Strahl-Übertragungsmatrixanalyse (auch bekannt als ABCD Matrixanalyse) sind ein Typ der Strahlenaufzeichnungstechnik, die im Design von einigen optischen Systemen, besonders Laser verwendet ist. Es schließt den Aufbau einer Strahl-Übertragungsmatrix ein, die das optische System beschreibt; die Nachforschung eines leichten Pfads durch das System kann dann durch das Multiplizieren dieser Matrix mit einem Vektoren durchgeführt werden, der den leichten Strahl vertritt. Dieselbe Analyse wird auch in der Gaspedal-Physik verwendet, um Partikel-Trog die Magnet-Installationen eines Partikel-Gaspedals zu verfolgen, Balken-Optik zu sehen.

Die Technik, die unter dem Gebrauch die paraxial Annäherung der Strahl-Optik beschrieben wird, was bedeutet, dass, wie man annimmt, alle Strahlen in einem kleinen Winkel (θ) und einer kleinen Entfernung (x) hinsichtlich der optischen Achse des Systems sind.

Die Definition des Strahls überträgt Matrix

Die Strahlenaufzeichnungstechnik basiert auf zwei Bezugsflugzeugen, genannt den Eingang und die Produktionsflugzeuge, jede Senkrechte zur optischen Achse des Systems. Ohne Verlust der Allgemeinheit werden wir die optische Achse definieren, so dass es mit der Z-Achse eines festen Koordinatensystems zusammenfällt. Ein leichter Strahl geht ins System ein, wenn der Strahl das Eingangsflugzeug in einer Entfernung x von der optischen Achse durchquert, während er in einer Richtung reist, die einen Winkel θ mit der optischen Achse macht. Eine Entfernung weiter vorwärts, der Strahl durchquert das Produktionsflugzeug, dieses Mal in einer Entfernung x von der optischen Achse und dem Bilden eines Winkels θ. n und n sind die Indizes der Brechung des Mediums im Eingang und Produktionsflugzeug beziehungsweise.

Diese Mengen sind durch den Ausdruck verbunden

:wo:und:

Das verbindet die Strahl-Vektoren am Eingang und den Produktionsflugzeugen durch die Strahl-Übertragungsmatrix (RTM) M, die das optische System zwischen den zwei Bezugsflugzeugen vertritt. Ein auf der blackbody Radiation gestütztes Thermodynamik-Argument kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Determinante eines RTM das Verhältnis der Indizes der Brechung ist:

:

Infolgedessen, wenn der Eingang und die Produktionsflugzeuge innerhalb desselben Mediums, oder innerhalb von zwei verschiedenen Medien gelegen werden, die zufällig identische Indizes der Brechung haben, dann ist die Determinante der M einfach 1 gleich.

Eine ähnliche Technik kann verwendet werden, um elektrische Stromkreise zu analysieren. Sieh Netze Mit zwei Anschlüssen.

Einige Beispiele

• Zum Beispiel, wenn es freien Raum zwischen den zwei Flugzeugen gibt, wird durch die Strahl-Übertragungsmatrix gegeben:

:

wo d die Trennungsentfernung (gemessen entlang der optischen Achse) zwischen den zwei Bezugsflugzeugen ist. Die Strahl-Übertragungsgleichung wird so:

:

und das verbindet die Rahmen der zwei Strahlen als:

:

\theta_2 & = & \theta_1 \end {Matrix} </Mathematik>

• Ein anderes einfaches Beispiel ist das einer dünnen Linse. Durch seinen RTM wird gegeben:

:

wo f die im Brennpunkt stehende Länge der Linse ist. Um Kombinationen von optischen Bestandteilen zu beschreiben, kann Strahl-Übertragung matrices zusammen multipliziert werden, um einen gesamten RTM für das zusammengesetzte optische System zu erhalten. Für das Beispiel des freien Raums der Länge d gefolgt von einer Linse der im Brennpunkt stehenden Länge f:

:

\begin {pmatrix} 1 & d \\0 & 1 \end {pmatrix }\

\begin {pmatrix} 1 & d \\\frac {-1} {f} & 1-\frac {d} {f} \end {pmatrix} </Mathematik>.

Bemerken Sie, dass da die Multiplikation von matrices nichtauswechselbar ist, ist das nicht derselbe RTM wie das für eine vom freien Raum gefolgte Linse:

:\begin {pmatrix} 1 & d \\0 & 1 \end {pmatrix }\

\begin {pmatrix} 1 & 0 \\\frac {-1} {f} & 1\end {pmatrix }\

\begin {pmatrix} 1-\frac {d} {f} & d \\\frac {-1} {f} & 1 \end {pmatrix} </Mathematik>.

