Das Langlands Programm ist ein Web von weit reichenden und einflussreichen Vermutungen, die Gruppen von Galois in der Theorie der algebraischen Zahl zu Automorphic-Formen und Darstellungstheorie von algebraischen Gruppen über lokale Felder und adeles verbinden. Es wurde dadurch vorgeschlagen.

Übersicht der Vermutungen von Langlands

Es gibt eine verwirrende Zahl von zusammenhängenden Vermutungen von Langlands. Es gibt viele verschiedene Gruppen über viele verschiedene Felder, für die sie festgesetzt werden können, und für jedes Feld es mehrere verschiedene Versionen der Vermutungen gibt. Einige Versionen der Vermutungen von Langlands sind etwas vage, oder hängen von Gegenständen wie die Gruppen von Langlands ab, deren Existenz im Allgemeinen, oder auf der L-Gruppe mutmaßlich ist, die mehrere inequivalent Definitionen hat. Außerdem haben sich die Vermutungen von Langlands entwickelt, seitdem Langlands sie zuerst festgesetzt hat.

Es gibt verschiedene Typen von Gruppen, für die die Vermutungen von Langlands festgesetzt werden können:

• Darstellungen von reduktiven Gruppen über lokale Felder (mit verschiedenen Subfällen entsprechend archimedean lokalen Feldern, p-adic lokale Felder und Vollziehungen von Funktionsfeldern)
• Automorphic formt sich auf reduktiven Gruppen über globale Felder (mit Subfällen entsprechend numerischen Feldern oder Funktionsfeldern).
• Begrenzte Felder. Langlands hat diesen Fall nicht ursprünglich in Betracht gezogen, aber seine Vermutungen haben Entsprechungen dafür.
• Allgemeinere Felder, wie Funktionsfelder über die komplexen Zahlen.

Es gibt mehrere verschiedene Weisen, Vermutungen von Langlands festzusetzen, die nah, aber nicht offensichtlich gleichwertiger verbunden sind

• Die Langlands Reziprozitätsvermutung. Grob sprechend gibt das eine Ähnlichkeit zwischen automorphic Darstellungen einer reduktiven Gruppe und bestimmten Homomorphismus von einer Gruppe von Langlands zu einer L-Gruppe. Es gibt zahlreiche Schwankungen davon teilweise, weil die Definitionen der Gruppe von Langlands und L-Gruppe nicht befestigt werden. Über lokale Felder sollte das einen parameterization von L-Paketen von zulässigen nicht zu vereinfachenden Darstellungen einer reduktiven Gruppe über das lokale Feld geben. Zum Beispiel über die reellen Zahlen ist das die Klassifikation von Langlands von Darstellungen von echten reduktiven Gruppen. Über globale Felder sollte es einen parametrization von Automorphic-Formen geben, (mindestens, wenn irgendjemand ausrechnen kann, was die Gruppe von Langlands ist).
• Die Vermutung von Langlands functoriality. Das stellt fest, dass ein passender Homomorphismus von L-Gruppen eine Ähnlichkeit zwischen Automorphic-Formen (im globalen Fall) oder Darstellungen (im lokalen Fall) geben sollte. Grob sprechend, ist die Reziprozitätsvermutung von Langlands der spezielle Fall der Functoriality-Vermutung, wenn eine der reduktiven Gruppen trivial ist.
• Die geometrischen Vermutungen von Langlands. Das ist ein ehrgeizigerer Versuch, eine Beziehung zwischen Kategorien von Darstellungen, aber nicht gerade den nicht zu vereinfachenden Darstellungen als in den ursprünglichen Vermutungen von Langlands zu geben.

Verbindung mit der Zahlentheorie

Der Startpunkt des Programms kann als das Reziprozitätsgesetz von Emil Artin gesehen werden, das quadratische Reziprozität verallgemeinert. Das Reziprozitätsgesetz von Artin gilt für eine Erweiterung von Galois von Feldern der algebraischen Zahl, deren Gruppe von Galois abelian ist, teilt L-Funktionen den eindimensionalen Darstellungen dieser Gruppe von Galois zu; und Staaten, dass diese L-Funktionen zur bestimmten Dirichlet L-Reihe oder allgemeineren Reihe (d. h. bestimmte Entsprechungen des Riemanns zeta Funktion) gebaut von Charakteren von Hecke identisch sind. Die genaue Ähnlichkeit zwischen diesen verschiedenen Arten von L-Funktionen setzt das Reziprozitätsgesetz von Artin ein.

