In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (pmf) eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit gibt, dass eine getrennte zufällige Variable einem Wert genau gleich ist. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist häufig die primären Mittel, einen getrennten Wahrscheinlichkeitsvertrieb zu definieren, und solche Funktionen bestehen entweder für den Skalar oder für die multivariate zufälligen Variablen, vorausgesetzt, dass der Vertrieb getrennt ist.

Eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion unterscheidet sich von einer Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (p.d.f). darin wird der Letztere mit dauernden aber nicht getrennten zufälligen Variablen vereinigt; die Werte der Letzteren sind nicht Wahrscheinlichkeiten als solcher: Ein p.d.f. muss über einen Zwischenraum integriert werden, um eine Wahrscheinlichkeit nachzugeben.

Formelle Definition

Nehmen Sie dass X an: S  (Ein R) ist eine getrennte zufällige Variable, die auf einem Beispielraum S definiert ist. Dann fungiert die Wahrscheinlichkeitsmasse f: Ein  [0, 1] für X wird als definiert

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Bemerken Sie, dass f für alle reellen Zahlen, einschließlich derjenigen nicht im Image X definiert wird; tatsächlich f (x) = 0 für den ganzen x X (S). Essentially bewirbt sich dieselbe Definition um eine getrennte multivariate zufällige Variable X: S  A, mit Skalarwerten, die durch Vektor-Werte ersetzen werden.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle X muss 1 gleichkommen

Da das Image X zählbar ist, ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion f (x) Null für alle außer einer zählbaren Zahl von Werten von x. Die Diskontinuität von Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen ist mit der Tatsache verbunden, dass die kumulative Vertriebsfunktion einer getrennten zufälligen Variable auch diskontinuierlich ist. Wo es differentiable ist, ist die Ableitung Null, wie die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion Null an allen diesen Punkten ist.

Beispiele

Nehmen Sie an, dass S der Beispielraum aller Ergebnisse eines einzelnen Werfens einer schönen Münze ist, und X die zufällige Variable ist, die auf S das Zuweisen 0 zu "Schwänzen" und 1 zu "Köpfen" definiert ist. Da die Münze schön ist, ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

Das ist ein spezieller Fall des binomischen Vertriebs.

Ein Beispiel eines multivariate getrennten Vertriebs, und seines pmf, wird durch den multinomial Vertrieb zur Verfügung gestellt.

Siehe auch

• Wahrscheinlichkeitsdichte fungiert

Weiterführende Literatur

• Johnson, N.L. Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Getrennter Vertrieb (2. Ausgabe). Wiley. Internationale Standardbuchnummer 0-471-54897-9 (p 36)