In der Physik und Mathematik sind ein Pseudovektor (oder axialer Vektor) eine Menge, die sich wie ein Vektor unter einer richtigen Folge verwandelt, aber einen zusätzlichen Zeichen-Flip unter einer unpassenden Folge wie ein Nachdenken gewinnt. Geometrisch ist es das Gegenteil des gleichen Umfangs, aber in der entgegengesetzten Richtung seines Spiegelimages. Das ist im Vergleich mit einem wahren oder polaren Vektoren (mehr formell, ein kontravarianter Vektor), der auf dem Nachdenken sein Spiegelimage vergleicht.

In drei Dimensionen wird der Pseudovektor p mit dem Kreuzprodukt von zwei polaren Vektoren a und b vereinigt:

Der Vektor p hat gerechnet dieser Weg ist ein Pseudovektor. Ein Beispiel ist das normale zu einem orientierten Flugzeug. Ein orientiertes Flugzeug kann durch zwei nichtparallele Vektoren, a und b definiert werden, der, wie man sagen kann, das Flugzeug abmisst. Der Vektor ein × b ist ein normaler zum Flugzeug (gibt es zwei normals, ein auf jeder Seite - die rechte Regel wird bestimmen, der), und ist ein Pseudovektor. Das hat Folgen in der Computergrafik, wo es betrachtet werden muss, wenn man Oberfläche normals umgestaltet.

Mehrere Mengen in der Physik benehmen sich als Pseudovektoren aber nicht polare Vektoren einschließlich der magnetischen winkeligen und Feldgeschwindigkeit. In der Mathematik sind Pseudovektoren zu dreidimensionalem bivectors gleichwertig, von dem die Transformationsregeln von Pseudovektoren abgeleitet werden können. Mehr allgemein in der n-dimensional geometrischen Algebra sind Pseudovektoren die Elemente der Algebra mit der Dimension, schriftlichem ΛR. Das 'Pseudo-' Etikett kann weiter zu Pseudoskalaren und Pseudotensor verallgemeinert werden, von dem beider einen Extrazeichen-Flip unter unpassenden Folgen im Vergleich zu einem wahren Skalar oder Tensor gewinnt.

Physische Beispiele

Physische Beispiele von Pseudovektoren schließen das magnetische Feld, Drehmoment, vorticity, und den winkeligen Schwung ein.

Häufig wird die Unterscheidung zwischen Vektoren und Pseudovektoren überblickt, aber es wird wichtig im Verstehen und der Ausnutzung der Wirkung der Symmetrie auf der Lösung von physischen Systemen. Ziehen Sie zum Beispiel den Fall einer elektrischen aktuellen Schleife im z = 0 Flugzeug in Betracht, das ein magnetisches Feld an z = 0 hat, der in der z Richtung orientiert wird. Dieses System ist (invariant) unter dem Spiegelnachdenken durch das Flugzeug symmetrisch (eine unpassende Folge), so sollte das magnetische Feld durch das Nachdenken unverändert sein. Aber das Reflektieren des magnetischen Feldes durch dieses Flugzeug scheint naiv, sein Zeichen zu ändern, wenn es als ein Vektorfeld angesehen wird - wird dieser Widerspruch durch das Verständnis aufgelöst, dass das Spiegelnachdenken des Feldes einen Extrazeichen-Flip wegen seiner Pseudovektor-Natur veranlasst, so verlässt der Spiegelflip am Ende das magnetische Feld unverändert, wie erwartet.

