In der Mechanik und Geometrie ist die 3D-Folge-Gruppe die Gruppe aller Folgen über den Ursprung des dreidimensionalen Euklidischen Raums R unter der Operation der Zusammensetzung. Definitionsgemäß ist eine Folge über den Ursprung eine geradlinige Transformation, die Länge von Vektoren bewahrt (es ist eine Isometrie), und bewahrt Orientierung (d. h. Händigkeit) des Raums. Eine Länge bewahrende Transformation, die Orientierung umkehrt, ist eine unpassende Folge, die ein Nachdenken oder mehr allgemein ein rotoinversion ist.

Das Bestehen von zwei Folgen läuft auf eine andere Folge hinaus; jede Folge hat eine einzigartige umgekehrte Folge; und die Identitätskarte befriedigt die Definition einer Folge. Infolge der obengenannten Eigenschaften (zusammen mit dem assoziativen Eigentum, dem Folgen folgen,) ist der Satz aller Folgen eine Gruppe unter der Zusammensetzung. Außerdem hat die Folge-Gruppe eine natürliche mannigfaltige Struktur, für die die Gruppenoperationen glatt sind; so ist es tatsächlich eine Lüge-Gruppe. Die Folge-Gruppe wird häufig SO (3) aus Gründen angezeigt, die unten erklärt sind.

Länge und Winkel

Außer gerade der Bewahrung der Länge bewahren Folgen auch die Winkel zwischen Vektoren. Das folgt aus der Tatsache, dass das Standardpunktprodukt zwischen zwei Vektoren u und v rein in Bezug auf die Länge geschrieben werden kann:

Hieraus folgt dass jede Länge bewahrende Transformation in R das Punktprodukt, und so den Winkel zwischen Vektoren bewahrt. Folgen werden häufig als geradlinige Transformationen definiert, die das Skalarprodukt auf R bewahren. Das ist zum Verlangen von sie gleichwertig, Länge zu bewahren.

Orthogonal und Folge matrices

Jede Folge stellt eine orthonormale Basis von R zu einer anderen orthonormalen Basis kartografisch dar. Wie jede geradlinige Transformation von endlich-dimensionalen Vektorräumen kann eine Folge immer durch eine Matrix vertreten werden. Lassen Sie R eine gegebene Folge sein. In Bezug auf die Standardbasis von R wird durch die Säulen von R gegeben. Da die Standardbasis orthonormal ist, bilden die Säulen von R eine andere orthonormale Basis. Diese orthonormality Bedingung kann in der Form ausgedrückt werden

wo R das Umstellen von R anzeigt und ich die 3 &times bin; 3 Identitätsmatrix. Matrices, für die dieses Eigentum hält, werden orthogonalen matrices genannt. Die Gruppe aller 3 × 3 orthogonale matrices werden O (3) angezeigt, und bestehen aus allen richtigen und unpassenden Folgen.

Zusätzlich zur Bewahrung der Länge müssen richtige Folgen auch Orientierung bewahren. Eine Matrix wird bewahren oder Orientierung gemäß umkehren, ob die Determinante der Matrix positiv oder negativ ist. Für eine orthogonale Matrix R, bemerken Sie, dass det R = det R (det R) = 1 so dass det R = ±1 einbezieht. Die Untergruppe von orthogonalem matrices mit der Determinante +1 wird die spezielle orthogonale Gruppe, angezeigt SO (3) genannt.

So kann jede Folge einzigartig durch eine orthogonale Matrix mit der Einheitsdeterminante vertreten werden. Außerdem, da die Zusammensetzung von Folgen Matrixmultiplikation entspricht, ist die Folge-Gruppe zur speziellen orthogonalen Gruppe SO (3) isomorph.

Unpassende Folgen entsprechen orthogonalem matrices mit der Determinante −1, und sie bilden keine Gruppe, weil das Produkt von zwei unpassenden Folgen eine richtige Folge ist.

Gruppenstruktur

Die Folge-Gruppe ist eine Gruppe unter der Funktionszusammensetzung (oder gleichwertig das Produkt von geradlinigen Transformationen). Es ist eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe, die aus allen invertible geradlinigen Transformationen des Euklidischen Raums besteht.

Außerdem ist die Folge-Gruppe nonabelian. D. h. die Ordnung, in der Folgen zusammengesetzt werden, macht einen Unterschied. Zum Beispiel ist eine viertel Drehung um die positive X-Achse, die von einer viertel Drehung um die positive Y-Achse gefolgt ist, eine verschiedene Folge als diejenige, die durch das erste Drehen um y und dann x erhalten ist.

Die orthogonale Gruppe, aus allen richtigen und unpassenden Folgen bestehend, wird durch das Nachdenken erzeugt. Jede richtige Folge ist die Zusammensetzung von zwei Nachdenken, ein spezieller Fall des Lehrsatzes von Cartan-Dieudonné.