Für non-abelian Gruppen von Galois und hoch-dimensionale Darstellungen von ihnen kann man noch L-Funktionen auf eine natürliche Weise definieren: Artin L-Funktionen.

Die Einstellung von automorphic Darstellungen

Die Scharfsinnigkeit von Langlands sollte die richtige Generalisation von Dirichlet L-Funktionen finden, die die Formulierung der Behauptung von Artin in dieser allgemeineren Einstellung erlauben würden.

Hecke hatte früher Dirichlet L-Funktionen mit Automorphic-Formen verbunden (holomorphic Funktionen auf der oberen Hälfte des Flugzeugs von C, die bestimmte funktionelle Gleichungen befriedigen). Langlands hat dann diese zu automorphic cuspidal Darstellungen verallgemeinert, die bestimmte unendliche dimensionale nicht zu vereinfachende Darstellungen der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (n) über den adele Ring von Q. sind (Dieser Ring geht gleichzeitig alle Vollziehungen von Q nach, sieh p-adic Zahlen.)

Langlands hat automorphic L-Funktionen diesen automorphic Darstellungen beigefügt und hat vermutet, dass jede Artin L-Funktion, die aus einer endlich-dimensionalen Darstellung der Gruppe von Galois eines numerischen Feldes entsteht, einem Entstehen aus einem automorphic cuspidal Darstellung gleich ist. Das ist als seine "Reziprozitätsvermutung" bekannt.

Ein allgemeiner Grundsatz von functoriality

Langlands hat dann Dinge weiter verallgemeinert: Anstatt die allgemeine geradlinige Gruppe GL (n) zu verwenden, können andere verbundene reduktive Gruppen verwendet werden. Außerdem, in Anbetracht solch einer Gruppe G, baut Langlands eine L-Gruppe G, und dann, für jeden automorphic cuspidal Darstellung von G und jede endlich-dimensionale Darstellung von G, er definiert eine L-Funktion. Eine seiner Vermutungen stellt fest, dass diese L-Funktionen eine bestimmte funktionelle Gleichung befriedigen, diejenigen anderer bekannter L-Funktionen verallgemeinernd.

Er setzt dann fort, einen Functoriality sehr allgemeinen "Grundsatz" zu formulieren. In Anbetracht zwei reduktiver Gruppen und (hat sich gut benommen), morphism zwischen ihren entsprechenden L-Gruppen verbindet diese Vermutung ihre automorphic Darstellungen in einem Weg, der mit ihren L-Funktionen vereinbar ist. Diese Functoriality-Vermutung bezieht alle anderen Vermutungen präsentiert bis jetzt ein. Es ist der Natur eines veranlassten Darstellungsaufbaus — was in der traditionelleren Theorie von Automorphic-Formen ein 'Heben' genannt worden war, das in speziellen Fällen bekannt ist, und so kovariant ist (wohingegen eine eingeschränkte Darstellung Kontravariante ist). Versuche, einen direkten Aufbau anzugeben, haben nur einige bedingte Ergebnisse erzeugt.

Alle diese Vermutungen können für allgemeinere Felder im Platz von Q formuliert werden: Felder der algebraischen Zahl (der ursprüngliche und wichtigste Fall), lokale Felder und Funktionsfelder (begrenzte Erweiterungen von F (t), wo p eine Blüte und F ist, ist (t) das Feld von vernünftigen Funktionen über das begrenzte Feld mit p Elementen).

Ideen, die bis zum Programm von Langlands führen

In einem sehr breiten Zusammenhang hat das Programm auf vorhandene Ideen gebaut: Die Philosophie von Spitze-Formen hat ein paar Jahre früher durch Harish-Chandra und die Arbeit und Annäherung von Harish-Chandra auf halbeinfachen Lüge-Gruppen, und in Fachbegriffen die Spur-Formel von Selberg und anderen formuliert.

Was am Anfang in der Arbeit von Langlands außer der technischen Tiefe sehr neu war, war der vorgeschlagene Direktanschluss zur Zahlentheorie, zusammen mit der reichen organisatorischen Struktur Hypothese aufgestellt (so genannter functoriality).

