In der Ordnungstheorie, einem Feld der Mathematik, ist eine Vorkommen-Algebra eine assoziative Algebra, die für jeden lokal begrenzten teilweise bestellten Satz definiert ist

und Ersatzring mit der Einheit.

Definition

Ein lokal begrenzter poset ist ein für der jeder geschlossene Zwischenraum

: [a, b] = {x: ein  x  b }\

innerhalb seiner ist begrenzt.

Die Mitglieder der Vorkommen-Algebra sind die Funktionen f, jedem nichtleeren Zwischenraum [a, b] ein Skalar f zuteilend (a, b), der vom Ring von Skalaren, einem Ersatzring mit der Einheit genommen wird. Auf diesem zu Grunde liegenden Satz definiert man Hinzufügung und Skalarmultiplikation pointwise, und "die Multiplikation" in der Vorkommen-Algebra ist eine durch definierte Gehirnwindung

:

Eine Vorkommen-Algebra ist endlich-dimensional, wenn, und nur wenn der zu Grunde liegende poset begrenzt ist.

Zusammenhängende Konzepte

Eine Vorkommen-Algebra ist einer Gruppenalgebra analog; tatsächlich sind sowohl die Gruppenalgebra als auch die Vorkommen-Algebra spezielle Fälle einer kategorischen Algebra, definiert analog; Gruppen und posets spezielle Arten von Kategorien zu sein.

Spezielle Elemente

Das multiplicative Identitätselement der Vorkommen-Algebra ist die Delta-Funktion, die durch definiert ist

:

\delta (a, b) = \left\{

\begin {Matrix-}\

\1, & \mbox {wenn} a=b \\

\0, & \mbox {wenn} a

Die zeta Funktion einer Vorkommen-Algebra ist die unveränderliche Funktion ζ (a, b) = 1 für jeden Zwischenraum [a, b]. Das Multiplizieren mit ζ ist der Integration analog.

Man kann zeigen, dass ζ invertible in der Vorkommen-Algebra (in Bezug auf die Gehirnwindung ist, die oben definiert ist). (Allgemein ist ein Mitglied h der Vorkommen-Algebra invertible, wenn, und nur wenn h (x, x) invertible für jeden x. ist) Das multiplicative Gegenteil der Zeta-Funktion die Funktion von Möbius μ (a, b) ist; jeder Wert von μ (a, b) ist ein integriertes Vielfache 1 im Grundring.

Die Möbius-Funktion kann auch direkt durch die folgende Beziehung definiert werden:

:

\mu (x, y) = \left\{\\beginnen {ordnen} {Cc }\

1, & \textrm {wenn }\\Viererkabel x = y \\

- \sum_ {x\leq z

Das Multiplizieren mit μ ist der Unterscheidung analog, und wird Inversion von Möbius genannt.

Beispiele

• Positive ganze Zahlen, die durch die Teilbarkeit bestellt sind

:The-Funktion von Möbius ist μ (a, b) = μ (b/a), wo der zweite "μ" die klassische Funktion von Möbius ist, die in die Zahlentheorie im 19. Jahrhundert eingeführt ist.

• Begrenzte Teilmengen von einem Satz E, bestellt durch die Einschließung

:The Funktion von Möbius ist

::

:whenever S und T sind begrenzte Teilmengen von E mit S  T, und Inversion von Möbius wird den Grundsatz des Einschließungsausschlusses genannt.

:Geometrically, das ist ein Hyperwürfel:

• Natürliche Zahlen mit ihrer üblichen Ordnung

:The Funktion von Möbius ist

::

1 & \mbox {wenn} y-x=0, \\

- 1 & \mbox {wenn} y-x=1, \\

0 & \mbox {wenn} y-x> 1,

\end {Matrix-}\\Recht. </math>

:and Inversion von Möbius wird (umgekehrt) Unterschied-Maschinenbediener genannt.

:Geometrically, das entspricht dem getrennten Zahlenstrahl.

:Recall, dass die Gehirnwindung von Folgen Multiplikation der formellen Macht-Reihe entspricht.