Als ein anderes Beispiel, betrachten Sie den Pseudovektoren als winkeligen Schwung L = r × p. In einem Auto und dem Freuen fahrend, hat jedes der Räder einen winkeligen Schwung-Vektoren, der nach links hinweist. Wenn die Welt in einem Spiegel widerspiegelt wird, der den verlassenen und die richtige Seite des Autos, das "Nachdenken" dieses winkeligen Schwungs "Vektor" (angesehen als ein gewöhnlicher Vektor) Punkte nach rechts schaltet, aber der wirkliche winkelige Schwung-Vektor des Rades weist noch nach links entsprechend dem zusätzlichen minus das Zeichen im Nachdenken eines Pseudovektoren hin. Das widerspiegelt die Tatsache, dass sich die Räder noch vorwärts drehen. Im Vergleich ist das Verhalten eines regelmäßigen Vektoren, wie die Position des Autos, ziemlich verschieden.

Im Ausmaß, dass physische Gesetze dasselbe sein würden, wenn das Weltall in einem Spiegel (gleichwertig, invariant unter der Gleichheit) widerspiegelt würde, ist die Summe eines Vektoren und eines Pseudovektoren nicht bedeutungsvoll. Jedoch hängt die schwache Kraft, die Beta-Zerfall regelt, wirklich vom chirality des Weltalls ab, und in diesem Fall werden Pseudovektoren und Vektoren hinzugefügt.

Details

Die Definition eines "Vektoren" in der Physik (sowohl einschließlich polarer Vektoren als auch einschließlich Pseudovektoren) ist spezifischer als die mathematische Definition "des Vektoren" (nämlich, jedes Element eines abstrakten Vektorraums). Laut der Physik-Definition ist ein "Vektor" erforderlich, Bestandteile zu haben, die "sich" auf eine bestimmte Weise unter einer richtigen Folge "verwandeln": Insbesondere wenn alles im Weltall rotieren gelassen würde, würde der Vektor auf genau dieselbe Weise rotieren. (Das Koordinatensystem wird in dieser Diskussion befestigt; mit anderen Worten ist das die Perspektive von aktiven Transformationen.) Mathematisch, wenn alles im Weltall eine Folge erlebt, die durch eine Folge-Matrix R beschrieben ist, so dass ein Versetzungsvektor x in x  = Rx umgestaltet wird, dann muss jeder "Vektor" v in v  = Rv ähnlich umgestaltet werden. Diese wichtige Voraussetzung ist, was einen Vektoren unterscheidet (der aus, zum Beispiel, der x, y, und die Z-Bestandteile der Geschwindigkeit zusammengesetzt werden könnte) von jedem anderen Drilling von physischen Mengen (Zum Beispiel, die Länge, Breite, und die Höhe eines rechteckigen Kastens als die drei Bestandteile eines Vektoren nicht betrachtet werden kann, seit dem Drehen des Kastens gestaltet diese drei Bestandteile nicht passend um.)

(Auf der Sprache der Differenzialgeometrie ist diese Voraussetzung zum Definieren eines Vektoren gleichwertig, um ein Tensor von Kontravariante-Reihe-demjenigen zu sein.)

Die Diskussion bezieht sich bis jetzt nur auf richtige Folgen, d. h. Folgen über eine Achse. Jedoch kann man auch unpassende Folgen, d. h. ein von einer richtigen Folge vielleicht als gefolgtes Spiegelnachdenken betrachten. (Ein Beispiel einer unpassenden Folge ist Inversion.) Nehmen an, dass alles im Weltall eine unpassende Folge erlebt, die durch die Folge-Matrix R beschrieben ist, so dass ein Positionsvektor x in x  = Rx umgestaltet wird. Wenn der Vektor v ein polarer Vektor ist, wird er in v  = Rv umgestaltet. Wenn es ein Pseudovektor ist, wird es in v  =-Rv umgestaltet.

Die Transformationsregeln für polare Vektoren und Pseudovektoren können als kompakt festgesetzt werden

: (polarer Vektor)

: (Pseudovektor)

wo die Symbole als oben beschrieben werden, und die Folge-Matrix R entweder richtig oder unpassend sein kann. Das Symbol det zeigt Determinante an; diese Formel arbeitet, weil die Determinante der richtigen und unpassenden Folge matrices +1 und-1, beziehungsweise ist.