So muss der matrices passend mit der letzten Matrix bestellt werden, die das zweite letzte und so weiter vormultipliziert, bis die erste Matrix mit dem zweiten vormultipliziert wird. Anderer matrices kann gebaut werden, um Schnittstellen mit Medien von verschiedenen Refraktionsindizes, Nachdenken von Spiegeln usw. zu vertreten.

Der Tisch des Strahls überträgt matrices

für einfache optische Bestandteile

Resonator-Stabilität

RTM Analyse ist besonders nützlich, wenn sie das Verhalten des Lichtes in optischen Resonatoren, wie diejenigen modelliert, die in Lasern verwendet sind. An seinem einfachsten besteht ein optischer Resonator aus zwei identischen liegenden Spiegeln des 100-%-Reflexionsvermögens und Radius der Krümmung R, getrennt durch eine Entfernung d. Zu den Zwecken der Strahlenaufzeichnung ist das zu einer Reihe von identischen dünnen Linsen der im Brennpunkt stehenden Länge f=R/2, jeder gleichwertig, der vom folgenden durch die Länge d getrennt ist. Dieser Aufbau ist als eine Linse gleichwertiger Kanal oder Linse gleichwertiger Wellenleiter bekannt. Der RTM jeder Abteilung des Wellenleiters, ist als oben,

:.

RTM Analyse kann jetzt verwendet werden, um die Stabilität des Wellenleiters (und gleichwertig, der Resonator) zu bestimmen. D. h. es kann bestimmt werden, unter welchen Bedingungen Licht, das unten der Wellenleiter reist, regelmäßig wiedereingestellt und innerhalb des Wellenleiters bleiben wird. Um so zu tun, können wir alle Strahl-Vektoren finden, wo die Produktion jeder Abteilung des Wellenleiters dem mit einem echten oder komplizierten unveränderlichen λ multiplizierten Eingangsvektoren gleich ist:

:.

Das gibt:

:

der eine eigenvalue Gleichung ist:

:

wo ich 2x2 Identitätsmatrix bin.

Vereinfachung, wir haben

:

der zur charakteristischen Gleichung führt

:wo

:

ist die Spur des RTM und

der:

ist die Determinante des RTM. Vereinfachung, wir haben

:wo:

ist der Stabilitätsparameter. Die eigenvalues sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung. Von der quadratischen Formel finden wir

:

Nachdem N das System durchführt, haben wir:

:.

Wenn der Wellenleiter stabil ist, muss λ nicht ohne Grenze wachsen. Diese Beobachtung deutet an, dass λ rein echte Werte nicht übernehmen kann, aber einen imaginären Nichtnullteil haben muss. So,

:

Infolgedessen,

:

oder

:

Das Lösen der eigenvalue Gleichung gibt uns eine periodische Lösung der Form:

:oder:wo:

Die Technik kann für kompliziertere Resonatore durch das Konstruieren einer passenden MatrixM für die Höhle vom matrices der Teilgegenwart verallgemeinert werden.

Strahl-Übertragung matrices für Balken von Gaussian

Der Matrixformalismus ist auch nützlich, um Balken von Gaussian zu beschreiben. Wenn wir einen Balken von Gaussian der Wellenlänge, Radius der Krümmung R, Balken-Punkt-Größe w und Brechungsindex n haben, ist es möglich, einen komplizierten Balken-Parameter q zu definieren, durch:

:.

Dieser Balken kann durch ein optisches System mit einer gegebenen Strahl-Übertragungsmatrix durch das Verwenden der Gleichung fortgepflanzt werden:

:

wo k eine Normalisierung unveränderlich gewählt ist, um den zweiten Bestandteil des Strahl-Vektoren gleich 1 zu halten. Mit der Matrixmultiplikation breitet sich diese Gleichung als aus

:und:

Das Teilen der ersten Gleichung durch das zweite beseitigt die unveränderliche Normalisierung:

:

Es ist häufig günstig, diese letzte Gleichung in der gegenseitigen Form auszudrücken:

:

Siehe auch

• Mit der Übertragungmatrixmethode (Optik)
• Netz mit zwei Anschlüssen
• Geradlinige kanonische Transformation
• : Abschnitt 1.4, Seiten 26 - 36.

:

• : Kapitel 6.

Außenverbindungen

• Dicke Linsen (Matrixmethoden)
• ABCD Matrices Tutorenkurs Stellt ein Beispiel für eine Systemmatrix eines kompletten Systems Zur Verfügung.
• ABCD Rechenmaschine Eine interaktive Rechenmaschine, um zu helfen, ABCD matrices zu lösen.