:The Funktion von Möbius entspricht der Folge (1, &minus;1, 0, 0, 0...) von Koeffizienten der formellen Macht-Reihe 1 &minus; z, und die Zeta-Funktion entspricht in diesem Fall der Folge von Koeffizienten (1, 1, 1, 1...) der formellen Macht-Reihe, die umgekehrt ist. Die Delta-Funktion in dieser Vorkommen-Algebra entspricht ähnlich der formellen Macht-Reihe 1.

• Untergruppen einer begrenzten P-Gruppe G, bestellt durch die Einschließung

:The Funktion von Möbius ist

:: wenn eine normale Untergruppe und ist

:: und es ist 0 sonst. Das ist ein Lehrsatz von Weisner (1935).

• Begrenzte Submehrsätze von einem Mehrsatz E, bestellt durch die Einschließung

:The über drei Beispielen kann vereinigt und durch das Betrachten eines Mehrsatzes E, und begrenzter Submehrsätze S und T von E verallgemeinert werden. Die Möbius-Funktion ist

::

(-1) ^ {\\left|T\setminus S\right |} & \text {wenn} T\setminus S \text {ein Satz ist (hat keine wiederholten Elemente),}.\end {Fälle} </Mathematik>

:This verallgemeinert die positiven ganzen Zahlen, die durch die Teilbarkeit durch eine positive ganze Zahl entsprechend seinem Mehrsatz von Hauptteilern mit der Vielfältigkeit z.B bestellt sind, 12 entspricht dem Mehrsatz

:This verallgemeinert die natürlichen Zahlen mit ihrer üblichen Ordnung durch eine natürliche Zahl entsprechend einem Mehrsatz eines zu Grunde liegenden Elements und cardinality gleich dieser Zahl z.B, 3 entspricht dem Mehrsatz

• Teilungen eines Satzes

:Partially bestellen den Satz aller Teilungen eines begrenzten Satzes durch den Ausspruch σ  τ, wenn σ eine feinere Teilung ist als τ. Dann ist die Funktion von Möbius

::

:where n ist die Zahl von Blöcken in der feineren Teilung σ, r ist die Zahl von Blöcken in der raueren Teilung τ, und r ist die Zahl von Blöcken von τ, die genau enthalten, blockiere ich von σ.

Eigenschaft von Euler

Ein poset wird begrenzt, wenn er kleinste und größte Elemente hat, die wir 0 und 1 beziehungsweise nennen (um mit 0 und 1 des Rings von Skalaren nicht verwirrt zu sein). Die Euler Eigenschaft eines begrenzten begrenzten poset ist μ (0,1); es ist immer eine ganze Zahl. Dieses Konzept ist mit der klassischen Eigenschaft von Euler verbunden.

Reduzierte Vorkommen-Algebra

Jedes Mitglied einer Vorkommen-Algebra, die denselben Wert irgendwelchen zwei Zwischenräumen zuteilt, die zu einander als posets isomorph sind, ist ein Mitglied der reduzierten Vorkommen-Algebra. Das ist eine Subalgebra der Vorkommen-Algebra, und sie enthält klar das Vorkommen-Algebra-Identitätselement und die Zeta-Funktion. Jedes Element der reduzierten Vorkommen-Algebra, die invertible in der größeren Vorkommen-Algebra ist, hat sein Gegenteil in der reduzierten Vorkommen-Algebra. Demzufolge ist die Funktion von Möbius immer ein Mitglied der reduzierten Vorkommen-Algebra. Reduzierte Vorkommen-Algebra werfen Licht auf die Theorie, Funktionen zu erzeugen, wie auf im Fall von den natürlichen Zahlen oben angespielt hat.

Siehe auch

• Graph-Algebra
• Pfad-Algebra

Literatur

Vorkommen-Algebra lokal begrenzten posets wurden in mehreren Zeitungen von Gian-Carlo Rota behandelt, der 1964, und von vielen später combinatorialists beginnt. Das 1964-Papier von Rota war:

• N. Jacobson, Grundlegende Algebra. Ich, W. H. Freeman and Co., 1974. Sieh Abschnitt 8.6 für eine Behandlung von Funktionen von Mobius auf posets

Weiterführende Literatur