Achse der Folge

Jede nichttriviale richtige Folge in 3 Dimensionen befestigt einen einzigartigen 1-dimensionalen geradlinigen Subraum von R, der die Achse der Folge genannt wird (das ist der Folge-Lehrsatz von Euler). Jede solche Folge handelt als eine gewöhnliche 2-dimensionale Folge im zu dieser Achse orthogonalen Flugzeug. Da jede 2-dimensionale Folge durch einen Winkel φ vertreten werden kann, kann eine willkürliche 3-dimensionale Folge durch eine Achse der Folge zusammen mit einem Winkel der Folge über diese Achse angegeben werden. (Technisch muss man eine Orientierung für die Achse angeben, und ob die Folge genommen wird, um im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn in Bezug auf diese Orientierung zu sein).

Zum Beispiel gegen den Uhrzeigersinn wird die Folge über die positive Z-Achse durch den Winkel φ durch gegeben

In Anbetracht eines Einheitsvektors n in R und einem Winkel φ, lassen Sie R (φ,  n) vertreten gegen den Uhrzeigersinn Folge über die Achse durch n (mit der Orientierung, die durch n bestimmt ist). Dann

• R (0, n) ist die Identitätstransformation für jeden n
• R (φ,  n) = R (−,−n)
• R (π  + φ,  n) = R (−,−n).

Das Verwenden dieser Eigenschaften man kann zeigen, dass jede Folge durch einen einzigartigen Winkel φ in der Reihe 0  φ  π und ein Einheitsvektor n solch dass vertreten werden kann

• n ist wenn φ = 0 willkürlich
• n ist wenn 0 des Radius π (d. h. alle Punkte von R der Entfernung π oder weniger vom Ursprung) einzigartig. Gegeben das obengenannte für jeden Punkt in diesem Ball gibt es eine Folge, mit der Achse durch den Punkt und den Ursprung und Drehwinkel, der der Entfernung des Punkts vom Ursprung gleich ist. Die Identitätsfolge entspricht dem Punkt am Zentrum des Balls. Die Folge durch Winkel zwischen 0 und  π entspricht dem Punkt auf derselben Achse und Entfernung vom Ursprung, aber auf der Gegenseite des Ursprungs. Ein restliches Problem ist, dass die zwei Folgen durch π und durch-π dasselbe sind. So identifizieren wir uns (oder "zusammen" kleben) antipodische Punkte auf der Oberfläche des Balls. Nach dieser Identifizierung erreichen wir einen topologischen Raum homeomorphic zur Folge-Gruppe.

Tatsächlich ist der Ball mit antipodischen identifizierten Oberflächenpunkten eine glatte Sammelleitung, und diese Sammelleitung ist diffeomorphic zur Folge-Gruppe. Es ist auch diffeomorphic zum echten 3-dimensionalen projektiven Raum-RP, so können die Letzteren auch als ein topologisches Modell für die Folge-Gruppe dienen.

Diese Identifizierungen illustrieren, dass SO (3) verbunden, aber nicht einfach verbunden wird. Betreffs der Letzteren, im Ball mit antipodischen Oberflächenpunkten hat sich identifiziert, denken Sie den Pfad, der vom "Nordpol" gerade durch das Interieur unten zum Südpol läuft. Das ist ein geschlossener Regelkreis, da der Nordpol und der Südpol identifiziert werden. Diese Schleife kann zu einem Punkt seitdem nicht zusammenschrumpfen gelassen werden, egal wie Sie die Schleife deformieren, müssen der Anfang und Endpunkt antipodisch bleiben, oder die Schleife "aufbrechen" wird. In Bezug auf Folgen vertritt diese Schleife eine dauernde Folge von Folgen über das Z-Achse-Starten und Ende bei der Identitätsfolge (d. h. eine Reihe der Folge durch einen Winkel φ, wohin φ von 0 bis 2π läuft).

Überraschend, wenn Sie den Pfad zweimal, d. h., geführt vom Nordpol unten zum Südpol durchbohren, zurück in den Nordpol springen (die Tatsache verwendend, dass Nord- und Südpole identifiziert werden), und laufen Sie andererseits vom Nordpol unten zum Südpol, so dass φ von 0 bis 4π läuft, bekommen Sie einen geschlossenen Regelkreis, der zu einem einzelnen Punkt zusammenschrumpfen gelassen werden kann: Bewegen Sie zuerst die Pfade unaufhörlich zur Oberfläche des Balls, noch den Nordpol mit dem Südpol zweimal verbindend. Die zweite Hälfte des Pfads kann dann zur antipodischen Seite widergespiegelt werden, ohne den Pfad überhaupt zu ändern. Jetzt haben wir einen gewöhnlichen geschlossenen Regelkreis auf der Oberfläche des Balls, den Nordpol mit sich entlang einem großen Kreis verbindend. Dieser Kreis kann in den Nordpol ohne Probleme zusammenschrumpfen gelassen werden.