Verhalten unter der Hinzufügung, Subtraktion, Skalarmultiplikation

Nehmen Sie v an, und v sind bekannte Pseudovektoren, und v wird definiert, um ihre Summe, v=v+v zu sein. Wenn das Weltall durch eine Folge-Matrix R umgestaltet wird, dann wird v in umgestaltet

So ist v auch ein Pseudovektor. Ähnlich kann man zeigen, dass der Unterschied zwischen zwei Pseudovektoren ein Pseudovektor ist, dass die Summe oder der Unterschied von zwei polaren Vektoren ein polarer Vektor sind, gibt dieses Multiplizieren eines polaren Vektoren durch jede reelle Zahl einen anderen polaren Vektoren nach, und dass das Multiplizieren eines Pseudovektoren durch jede reelle Zahl einen anderen Pseudovektoren nachgibt.

Nehmen Sie andererseits an, dass, wie man bekannt, v ein polarer Vektor ist, wie man bekannt, ist v ein Pseudovektor, und v wird definiert, um ihre Summe, v=v+v zu sein. Wenn das Weltall durch eine Folge-Matrix R umgestaltet wird, dann wird v in umgestaltet

Deshalb ist v weder ein polarer Vektor noch ein Pseudovektor. Für eine unpassende Folge behält v im Allgemeinen sogar denselben Umfang nicht:

: aber.

Wenn der Umfang von v eine messbare physische Menge beschreiben sollte, die bedeuten würde, dass die Gesetze der Physik dasselbe nicht erscheinen würden, wenn das Weltall in einem Spiegel angesehen würde. Tatsächlich ist das genau, was in der schwachen Wechselwirkung geschieht: Bestimmtes radioaktives Zerfall-Vergnügen ist "abgereist" und "Recht" verschieden, ein Phänomen, das zur Summierung eines polaren Vektoren mit einem Pseudovektoren in der zu Grunde liegenden Theorie verfolgt werden kann. (Sieh Paritätsübertretung.)

Verhalten unter Kreuzprodukten

Für eine Folge-Matrix R, entweder richtig oder unpassend, ist die folgende mathematische Gleichung immer wahr:

:

wo v und v irgendwelche dreidimensionalen Vektoren sind. (Diese Gleichung kann entweder durch ein geometrisches Argument oder durch eine algebraische Berechnung bewiesen werden und ist weithin bekannt.)

Nehmen Sie v an, und v sind polare Vektoren bekannt, und v wird definiert, um ihr Kreuzprodukt, v=v×v zu sein. Wenn das Weltall durch eine Folge-Matrix R umgestaltet wird, dann wird v in umgestaltet

So ist v ein Pseudovektor. Ähnlich kann man sich zeigen:

• polarer Vektor × polarer Vektor = Pseudovektor
• Pseudovektor × Pseudovektor = Pseudovektor
• polarer Vektor × Pseudovektor = polarer Vektor
• Pseudovektor × polarer Vektor = polarer Vektor

Beispiele

Aus der Definition ist es klar, dass ein Versetzungsvektor ein polarer Vektor ist. Der Geschwindigkeitsvektor ist ein Versetzungsvektor (ein polarer Vektor) geteilt durch die Zeit (ein Skalar), so ist auch ein polarer Vektor. Ebenfalls ist der Schwung-Vektor der Geschwindigkeitsvektor (ein polarer Vektor) Zeitmasse (ein Skalar), so ist ein polarer Vektor. Winkeliger Schwung ist das Kreuzprodukt einer Versetzung (ein polarer Vektor) und Schwung (ein polarer Vektor), und ist deshalb ein Pseudovektor. Diesen Weg fortsetzend, ist es aufrichtig, um jeden Vektoren entweder als ein Pseudovektor oder als polarer Vektor zu klassifizieren.

