Die Hitzegleichung ist eine wichtige teilweise Differenzialgleichung, die den Vertrieb der Hitze (oder Schwankung in der Temperatur) in einem gegebenen Gebiet mit der Zeit beschreibt.

Behauptung der Gleichung

Für eine Funktion u (x, y, z, t) drei Raumvariablen (x, y, z) und der Zeitvariable t, ist die Hitzegleichung

auch schriftlicher

:

oder wechselweise

wo α eine positive Konstante, und Δ ist oder  den Maschinenbediener von Laplace anzeigt. Im physischen Problem der Temperaturschwankung, u (x, y, z, t) ist die Temperatur, und α ist der thermische diffusivity. Für die mathematische Behandlung ist es genügend, den Fall α = 1 in Betracht zu ziehen.

Die Hitzegleichung ist von grundsätzlicher Wichtigkeit in verschiedenen wissenschaftlichen Feldern. In der Mathematik ist es die archetypische parabolische teilweise Differenzialgleichung. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Hitzegleichung mit der Studie der Brownschen Bewegung über die Gleichung von Fokker-Planck verbunden. In der Finanzmathematik wird es verwendet, um die Schwarze-Scholes teilweise Differenzialgleichung zu lösen. Die Verbreitungsgleichung, eine allgemeinere Version der Hitzegleichung, entsteht im Zusammenhang mit der Studie der chemischen Verbreitung und den anderen zusammenhängenden Prozessen.

Allgemeine Beschreibung

Nehmen Sie an, dass man eine Funktion u hat, der die Temperatur an einer gegebenen Position (x, y, z) beschreibt. Diese Funktion wird sich mit der Zeit ändern, weil sich Hitze überall im Raum ausbreitet. Die Hitzegleichung wird verwendet, um die Änderung in der Funktion u mit der Zeit zu bestimmen. Das Image wird nach rechts belebt und beschreibt den Weg Hitzeänderungen rechtzeitig entlang einer Metallbar. Einer der interessanten Eigenschaften der Hitzegleichung ist der maximale Grundsatz, der sagt, dass der maximale Wert von u entweder früher rechtzeitig ist als das Gebiet der Sorge oder am Rand des Gebiets der Sorge. Das sagt im Wesentlichen, dass Temperatur entweder aus einer Quelle oder aus früher rechtzeitig kommt, weil Hitze durchdringt, aber vom Nichts nicht geschaffen wird. Das ist ein Eigentum von parabolischen teilweisen Differenzialgleichungen und ist nicht schwierig, sich mathematisch (sieh unten) zu erweisen.

Ein anderes interessantes Eigentum besteht darin, dass, selbst wenn u eine Diskontinuität in einer anfänglichen Zeit t = t hat, die Temperatur glatt sobald t &gt wird; t. Zum Beispiel, wenn eine Bar von Metall Temperatur 0 hat und ein anderer Temperatur 100 hat und sie der Länge nach zusammengeklebt werden, dann sehr schnell wird die Temperatur am Punkt der Verbindung 50 werden, und der Graph der Temperatur wird glatt von 0 bis 100 laufen.

Die Hitzegleichung wird in der Wahrscheinlichkeit verwendet und beschreibt zufällige Spaziergänge. Es wird auch in der Finanzmathematik aus diesem Grund angewandt.

Es ist auch in der Geometrie von Riemannian und so Topologie wichtig: Es wurde von Richard Hamilton angepasst, als er den Fluss von Ricci definiert hat, der später von Grigori Perelman verwendet wurde, um die topologische Vermutung von Poincaré zu lösen.

Das physische Problem und die Gleichung

Abstammung in einer Dimension

Die Hitzegleichung wird aus dem Gesetz von Fourier und Bewahrung der Energie abgeleitet.