Dasselbe Argument kann im Allgemeinen durchgeführt werden, und es zeigt, dass die grundsätzliche Gruppe SO (3) zyklische Gruppe des Auftrags 2 ist. In Physik-Anwendungen berücksichtigt die Nichtbedeutungslosigkeit der grundsätzlichen Gruppe die Existenz von Gegenständen bekannt als spinors, und ist ein wichtiges Werkzeug in der Entwicklung des Drehungsstatistik-Lehrsatzes.

Der universale Deckel SO (3) ist eine Lüge-Gruppe genannt die Drehung (3). Die Gruppendrehung (3) ist zur speziellen einheitlichen Gruppe SU (2) isomorph; es ist auch diffeomorphic zur Einheit 3-Bereiche-S und kann als die Gruppe der Einheit quaternions (d. h. diejenigen mit dem absoluten Wert 1) verstanden werden. Die Verbindung zwischen quaternions und Folgen, die allgemein in der Computergrafik ausgenutzt sind, wird in quaternions und Raumfolgen erklärt. Die Karte von S auf SO (3), der antipodische Punkte von S identifiziert, ist ein surjective Homomorphismus von Lüge-Gruppen, mit dem Kern {±1}. Topologisch ist diese Karte eine zwei zu eine bedeckende Karte.

Lügen Sie Algebra

Seitdem SO (3) ist eine Lüge-Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (3), seine Lüge-Algebra kann mit einer Lüge-Subalgebra von gl (3), der Algebra 3×3 matrices mit dem durch gegebenen Umschalter identifiziert werden

Die Bedingung, dass eine Matrix A SO (3) gehört, ist das

:(*)

Wenn (t) eine Ein-Parameter-Untergruppe SO (3) parametrisiert durch t ist, dann gibt das Unterscheiden (*) in Bezug auf t

und so die Lüge-Algebra so (3) aus allen besteht, verdrehen - symmetrisch 3×3 matrices.

Darstellungen von Folgen

Wir haben gesehen, dass es eine Vielfalt von Weisen gibt, Folgen zu vertreten:

• als orthogonaler matrices mit der Determinante 1,
• durch die Achse und den Drehwinkel
• in der quaternion Algebra mit versors und der Karte S  SO (3) (sieh quaternions und Raumfolgen).

Eine andere Methode ist, eine willkürliche Folge durch eine Folge von Folgen über einige feste Äxte anzugeben. Sieh:

• Euler biegt um

Sieh Karten auf SO (3) für die weitere Diskussion.

Generalisationen

Die Folge-Gruppe verallgemeinert ganz natürlich zum n-dimensional Euklidischen Raum, R. Die Gruppe aller richtigen und unpassenden Folgen in n Dimensionen wird die orthogonale Gruppe, O (n) genannt, und die Untergruppe von richtigen Folgen wird die spezielle orthogonale Gruppe, SO (n) genannt.

In der speziellen Relativität arbeitet man in einem 4-dimensionalen Vektorraum, der als Raum von Minkowski aber nicht 3-dimensionaler Euklidischer Raum bekannt ist. Verschieden vom Euklidischen Raum hat Raum von Minkowski ein Skalarprodukt mit einer unbestimmten Unterschrift. Jedoch kann man noch verallgemeinerte Folgen definieren, die dieses Skalarprodukt bewahren. Solche verallgemeinerten Folgen sind als Transformationen von Lorentz bekannt, und die Gruppe aller dieser Transformationen wird die Gruppe von Lorentz genannt.

Die Folge-Gruppe SO (3) kann als eine Untergruppe von E (3), die Euklidische Gruppe von direkten Isometrien von R beschrieben werden. Diese größere Gruppe ist die Gruppe aller Bewegungen eines starren Körpers: Jeder von diesen ist eine Kombination einer Folge über eine willkürliche Achse und eine Übersetzung entlang der Achse, oder gestellt verschieden, eine Kombination eines Elements SO (3) und eine willkürliche Übersetzung.

Im Allgemeinen ist die Folge-Gruppe eines Gegenstands die Symmetrie-Gruppe innerhalb der Gruppe von direkten Isometrien; mit anderen Worten, die Kreuzung der vollen Symmetrie-Gruppe und der Gruppe von direkten Isometrien. Weil chiral einwendet, dass es dasselbe als die volle Symmetrie-Gruppe ist.

Siehe auch

• Orthogonale Gruppe
• Winkeliger Schwung
• Koordinatenfolgen
• Karten auf SO (3)
• Euler biegt um
• Die Folge-Formel von Rodrigues
• Unendlich kleine Folge
• Nadel-Gruppe
• Quaternions und Raumfolgen
• Starrer Körper
• Kugelförmige Obertöne
• Flugzeug der Folge

Zeichen

• Elemente von A. W. Joshi der Gruppentheorie für Physiker (New Age 2007-International) Seiten 111ff.
• Mathematische Methoden in den Physischen Wissenschaften durch Seiten von Mary L Boas 120,127,129,155ff und 535