Die rechte Regel

Oben sind Pseudovektoren mit aktiven Transformationen besprochen worden. Eine abwechselnde Annäherung, mehr entlang den Linien von passiven Transformationen, soll das Weltall befestigt, aber Schalter "rechte Regel" mit der "linken Regel" und umgekehrt überall in der Physik insbesondere in der Definition des Kreuzproduktes halten. Jeder polare Vektor (z.B, ein Übersetzungsvektor) würden unverändert sein, aber Pseudovektoren (z.B, der magnetische Feldvektor an einem Punkt) würden Zeichen schalten. Dennoch würde es keine physischen Folgen, abgesondert von in den paritätsverletzenden Phänomenen wie bestimmter radioaktiver Zerfall geben.

Geometrische Algebra

In der geometrischen Algebra sind die Grundelemente Vektoren, und diese werden verwendet, um eine Hierarchie von Elementen mit den Definitionen von Produkten in dieser Algebra zu bauen. Insbesondere die Algebra baut Pseudovektoren von Vektoren.

Die grundlegende Multiplikation in der geometrischen Algebra ist das geometrische Produkt, das angezeigt ist, indem es einfach zwei Vektoren als in ab nebeneinander gestellt wird. Dieses Produkt wird als ausgedrückt:

wo der Hauptbegriff das übliche Vektor-Punktprodukt ist und der zweite Begriff das Keil-Produkt genannt wird. Mit den Postulaten der Algebra können alle Kombinationen des Punkts und der Keil-Produkte bewertet werden. Eine Fachsprache, um die verschiedenen Kombinationen zu beschreiben, wird zur Verfügung gestellt. Zum Beispiel ist ein Mehrvektor eine Summierung von K-Fold-Keil-Produkten von verschiedenen K-Werten. Ein K-Fold-Keil-Produkt wird auch eine K-Klinge genannt.

Im gegenwärtigen Zusammenhang ist der Pseudovektor eine dieser Kombinationen. Dieser Begriff wird einem verschiedenen mulitvector abhängig von Dimensionen des Raums (d. h. die Zahl von linear unabhängigen Vektoren im Raum) beigefügt. In drei Dimensionen können der allgemeinste 2-Klingen- oder bivector als ein einzelnes Keil-Produkt ausgedrückt werden und sind ein Pseudovektor. In vier Dimensionen, jedoch, sind die Pseudovektoren trivectors. Im Allgemeinen ist es (n - 1) - Klinge, wo n die Dimension des Raums und der Algebra ist. Ein n-dimensional Raum hat n Vektoren und auch n Pseudovektoren. Jeder Pseudovektor wird vom Außen-(Keil) Produkt von allen außer einem der n Vektoren gebildet. Zum Beispiel, in vier Dimensionen, wo die Vektoren sind: {e, e, e, e}, können die Pseudovektoren als geschrieben werden: {e, e, e, e}.

Transformationen in drei Dimensionen

Die Transformationseigenschaften des Pseudovektoren in drei Dimensionen sind im Vergleich zu diesem des Vektor-Kreuzproduktes durch Baylis gewesen. Er sagt: "Die Begriffe axialer Vektor und Pseudovektor werden häufig als synonymisch behandelt, aber es ist ziemlich nützlich im Stande zu sein, einen bivector von seinem Doppel-zu unterscheiden." Um Baylis zu paraphrasieren: In Anbetracht zwei polarer Vektoren (d. h. wahrer Vektoren) a und b in drei Dimensionen, ist das Kreuzprodukt, das aus a und b zusammengesetzt ist, der Vektor, der zu ihrem Flugzeug normal ist, das durch c = gegeben ist. In Anbetracht einer Reihe rechtshändiger orthonormaler Basisvektoren} wird das Kreuzprodukt in Bezug auf seine Bestandteile als ausgedrückt:

wo Exponenten Vektor-Bestandteile etikettieren. Andererseits wird das Flugzeug der zwei Vektoren durch das Außenprodukt oder Keil-Produkt vertreten, das dadurch angezeigt ist. In diesem Zusammenhang der geometrischen Algebra wird dieser bivector einen Pseudovektoren genannt, und ist das Doppel-vom Kreuzprodukt. Der Doppel-von e wird als e  ee = und so weiter eingeführt. D. h. der Doppel-von e ist die Subraumsenkrechte zu e, nämlich der Subraum, der durch e und e abgemessen ist. Mit diesem Verstehen,

