Der Lehrsatz von Van der Waerden ist ein Lehrsatz im Zweig der Mathematik genannt die Theorie von Ramsey. Der Lehrsatz von Van der Waerden stellt fest, dass für irgendwelche gegebenen positiven ganzen Zahlen r und k es eine solche Nummer N dass gibt, wenn die ganzen Zahlen {1, 2..., N}, jeder mit einer von r verschiedenen Farben gefärbt werden, dann gibt es mindestens k ganze Zahlen im arithmetischen Fortschritt die ganze dieselbe Farbe. Kleinster solcher N ist der Van der Waerden Nummer W (r, k). Es wird nach dem holländischen Mathematiker B. L. van der Waerden genannt.

Zum Beispiel, wenn r = 2, Sie zwei haben, sagen und. W (2, 3) ist größer als 8, weil Sie die ganzen Zahlen von {1..., 8} wie das färben können:

1 4 5 8

und keine drei ganzen Zahlen derselben Farbe bilden einen arithmetischen Fortschritt. Aber Sie können keine neunte ganze Zahl zum Ende hinzufügen, ohne solch einen Fortschritt zu schaffen. Wenn Sie a hinzufügen, dann, und sind im arithmetischen Fortschritt. Wechselweise, wenn Sie a, dann hinzufügen, und im arithmetischen Fortschritt sind. Tatsächlich gibt es keine Weise, sich 1 bis 9 zu färben, ohne solch einen Fortschritt zu schaffen. Deshalb, W (2, 3) ist 9.

Es ist ein offenes Problem, die Werte von W (r, k) für die meisten Werte von r und k zu bestimmen. Der Beweis des Lehrsatzes stellt nur einen gebundenen oberen zur Verfügung. Für den Fall von r = 2 und k = 3, zum Beispiel, das Argument, das unter Shows gegeben ist, die es genügend ist, die ganzen Zahlen {1..., 325} mit zwei Farben zu färben, um zu versichern, wird es einen einzeln-farbigen arithmetischen Fortschritt der Länge 3 geben. Aber tatsächlich ist der bestimmte von 325 sehr lose; die minimale erforderliche Zahl von ganzen Zahlen ist nur 9. Jedes Färben der ganzen Zahlen {1..., 9} wird drei gleichmäßig ganze Zahlen unter Drogeneinfluss einer Farbe haben.

Für r = 3 und k = 3 ist das durch den Lehrsatz gegebene bestimmte 7 (2 · 3 + 1) (2 · 3 + 1), oder etwa 4.22 · 10. Aber wirklich brauchen Sie das viele ganze Zahlen nicht, um einen einzeln-farbigen Fortschritt der Länge 3 zu versichern; Sie brauchen nur 27. (Und es ist möglich, sich {1..., 26} mit drei Farben zu färben, so dass es keinen einzeln-farbigen arithmetischen Fortschritt der Länge 3 gibt; zum Beispiel, RRYYRRYBYBBRBRRYRYYBRBBYBY.)

Jeder, der den General ober gebunden zu jeder 'angemessenen' Funktion reduzieren kann, kann einen großen Kassenpreis gewinnen. Ronald Graham hat einen Preis von 1000 US$ angeboten, um W (2, k) <2 zu zeigen. Das am besten bekannte gebundene obere ist wegen Timothy Gowers, der einsetzt

:

durch das erste Herstellen eines ähnlichen Ergebnisses für den Lehrsatz von Szemerédi, der eine stärkere Version des Lehrsatzes von Van der Waerden ist. Vorher am besten bekannt gebunden war wegen Saharon Shelah und ist über den ersten Beweis eines Ergebnisses für den Hales-Jewett Lehrsatz weitergegangen, der eine andere Stärkung des Lehrsatzes von Van der Waerden ist.

Das am besten bekannte, das tiefer dafür gebunden ist, ist dass für den ganzen positiven ε.