Nach dem Gesetz von Fourier ist der Durchfluss der Hitzeenergie durch eine Oberfläche zum negativen Temperaturanstieg über die Oberfläche, proportional

:

wo k das Thermalleitvermögen ist und u die Temperatur ist. In einer Dimension ist der Anstieg eine gewöhnliche Raumableitung, und so ist das Gesetz von Fourier

:

wo

:

Ohne geleistete Arbeit ist eine Änderung in der inneren Energie pro Einheitsvolumen im Material, ΔQ, zur Änderung in der Temperatur, Δu proportional. Das, ist

:

wo c die spezifische Hitzekapazität ist und ρ die Massendichte des Materials ist. (In dieser Abteilung nur ist Δ der gewöhnliche Unterschied-Maschinenbediener, nicht Laplacian.) Auswahl der Nullenergie bei der absoluten Nulltemperatur, das kann als umgeschrieben werden

:.

Die Zunahme in der inneren Energie in einem kleinen Raumgebiet des Materials

:

im Laufe des Zeitabschnitts

:

wird durch gegeben

:

wo der Hauptsatz der Rechnung verwendet wurde. Wenn keine Arbeit getan wird und es weder Hitzequellen noch Becken gibt, wird die Änderung in der inneren Energie im Zwischenraum [x-Δx, x +Δx] völlig durch den Fluss der Hitze über die Grenzen verantwortlich gewesen. Nach dem Gesetz von Fourier ist das

:

wieder durch den Hauptsatz der Rechnung. Durch die Bewahrung der Energie,

:

Das ist für jedes Rechteck [t−t, t +Δt] × [x−x, x +Δx] wahr. Folglich muss der integrand identisch verschwinden:

:

Der als umgeschrieben werden kann:

:

oder:

:

der die Hitzegleichung ist, wo der Koeffizient (hat häufig α angezeigt)

,:

wird den thermischen diffusivity genannt.

Dreidimensionales Problem

In den speziellen Fällen der Welle-Fortpflanzung der Hitze in einem isotropischen und des mittleren in einem 3-dimensionalen Raum ist diese Gleichung

:

\alpha \left ({\\Partial^2 u\over \partial x^2} +

{\\Partial^2 u\over \partial y^2} +

{\\Partial^2 u\over \partial z^2 }\\Recht)

</math>&ensp;

wo:

• u = u (x, y, z, t) ist Temperatur als eine Funktion der Zeit und Raums;

• ist die Rate der Änderung der Temperatur an einem Punkt mit der Zeit;
• u, u, und u sind die zweiten Raumableitungen (Wärmeleitungen) der Temperatur im x, y, und z Richtungen beziehungsweise;

• ist der thermische diffusivity, eine materiell-spezifische Menge abhängig vom Thermalleitvermögen k, die Massendichte ρ, und die spezifische Hitzekapazität c.

Die Hitzegleichung ist eine Folge des Gesetzes von Fourier kühl zu werden (sieh Hitzeleitung).

Wenn das Medium nicht der ganze Raum ist, um die Hitzegleichung einzigartig zu lösen, müssen wir auch Grenzbedingungen für u angeben. Um Einzigartigkeit von Lösungen im ganzen Raum zu bestimmen, ist es notwendig anzunehmen, dass ein Exponential-zum Wachstum von Lösungen gebunden hat; diese Annahme ist mit beobachteten Experimenten im Einklang stehend.

Lösungen der Hitzegleichung werden durch ein allmähliches Glanzschleifen des Anfangstemperatur-Vertriebs durch den Fluss der Hitze vom wärmeren bis kältere Gebiete eines Gegenstands charakterisiert. Allgemein werden viele verschiedene Staaten und Startbedingungen zu demselben stabilen Gleichgewicht neigen. Demzufolge, die Lösung umzukehren und etwas über frühere Zeiten oder anfängliche Bedingungen vom gegenwärtigen Hitzevertrieb zu schließen, sind außer im Laufe des kürzesten von Zeitabschnitten sehr ungenau.

Die Hitzegleichung ist das archetypische Beispiel einer parabolischen teilweisen Differenzialgleichung.

Mit dem Maschinenbediener von Laplace kann die Hitzegleichung vereinfacht, und zu ähnlichen Gleichungen über Räume der beliebigen Zahl von Dimensionen, als verallgemeinert werden

:

wo der Maschinenbediener von Laplace, Δ oder , die Abschweifung des Anstiegs, in den Raumvariablen genommen wird.