Weil Details Doppel-Hodge sehen. Vergleich zeigt, dass das Kreuzprodukt und Keil-Produkt verbunden sind durch:

wo ich = den Einheitspseudoskalar genannt werde. Es hat das Eigentum:

Mit den obengenannten Beziehungen wird es gesehen, dass, wenn die Vektoren a und b durch das Ändern der Zeichen ihrer Bestandteile umgekehrt werden, während man die Basisvektoren befestigt verlässt, sowohl der Pseudovektor als auch das Kreuzprodukt invariant sind. Andererseits, wenn die Bestandteile befestigt werden und die Basisvektoren e umgekehrt werden, dann ist der Pseudovektor invariant, aber das Kreuzprodukt-Änderungszeichen. Dieses Verhalten von Kreuzprodukten ist mit ihrer Definition als einem Vektoren ähnliche Elemente im Einklang stehend, die Zeichen unter der Transformation von einem rechtshändigen bis ein linkshändiges Koordinatensystem verschieden von polaren Vektoren ändern.

Zeichen auf dem Gebrauch

Als beiseite kann es bemerkt werden, dass nicht alle Autoren im Feld der geometrischen Algebra den Begriff Pseudovektor gebrauchen, und einige Autoren der Fachsprache folgen, die zwischen dem Pseudovektoren und dem Kreuzprodukt nicht unterscheidet. Jedoch, weil das Kreuzprodukt außer drei Dimensionen nicht verallgemeinert, kann der Begriff des Pseudovektoren, der auf dem Kreuzprodukt auch gestützt ist, nicht zu höheren Dimensionen erweitert werden. Der Pseudovektor als (n-1) - Klinge eines n-dimensional Raums wird nicht so eingeschränkt.

Ein anderes wichtiges Zeichen ist, dass Pseudovektoren, trotz ihres Namens, "Vektoren" im allgemeinen mathematischen Sinn, d. h. Elemente eines Vektorraums sind. Die Idee, dass "ein Pseudovektor von einem Vektoren verschieden ist", ist nur mit einer verschiedenen und spezifischeren Definition des Begriffes "Vektor", wie besprochen, oben wahr.

Referenzen

Allgemeine Verweisungen

• Richard Feynman, Vorträge von Feynman auf der Physik, Vol. 1 Junge. 52. Sieh §52-5: Polare und axiale Vektoren, p. 52-6
• George B. Arfken und Hans J. Weber, Mathematische Methoden für Physiker (Harcourt: San Diego, 2001). (Internationale Standardbuchnummer 0-12-059815-9)
• John David Jackson, Klassische Elektrodynamik (Wiley: New York, 1999). (Internationale Standardbuchnummer 0 471 30932 X)
• Susan M. Lea, "Mathematik für Physiker" (Thompson: Belmont, 2004) (internationale Standardbuchnummer 0-534-37997-4)
• Chris Doran und Anthony Lasenby, "Geometrische Algebra für Physiker" (Universität von Cambridge Presse: Cambridge, 2007) (internationale Standardbuchnummer 978-0-521-71595-9)
• : Das Doppel-vom Keil-Produkt ab ist das Kreuzprodukt ein × b.

Siehe auch

• Algebra von Grassmann
• Algebra von Clifford
• Orientierung (Mathematik) - Beschreibung von orientierten Räumen, die für Pseudovektoren notwendig

• Orientability - Diskussion über non-orientable Räume.