In der abstrakten Algebra ist eine teilweise befohlene Gruppe eine Gruppe (G, +) ausgestattet mit einer teilweisen Ordnung "", der Übersetzung-invariant ist; mit anderen Worten hat "" das Eigentum dass, für den ganzen a, b, und g in G, wenn ein  b dann a+g  b+g und g+a  g+b.

Ein Element x G wird positives Element wenn 0  x genannt. Der Satz von Elementen 0  x wird häufig mit G angezeigt, und wird es den positiven Kegel von G genannt. So haben wir einen  b wenn und nur wenn-a+b  G.

Durch die Definition können wir die teilweise Ordnung auf ein monadisches Eigentum reduzieren: ein  b wenn und nur wenn 0 -a+b.

Für die allgemeine Gruppe G gibt die Existenz eines positiven Kegels eine Ordnung auf G an. Eine Gruppe G ist eine teilweise befohlene Gruppe, wenn, und nur wenn dort eine Teilmenge H besteht (der G ist), solchen G dass:

• 0  H
• wenn ein  H und b  H dann a+b  H
• wenn ein  H dann-x+a+x  H für jeden x von G
• wenn ein  H und-a  H dann a=0

sagt, wird eine teilweise befohlene Gruppe G mit dem positiven Kegel G wenn n &middot unperforiert; g ∈ G für eine natürliche Zahl bezieht n g &isin ein; G. Unperforiert ist Mittel dort keine "Lücke" im positiven Kegel G.

Wenn die Ordnung auf der Gruppe eine geradlinige Ordnung ist, dann, wie man sagt, ist es eine geradlinig befohlene Gruppe.

Wenn die Ordnung auf der Gruppe eine Gitter-Ordnung ist, d. h. irgendwelche zwei Elemente einen gebundenen am wenigsten oberen haben, dann ist es eine Gitter-befohlene Gruppe.

Eine Riesz Gruppe ist eine unperforierte teilweise befohlene Gruppe mit einem Eigentum, das ein bisschen schwächer ist als, ein Gitter befohlene Gruppe zu sein. Nämlich befriedigt eine Gruppe von Riesz das Interpolationseigentum von Riesz: Wenn x, x, y, y Elemente von G und x &le sind; y, dann dort besteht z ∈ G solch dass x ≤ z ≤ y.

Wenn G und H zwei teilweise befohlene Gruppen sind, ist eine Karte von G bis H ein morphism teilweise befohlener Gruppen, wenn es sowohl ein Gruppenhomomorphismus als auch eine monotonische Funktion ist. Die teilweise befohlenen Gruppen, zusammen mit diesem Begriff von morphism, bilden eine Kategorie.

Teilweise befohlene Gruppen werden in der Definition von Schätzungen von Feldern verwendet.

Beispiele

• Ein bestellter Vektorraum ist eine teilweise befohlene Gruppe
• Ein Riesz Raum ist eine Gitter-befohlene Gruppe
• Ein typisches Beispiel einer teilweise befohlenen Gruppe ist Z, wo die Gruppenoperation componentwise Hinzufügung ist, und wir (a..., a)  (b..., b) wenn und nur wenn ein  b (in der üblichen Ordnung von ganzen Zahlen) für den ganzen i=1..., n schreiben.
• Mehr allgemein, wenn G eine teilweise befohlene Gruppe ist und X ein Satz ist, dann ist der Satz aller Funktionen von X bis G wieder eine teilweise befohlene Gruppe: Alle Operationen werden componentwise durchgeführt. Außerdem ist jede Untergruppe von G eine teilweise befohlene Gruppe: Es erbt die Ordnung von G.
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Siehe auch

• Teilweise bestellter Ring

Links