In der Gruppentheorie ist eine dicyclic Gruppe (Notation Dic) ein Mitglied einer Klasse von non-abelian Gruppen des Auftrags 4n (n> 1). Es ist eine Erweiterung der zyklischen Gruppe des Auftrags 2 von einer zyklischen Gruppe des Auftrags 2n, den Namen di-cyclic gebend. In der Notation von genauen Folgen von Gruppen kann diese Erweiterung als ausgedrückt werden:

:

Mehr allgemein, in Anbetracht jeder begrenzten abelian Gruppe mit einem Element des Auftrags 2, kann man eine dicyclic Gruppe definieren.

Definition

Für jede ganze Zahl n> 1 die dicyclic Gruppe kann Dic als die Untergruppe der Einheit quaternions erzeugt durch definiert werden

:

x& = j

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Abstrakter kann man die dicyclic Gruppe Dic als jede Gruppe definieren, die die Präsentation hat

:

Einige Dinge zu bemerken, die aus dieser Definition folgen:

• x = 1
• xa = = Axt
• wenn j = ±1, dann xa = Axt.
• Axt = aax = axx = Axt.

So kann jedes Element von Dic als Axt, wo 0  k einzigartig geschrieben werden

Hieraus folgt dass Dic Auftrag 4n hat.

Wenn n = 2, die dicyclic Gruppe zur quaternion Gruppe Q isomorph ist. Mehr allgemein, wenn n eine Macht 2 ist, ist die dicyclic Gruppe zur verallgemeinerten quaternion Gruppe isomorph.

Eigenschaften

Für jeden n> 1 die dicyclic Gruppe ist Dic eine non-abelian Gruppe des Auftrags 4n. ("Dic" ist C, die zyklische Gruppe des Auftrags 4, der abelian ist, und wird als dicyclic nicht betrachtet.)

Lassen Sie =

Dic ist lösbar; bemerken Sie, dass A normal ist, und abelian seiend, ist selbst lösbar.

Binäre zweiflächige Gruppe

Die dicyclic Gruppe ist eine binäre polyedrische Gruppe — es ist eine der Klassen von Untergruppen der Nadel-Gruppennadel (2), der eine Untergruppe der Drehungsgruppendrehung (3) ist — und in diesem Zusammenhang als die binäre zweiflächige Gruppe bekannt ist.

Die Verbindung mit der binären zyklischen Gruppe C, der zyklischen Gruppe C und der zweiflächigen Gruppe wird Dih des Auftrags 2n im Diagramm am Recht illustriert, und passt dem entsprechenden Diagramm für die Nadel-Gruppe an.

Es gibt eine oberflächliche Ähnlichkeit zwischen den dicyclic Gruppen und zweiflächigen Gruppen; beide sind eine Art "Widerspiegeln" einer zu Grunde liegenden zyklischen Gruppe. Aber die Präsentation einer zweiflächigen Gruppe würde x = 1, statt x = a haben; und das gibt eine verschiedene Struktur nach. Insbesondere Dic ist nicht ein halbdirektes Produkt von A und

Die dicyclic Gruppe hat eine einzigartige Involution (d. h. ein Element des Auftrags 2), nämlich x = a. Bemerken Sie, dass dieses Element im Zentrum von Dic liegt. Tatsächlich besteht das Zentrum allein aus dem Identitätselement und x. Wenn wir die Beziehung x = 1 zur Präsentation von Dic hinzufügen, erhält man eine Präsentation der zweiflächigen Gruppe Dih, so ist die Quotient-Gruppe Dic/> zu Dih isomorph.

Es gibt einen natürlichen 2 zu 1 Homomorphismus von der Gruppe der Einheit quaternions zur 3-dimensionalen Folge-Gruppe, die an quaternions und Raumfolgen beschrieben ist. Da die dicyclic Gruppe innerhalb der Einheit quaternions eingebettet werden kann, kann man fragen, was das Image davon unter diesem Homomorphismus ist. Die Antwort ist gerade die zweiflächige Symmetrie-Gruppe Dih. Aus diesem Grund ist die dicyclic Gruppe auch bekannt als die binäre zweiflächige Gruppe. Bemerken Sie, dass die dicyclic Gruppe keine zu Dih isomorphe Untergruppe enthält.

Der analoge Vorbildaufbau, mit der Nadel (2) statt der Nadel (2), gibt eine andere zweiflächige Gruppe, Dih, aber nicht eine dicyclic Gruppe nach.

Generalisationen

Lassen Sie A eine abelian Gruppe sein, ein spezifisches Element y in mit dem Auftrag 2 habend. Eine Gruppe G wird eine verallgemeinerte dicyclic Gruppe, schriftlich als Dic genannt (A, y), wenn es durch A und ein zusätzliches Element x erzeugt wird, und außerdem wir das [G:A] = 2, x = y, und für alle in A, xax = a haben.

Seitdem für eine zyklische Gruppe sogar der Ordnung gibt es immer ein einzigartiges Element des Auftrags 2, wir können sehen, dass dicyclic Gruppen gerade ein spezifischer Typ der verallgemeinerten dicyclic Gruppe sind.

Siehe auch

• binäre polyedrische Gruppe
• binäre zyklische Gruppe

binäre vierflächige Gruppe

• binäre octahedral Gruppe
• binäre icosahedral Gruppe

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