Beweis des Lehrsatzes von Van der Waerden (in einem speziellen Fall)

Der folgende Beweis ist wegen Ron Grahams und B.L. Rothschilds. Khinchin gibt einen ziemlich einfachen Beweis des Lehrsatzes, ohne W (r, k) zu schätzen.

Wir werden den speziellen Fall beweisen, der oben, dass W (2, 3)  325 erwähnt ist. Lassen Sie c (n) ein Färben der ganzen Zahlen {1..., 325} sein. Wir werden drei Elemente {1..., 325} im arithmetischen Fortschritt finden, die dieselbe Farbe sind.

Teilen Sie sich {1..., 325} in die 65 Blöcke {1..., 5}, {6..., 10}... {321..., 325}, so ist jeder Block der Form {b · 5 + 1..., b · 5 + 5\für einen b in {0..., 64}. Da jede ganze Zahl entweder rot oder blau gefärbt wird, wird jeder Block auf eine von 32 verschiedenen Weisen gefärbt. Durch den Ablegefach-Grundsatz gibt es zwei Blöcke unter den ersten 33 Blöcken, die identisch gefärbt werden. D. h. es gibt zwei ganze Zahlen b und b, beide in {0..., 32}, solch dass

: c (b·5 + k) = c (b·5 + k)

für den ganzen k in {1..., 5}. Unter den drei ganzen Zahlen b · 5 + 1, b · 5 + 2, b · 5 + 3 muss es mindestens zwei geben, die dieselbe Farbe sind. (Der Ablegefach-Grundsatz wieder.) Nennen diese b · 5 + a und b · 5 + a, wo in {1,2,3} und &lt zu sein; a. Denken Sie (ohne Verlust der Allgemeinheit), dass diese zwei ganzen Zahlen beide rot sind. (Wenn sie sowohl blau sind, gerade 'rot' als auch 'blau' darin wert sind, was folgt.)

Lassen Sie = 2 · − a. Wenn b · 5 + rot dann zu sein, haben wir unseren arithmetischen Fortschritt gefunden: b · 5 + ganz rot zu sein

.

Sonst, b · 5 + blau zu sein. Seit einem  5, b · 5 + im B-Block, und da zu sein, wird der B-Block identisch, b gefärbt · 5 + auch blau zu sein.

Lassen Sie jetzt b = 2 · b − b. Dann b  64. Denken Sie die ganze Zahl b · 5 + a, der  325 sein muss. Welche Farbe ist es?

Wenn es, dann b rot ist · 5 + a, b · 5 + a, und b · 5 + eine Form ein roter arithmetischer Fortschritt. Aber wenn es, dann b blau ist · 5 + a, b · 5 + a, und b · 5 + eine Form ein blauer arithmetischer Fortschritt. Auf jede Weise werden wir getan.

Ein ähnliches Argument kann vorgebracht werden, um dass V (3, 3)  7 zu zeigen (2 · 3+1) (2 · 3+1). Man beginnt, indem man die ganzen Zahlen in 2 teilt · 3 + 1 Gruppen 7 (2 · 3 + 1) ganze Zahlen jeder; der ersten 3 + müssen 1 Gruppen, zwei identisch gefärbt werden.

Teilen Sie jede dieser zwei Gruppen in 2 · 3+1 Untergruppen von 7 ganzen Zahlen jeder; der ersten 3 + 1 Untergruppen in jeder Gruppe müssen zwei der Untergruppen identisch gefärbt werden. Innerhalb von jeder dieser identischen Untergruppen müssen zwei der ersten vier ganzen Zahlen dieselbe Farbe sein, rot sagen; das bezieht entweder einen roten Fortschritt oder ein Element einer verschiedenen Farbe ein, sagen Sie blau in derselben Untergruppe.