Die Hitzegleichung regelt Hitzeverbreitung, sowie andere sich verbreitende Prozesse, wie Partikel-Verbreitung oder die Fortpflanzung des Handlungspotenzials in Nervenzellen. Obwohl sie in der Natur nicht sich verbreitend sind, werden einige Quant-Mechanik-Probleme auch durch ein mathematisches Analogon der Hitzegleichung (sieh unten) geregelt. Es kann auch verwendet werden, um einige Phänomene zu modellieren, die in der Finanz, wie der Schwarze-Scholes oder die Prozesse von Ornstein-Uhlenbeck entstehen. Die Gleichung und verschiedenen nichtlinearen Entsprechungen, sind auch in der Bildanalyse verwendet worden.

Die Hitzegleichung ist technisch in der Übertretung der speziellen Relativität, weil seine Lösungen sofortige Fortpflanzung einer Störung einschließen. Der Teil der Störung außerhalb des leichten Vorwärtskegels kann gewöhnlich sicher vernachlässigt werden, aber wenn es notwendig ist, eine angemessene Geschwindigkeit für die Übertragung der Hitze zu entwickeln, sollte ein Hyperbelproblem stattdessen - wie eine teilweise Differenzialgleichung betrachtet werden, die eine Zeitableitung der zweiten Ordnung einschließt. Einige Modelle der nichtlinearen Hitzeleitung (die auch parabolische Gleichungen sind) haben Lösungen mit der begrenzten Hitzeübertragungsgeschwindigkeit.

Innere Hitzegeneration

Die Funktion u vertritt oben Temperatur eines Körpers. Wechselweise ist es manchmal günstig, Einheiten zu ändern und u als die Hitzedichte eines Mediums zu vertreten. Da Hitzedichte zur Temperatur in einem homogenen Medium proportional ist, wird der Hitzegleichung noch in den neuen Einheiten gefolgt.

Nehmen Sie an, dass ein Körper der Hitzegleichung folgt und außerdem seine eigene Hitze pro Einheitsvolumen (z.B, in Watt/Liter - W/L) an einer Rate erzeugt, die durch eine bekannte Funktion q gegeben ist, sich in der Zeit und Raum ändernd. Dann befriedigt die Hitze pro Einheitsband u eine Gleichung

:

\alpha \left ({\\Partial^2 u\over \partial x^2} +{\\Partial^2 u\over \partial y^2} +

{\\Partial^2 u\over \partial z^2} \right) + q. </math>

Zum Beispiel erzeugt ein Wolfram-Glühbirne-Glühfaden Hitze, so würde es einen positiven Nichtnullwert für q, wenn angemacht, haben. Während das Licht abgedreht wird, würde der Wert von q für den Wolfram-Glühfaden Null sein.

Das Lösen der Hitzegleichung mit der Reihe von Fourier

Die folgende Lösungstechnik für die Hitzegleichung wurde von Joseph Fourier in seiner Abhandlung Théorie analytique de la chaleur, veröffentlicht 1822 vorgeschlagen. Lassen Sie uns die Hitzegleichung für eine Raumvariable denken. Das konnte an die Musterhitzeleitung in einer Stange gewöhnt sein. Die Gleichung ist

wo u = u (x, t) eine Funktion von zwei Variablen x und t ist. Hier

• x ist die Raumvariable, so x  [0, L], wo L die Länge der Stange ist.
• t ist die Zeitvariable, so t  0.

Wir nehmen die anfängliche Bedingung an

wo die Funktion f, und die Grenzbedingungen gegeben wird

Lassen Sie uns versuchen, eine Lösung zu finden, deren nicht identisch Nullzufriedenheit der Grenzbedingungen, aber mit dem folgenden Eigentum ist: U ist ein Produkt, in dem die Abhängigkeit von u auf x, t getrennt wird, der ist:

Diese Lösungstechnik wird Trennung von Variablen genannt. u zurück in die Gleichung, vertretend

:

Da die rechte Seite nur von x und der linken Seite nur auf t abhängt, sind beide Seiten einem unveränderlichen Wert  λ gleich. So:

und