, die kontrapunktisch mit Prosa-Kapiteln abwechseln.
• Mehrere Websites, einschließlich, "Was die Schildkröte Achilles" an der Gesellschaft von Lewis Carroll Nordamerikas, "Gesagt hat, was die Schildkröte Achilles" an Digital Text International Gesagt hat, und, "Was die Schildkröte Achilles" am Schönen Gebrauch-Behältnis Gesagt hat.
• Isashiki Takahiro (1999). Was können Wir aus dem Paradox von Lewis Carroll Erfahren?. In Lebenserinnerungen der Fakultät der Ausbildung, Universität von Miyazaki: Geisteswissenschaften, Nr. 86, Seiten 79-98. Das Papier ist in Japanisch nur abgesehen vom Auszug. Eine ein bisschen verlängerte Version des Englischsprachigen Auszugs ist von http://www.miyazaki-u.ac.jp/~e02702u/papers/eng_carroll.html. verfügbar

Ein anderer Autor stellt eine verlängertere Zusammenfassung an http://homepage2.nifty.com/Workshop-Alice/click/m-t.html (zurzeit unten, und nicht verfügbar von archive.org) zur Verfügung.