Da wir zwei identisch farbige Untergruppen haben, gibt es eine dritte Untergruppe noch in derselben Gruppe, die ein Element enthält, das, wenn entweder rot oder blau, einen roten oder blauen Fortschritt durch einen Aufbau vollenden würde, der demjenigen für W (2, 3) analog ist. Nehmen Sie an, dass dieses Element gelb ist. Da es eine Gruppe gibt, die identisch gefärbt wird, muss sie Kopien der roten, blauen und gelben Elemente enthalten, die wir identifiziert haben; wir können jetzt ein Paar von roten Elementen, ein Paar von blauen Elementen und ein Paar von gelben Elementen finden, die 'sich' auf dieselbe ganze Zahl 'konzentrieren', so dass was für die Farbe es ist, es muss einen Fortschritt vollenden.

Der Beweis für W (2, 3) hängt im Wesentlichen vom Beweis dass W (32, 2)  33 ab. Wir teilen die ganzen Zahlen {1..., 325} in 65 'Blöcke', von denen jeder auf 32 verschiedene Weisen gefärbt werden kann, und dann zeigen, dass zwei Blöcke der ersten 33 dieselbe Farbe sein müssen, und es gibt einen Block gefärbt den entgegengesetzten Weg. Ähnlich hängt der Beweis für W (3, 3) davon ab, das zu beweisen

:

Durch eine doppelte Induktion auf der Zahl von Farben und der Länge des Fortschritts wird der Lehrsatz im Allgemeinen bewiesen.

Beweis

Ein D-dimensional arithmetischer Fortschritt besteht aus

Zahlen der Form:

::

wo des basepoint zu sein, der s's die verschiedenen Stiefgrößen ist, und ich Reihe von 0 bis l-1 ist. Eine d-dimensional AP ist homogenous für etwas Färben, wenn es Farbe alle gleich ist.

Ein D-dimensional arithmetischer Fortschritt mit Vorteilen ist alle Zahlen der Form oben, aber wo Sie etwas von der "Grenze" des arithmetischen Fortschritts hinzufügen, d. h. einige der Indizes, die ich bin, L gleich sein können. Die Seiten, auf denen Sie wenden, sind, wo die ersten k, die ich bin, L gleich sind, und die restlichen, die ich bin, weniger sind als L.

Die Grenzen einer D-dimensional AP mit Vorteilen sind diese zusätzlichen arithmetischen Fortschritte der Dimension d-1, d-2, d-3, d-4, unten zu 0. Der 0 dimensionale arithmetische Fortschritt ist der einzelne Punkt am Index-Wert (L, L, L, L... L). Eine D-dimensional AP mit Vorteilen ist homogenous, wenn jede der Grenzen individuell homogenous ist, aber verschiedene Grenzen müssen dieselbe Farbe nicht notwendigerweise haben.

Definieren Sie als nächstes die Menge MinN (L, D, N), um kleinste ganze Zahl so zu sein

dass jede Anweisung von N zu einem Zwischenraum der Länge MinN oder mehr färbt

notwendigerweise enthält einen homogenous D-dimensional arithmetischer Fortschritt mit Vorteilen.

Die Absicht ist zum bestimmten die Größe von MinN. Bemerken Sie, dass MinN (L, 1, N) ein für den von Van-Der-Waerden gebundener oberer ist

Zahl. Es gibt zwei Induktionsschritte wie folgt:

1. Nehmen Sie an, dass MinN für einen gegebenen Längen L für alle Dimensionen von arithmetischen Fortschritten mit Vorteilen bis zu D bekannt ist. Diese Formel gibt einem gebundenen MinN, wenn Sie die Dimension zu D+1 vergrößern:

lassen Sie

::

Beweis:

Erstens, wenn Sie ein N-Färben des Zwischenraums 1 haben... Ich können Sie ein Block-Färben der K-Größe definieren

Blöcke. Denken Sie gerade, dass jede Folge von K-Farben in jedem K-Block eine einzigartige Farbe definiert. Nennen Sie dieses K-Blockieren ein N-Färben. K-Blockieren ein n das Färben der Länge l erzeugt ein N^k-Färben der Länge l/k.