Zum Beispiel in der Arbeit von Harish-Chandra findet man den Grundsatz, die, was für einen halbeinfachen getan werden kann (oder reduktiv) Gruppe Liegen, sollte für alle getan werden. Deshalb, sobald die Rolle von einigen niedrig-dimensionalen Lüge-Gruppen wie GL (2) in der Theorie von Modulformen, und im Nachhinein GL (1) in der Klassenfeldtheorie erkannt worden war, war der Weg mindestens für die Spekulation über GL (n) für allgemeinen n> 2 offen.

Die Spitze-Form-Idee ist aus den Spitzen auf Modulkurven gekommen sondern auch hatte eine Bedeutung, die in der geisterhaften Theorie als 'getrenntes Spektrum' sichtbar ist, gegenübergestellt mit dem 'dauernden Spektrum' von der Reihe von Eisenstein. Es wird viel mehr technisch für größere Lüge-Gruppen, weil die parabolischen Untergruppen zahlreicher sind.

In allen diesen Annäherungen gab es keine Knappheit an technischen Methoden, die häufig in der Natur induktiv sind, und hat auf Zergliederungen von Levi unter anderen Sachen gestützt, aber das Feld war und ist sehr anspruchsvoll.

Und auf der Seite von Modulformen gab es Beispiele wie Hilbert Modulformen, Siegel Modulformen und Theta-Reihe.

Das geometrische Programm

Das so genannte geometrische Programm von Langlands, das von Gérard Laumon im Anschluss an Ideen von Vladimir Drinfel'd angedeutet ist, entsteht aus einer geometrischen neuen Darlegung des üblichen Programms von Langlands. In einfachen Fällen verbindet es l-adic Darstellungen der étale grundsätzlichen Gruppe einer algebraischen Kurve zu Gegenständen der abgeleiteten Kategorie von l-adic Bündeln auf dem Modul-Stapel von Vektor-Bündeln über die Kurve.

Fortschritt und sein Mangel

Die Langlands-Vermutungen für GL (1, K) folgen (und sind zu im Wesentlichen gleichwertig) Klassenfeldtheorie.

Langlands hat die Vermutungen von Langlands für Gruppen über die archimedean lokalen Felder R und C durch das Geben der Klassifikation von Langlands ihrer nicht zu vereinfachenden Darstellungen bewiesen.

Die Klassifikation von Lusztig der nicht zu vereinfachenden Darstellungen von Gruppen des Typs Lie über begrenzte Felder kann als eine Entsprechung der Vermutungen von Langlands für begrenzte Felder betrachtet werden.

Der Beweis von Andrew Wiles der Modularität von halbstabilen elliptischen Kurven über rationals kann als eine Übung in den Vermutungen von Langlands angesehen werden. Leider kann seine Methode nicht zu Feldern der beliebigen Zahl erweitert werden.

Die Langlands-Vermutung für GL (2, Q) bleibt noch unerwiesen.

Laurent Lafforgue hat den Lehrsatz von Lafforgue bewiesen, der die Vermutungen von Langlands für die allgemeine geradlinige Gruppe GL (n, K) für Funktionsfelder K nachprüft. Diese Arbeit hat frühere Untersuchungen durch Vladimir Drinfel'd fortgesetzt, der den Fall GL (2, K) bewiesen

bewiesen vermutet lokaler Langlands für die allgemeine geradlinige Gruppe GL (2, K) über lokale Felder.

bewiesen vermutet lokaler Langlands für die allgemeine geradlinige Gruppe GL (n, K) für positive charakteristische lokale Felder K. Ihr Beweis verwendet ein globales Argument.

bewiesen die lokalen Vermutungen von Langlands für die allgemeine geradlinige Gruppe GL (n K) für die Eigenschaft 0 lokale Felder hat K. einen anderen Beweis gegeben. Beide Beweise verwenden ein globales Argument.

Ngô Bo Châu hat eine schwierige, aber Hilfsbehauptung, das so genannte "Grundsätzliche Lemma", ursprünglich vermutet von Langlands bewiesen.

Siehe auch

• Lokaler Langlands vermutet

Links

• Die Arbeit von Robert Langlands