In der Graph-Theorie ist ein Zweig der Mathematik, des Chinesischen Briefträger-Problems (CPP), der Briefträger-Tour oder des Weg-Schauproblems, einen kürzesten geschlossenen Pfad oder Stromkreis zu finden, der jeden Rand eines (verbundenen) ungeleiteten Graphen besucht. Wenn der Graph einen Stromkreis von Eulerian hat (ein geschlossener Spaziergang, der jeden Rand einmal bedeckt), ist dieser Stromkreis eine optimale Lösung.

Alan Goldman vom amerikanischen Nationalen Büro von Standards hat zuerst den Namen 'chinesisches Briefträger-Problem' für dieses Problem ins Leben gerufen, weil es vom chinesischen Mathematiker Mei-Ku Kuan 1962 ursprünglich studiert wurde.

Pfade von Eulerian und Stromkreise

In der Größenordnung von einem Graphen, um einen Stromkreis von Eulerian zu haben, wird es sicher verbunden werden müssen.

Nehmen Sie an, dass wir einen verbundenen Graphen G = haben (V, E), sind Die folgenden Behauptungen gleichwertig:

1. Alle Scheitelpunkte in G haben sogar Grad.
2. G besteht aus den Rändern von einer zusammenhanglosen Vereinigung von einigen Zyklen und den Scheitelpunkten von diesen Zyklen.
3. G hat einen Stromkreis von Eulerian.

• 1  2 kann durch die Induktion auf der Zahl von Zyklen gezeigt werden.
• 2  3 können auch durch die Induktion auf der Zahl von Zyklen und den gezeigt werden
• 3  1 sollten unmittelbar sein.

Ein Eulerian Pfad (besteht ein Spaziergang, der nicht geschlossen wird, aber alle Ränder von G gerade einmal verwendet), wenn, und nur wenn G verbunden wird und genau zwei Scheitelpunkte sonderbare Wertigkeit haben.

T-joins

Lassen Sie T eine Teilmenge des Scheitelpunkt-Satzes eines Graphen sein. Ein Rand ist untergegangen, wessen Scheitelpunkte des sonderbaren Grads die Scheitelpunkte in T sind, wird einen T-join genannt. (In einem verbundenen Graphen besteht ein T-join, wenn, und nur wenn |T gleich ist.) Das T-join Problem ist, einen kleinsten T-join zu finden. Ein kleinster T-join führt zu einer Lösung des Briefträger-Problems. Ein kleinster T-join besteht notwendigerweise aus T Pfaden, einen Rand gemeinsam kein zwei zu haben, die sich den Scheitelpunkten von T in Paaren anschließen. Die Pfade werden solch sein, dass die Gesamtlänge von ihnen allen so klein wie möglich ist. Ein minimaler T-join kann durch einen belasteten zusammenpassenden Algorithmus erhalten werden, der O (n) rechenbetonte Schritte verwendet.

Lösung

Wenn ein Graph einen Stromkreis von Eulerian hat (oder ein Pfad von Eulerian), dann besucht ein Stromkreis von Eulerian (oder Pfad) jeden Rand, und so ist die Lösung, jeden Stromkreis von Eulerian (oder Pfad) zu wählen.

Wenn der Graph nicht Eulerian ist, muss er Scheitelpunkte des sonderbaren Grads enthalten. Durch das handshaking Lemma muss es eine gerade Zahl dieser Scheitelpunkte geben. Um das Briefträger-Problem zu beheben, finden wir zuerst einen kleinsten T-join. Wir machen den Graphen Eulerian, indem wir uns vom T-join verdoppeln. Die Lösung des Briefträger-Problems im ursprünglichen Graphen wird durch die Entdeckung eines Stromkreises von Eulerian für den neuen Graphen erhalten.

Varianten

Einige Varianten des chinesischen Briefträger-Problems sind studiert und gezeigt worden, NP-complete zu sein.

• Chinesisches Minute-Briefträger-Problem für Mischgraphen: Für dieses Problem können einige der Ränder geleitet werden und können deshalb nur von einer Richtung besucht werden. Wenn das Problem minimales Traversal eines Digraphs ist, ist es als das "Straßenkehrer-Problem der New York Street bekannt."
• K-chinesisches Minute-Briefträger-Problem: Finden Sie k Zyklen das ganze Starten an einer benannten solcher Position, dass jeder Rand durch mindestens einen Zyklus überquert wird. Die Absicht ist, die Kosten des teuersten Zyklus zu minimieren.
• Ländliches Briefträger-Problem: Gegeben ist auch eine Teilmenge der Ränder. Finden Sie den preiswertesten Zyklus von Hamiltonian, der jeden dieser Ränder (und vielleicht andere) enthält. Das ist ein spezieller Fall des minimalen allgemeinen Routenplanungsproblems, das genau angibt, welche Scheitelpunkte der Zyklus enthalten muss.

Siehe auch

• Handlungsreisender-Problem

Links

• Chinesisches Briefträger-Problem