So in Anbetracht eines N-Färbens eines Zwischenraums I der Größe M*MinN (L, 1, n^M)) Sie können M, es in einen n^M zu blockieren, der sich färbt

der Länge MinN (L, 1, n^M). Aber das bedeutet durch die Definition von MinN, dass Sie eine 1-dimensionale arithmetische Folge (mit Vorteilen) der Länge L im Block-Färben finden können, das eine Folge von ebenso unter Drogeneinfluss Blöcken ist, die gleich viel mit dem Block farbig sind, d. h. Sie ein Bündel von Blöcken der Länge M in der ursprünglichen Folge haben, die ebenso unter Drogeneinfluss sind, die genau dieselbe Folge von Farben innen haben.

Jetzt, durch die Definition der M, können Sie eine d-dimensional arithmetische Folge mit Vorteilen in irgendwelchen dieser Blöcke finden, und da alle Blöcke dieselbe Folge von Farben haben, erscheint dieselbe d-dimensional AP mit Vorteilen in allen Blöcken, gerade durch das Übersetzen davon vom Block bis Block. Das ist die Definition eines d+1 dimensionalen arithmetischen Fortschritts, so haben Sie einen homogenous d+1 dimensionale AP. Der neue Schritt-Parameter s_ {D+1} wird definiert, um die Entfernung zwischen den Blöcken zu sein.

Aber Sie brauchen Vorteile. Die Grenzen, die Sie jetzt bekommen, sind alle alten Grenzen plus ihre Übersetzungen in identisch farbige Blöcke, weil i_ {D+1} immer weniger ist als L. Die einzige Grenze, die dem nicht ähnlich ist, ist der 0 dimensionale Punkt wenn. Das ist ein einzelner Punkt, und ist automatisch homogenous.

2. Nehmen Sie an, dass MinN für einen Wert von L und allen möglichen Dimensionen D bekannt ist. Dann können Sie hat MinN für die Länge L+1 gebunden.

::

Beweis:

In Anbetracht eines N-Färbens eines Zwischenraums der Größe MinN (L, n, n), definitionsgemäß, können Sie eine arithmetische Folge mit Vorteilen der Dimension n von der Länge L finden. Aber jetzt ist die Zahl von "Leistungs"-Grenzen der Zahl von Farben gleich, so eine der homogenous Grenzen, sagen von der Dimension k, muss dieselbe Farbe wie eine andere der homogenous Leistungsgrenzen haben, sagen, dass derjenige der Dimension p dieselbe Farbe wie hat

::

dann

:: haben Sie dieselbe Farbe

:: d. h. u macht eine Folge der Länge L+1.

Das baut eine Folge der Dimension 1, und die "Vorteile" sind automatisch, fügen gerade einen anderen Punkt beliebiger Farbe hinzu. Um diesen Grenzpunkt einzuschließen, muss man den Zwischenraum länger durch den maximalen möglichen Wert des Schritts machen, der sicher weniger ist als die Zwischenraum-Größe. So wird die Verdoppelung der Zwischenraum-Größe bestimmt arbeiten, und das ist der Grund für den Faktor zwei. Das vollendet die Induktion auf L.

Grundfall: MinN (1, d, n) =1, d. h. wenn Sie eine Länge 1 homogenous d-dimensional arithmetische Folge, mit oder ohne Vorteile wollen, haben Sie nichts, um zu tun. So bildet das die Basis der Induktion. Der VanDerWaerden Lehrsatz selbst ist die Behauptung, dass MinN (L, 1, N) begrenzt ist, und es aus dem Grundfall und den Induktionsschritten folgt.

Siehe auch

• Zahlen von Van der Waerden für alle bekannten Werte für W (n, r) und die am besten bekannten Grenzen für unbekannte Werte

Links

• Beweis des Lehrsatzes von Van der Waerden