Die Vermutung von Alphabet' (auch bekannt als Oesterlé-Masser-Vermutung) sind eine Vermutung in der Zahlentheorie, die zuerst von Joseph Oesterlé und David Masser 1985 vorgeschlagen ist. Die Vermutung wird in Bezug auf drei positive ganze Zahlen, a festgesetzt, b und c (kommt woher der Name), die keinen gemeinsamen Faktor haben und + b = c befriedigen. Wenn d das Produkt der verschiedenen Hauptfaktoren des Alphabets anzeigt, stellt die Vermutung im Wesentlichen fest, dass d selten viel kleiner ist als c.

Obwohl es keine offensichtliche Strategie gibt, für das Problem aufzulösen, ist es bereits weithin bekannt für die Zahl von interessanten Folgen geworden, die es zur Folge hat. Viele berühmte Vermutungen und Lehrsätze in der Zahlentheorie würden sofort von der Vermutung von Alphabet folgen. beschrieben die Vermutung von Alphabet als "das wichtigste ungelöste Problem in der Analyse von Diophantine".

Formulierungen

Für eine positive ganze Zahl n ist der Radikale von n, angezeigter rad (n), das Produkt der verschiedenen Hauptfaktoren von n. Zum Beispiel

• rad (16) = rad (2) = 2,
• rad (17) = 17,
• rad (18) = rad (2 · 3) = 2 · 3 = 6.

Wenn a, b, und c coprime positive solche ganze Zahlen sind, dass + b = c es sich das erweist

"gewöhnlich" c

:

Eine gleichwertige Formulierung stellt fest, dass für jeden ε> 0, dort ein unveränderlicher solcher K besteht, dass, für alle von coprime positiven ganzen Zahlen (a, b, c) Zufriedenheit + b = c, die Ungleichheit verdreifacht

:

hält.

Eine dritte Formulierung der Vermutung schließt die Qualität ein

q (a, b, c) des

dreifach (a, b, c), definiert durch:

:

Zum Beispiel

• q (4, 127, 131) = Klotz (131) / Klotz (rad (4 · 127 · 131)) = Klotz (131) / Klotz (2 · 127 · 131) = 0.46820...
• q (3, 125, 128) = Klotz (128) / Klotz (rad (3 · 125 · 128)) = Klotz (128) / Klotz (30) = 1.426565...

Ein typischer dreifacher (a, b, c) coprime positiver ganzer Zahlen mit + b = c wird c haben

Die Vermutung von Alphabet stellt fest, dass, für jeden ε> 0, dort nur begrenzt bestehen, verdreifachen sich viele (a, b, c) von coprime positiven ganzen Zahlen mit + b = c solch dass q (a, b, c)> 1 + ε.

Wohingegen es bekannt ist, dass es ungeheuer gibt, verdreifachen sich viele (a, b, c) von coprime positiven ganzen Zahlen mit + b = c solch, dass q (a, b, c)> 1, die Vermutung voraussagt, dass nur begrenzt viele von denjenigen q> 1.01 oder q> 1.001 oder sogar q> 1.0001, usw. haben.

Beispiele dessen verdreifachen sich mit dem kleinen Radikalen

Die Bedingung das ε > 0 ist für die Wahrheit der Vermutung notwendig, weil dort ungeheuer bestehen, verdreifachen viele a, b, c mit rad (Alphabet) < c. Zum Beispiel kann solch ein dreifaches als genommen werden

:a = 1

:b = 2  1

:c = 2.

Da a und c zusammen nur einen Faktor zwei dem Radikalen beitragen, während b durch 9, rad (Alphabet) &lt teilbar ist; 2c/3 für diese Beispiele. Durch das Ersetzen der Hochzahl 6n durch andere Hochzahlen, die b zwingen, um größere Quadratfaktoren zu haben, kann das Verhältnis zwischen dem Radikalen und c willkürlich groß gemacht werden. Ein anderer verdreifacht sich mit einem besonders kleinen Radikalen wurde von Eric Reyssat gefunden:

:a = 2:

:b = 3 109 = 6436341

:c = 23 = 6436343

:rad (Alphabet) = 15042.

Einige Folgen

Die Vermutung ist nicht bewiesen worden, aber sie hat eine Vielzahl von interessanten Folgen. Diese schließen sowohl bekannte Ergebnisse als auch Vermutungen ein, für die es einen bedingten Beweis gibt.

• Thue-Siegel-Roth-Lehrsatz auf der diophantine Annäherung von algebraischen Zahlen
• Der letzte Lehrsatz von Fermat für alle genug großen Hochzahlen (bewiesen im Allgemeinen von Andrew Wiles)
• Die Mordell vermuten
• Die Erdős-Wälder mutmaßen abgesehen von einer begrenzten Zahl von Gegenbeispielen
• Die Existenz von ungeheuer vieler non-Wieferich Blüte
• Die schwache Form der Saal-Vermutung von Marschall auf der Trennung zwischen Quadraten und Würfeln von ganzen Zahlen
• Die Fermat-katalanische Vermutung, eine Generalisation des letzten Lehrsatzes von Fermat bezüglich Mächte, die Summen von Mächten sind
• Die L fungieren L (s, (d/.)) gebildet mit dem Symbol von Legendre, hat keine Null von Siegel (diese Folge verlangt wirklich eine gleichförmige Version der Vermutung von Alphabet in numerischen Feldern, nicht nur der Vermutung von Alphabet, wie formuliert, oben für vernünftige ganze Zahlen)
• P (x) hat nur begrenzt viele vollkommene Mächte für integrierten x für P ein Polynom mit mindestens drei einfachen Nullen.
• Eine Generalisation des Lehrsatzes von Tijdeman
• Es ist zum Vermutung von Granville-Langevin gleichwertig
• Es ist zur modifizierten Vermutung von Szpiro gleichwertig.

• hat gezeigt, dass die Vermutung von Alphabet das n einbezieht! + = hat k nur begrenzt viele Lösungen für jede gegebene ganze Zahl A.

Während die erste Gruppe von diesen jetzt bewiesen worden ist, bleibt die Vermutung von Alphabet selbst von Interesse wegen seiner zahlreichen Verbindungen mit tiefen Fragen in der Zahlentheorie.

Theoretische Ergebnisse

Es bleibt unbekannt, ob c ober begrenzt durch eine nah-geradlinige Funktion des Radikalen des Alphabets sein kann, wie die Vermutung von Alphabet, oder sogar feststellt, ob es durch ein Polynom von rad (Alphabet) begrenzt werden kann. Jedoch sind Exponentialgrenzen bekannt. Spezifisch sind die folgenden Grenzen bewiesen worden:

:::

In diesen Grenzen ist K eine Konstante, die von a, b, oder c nicht abhängt, und K und K Konstanten sind, die von ε (auf eine effektiv berechenbare Weise), aber nicht auf a, b, oder c abhängen. Die Grenzen gelten für irgendwelchen verdreifachen sich für der c> 2.

Rechenbetonte Ergebnisse

2006 ist die Mathematik-Abteilung der Leiden Universität in den Niederlanden, zusammen mit dem holländischen Kennislink Wissenschaftsinstitut, ABC@Home Projekt, ein Bratrost losgefahren Rechensystem, das zum Ziel hat, zusätzlich zu entdecken, verdreifacht a, b, c mit rad (Alphabet) < c. Obwohl kein begrenzter Satz von Beispielen oder Gegenbeispielen die Vermutung von Alphabet auflösen kann, wird es gehofft, dass Muster im durch dieses Projekt entdeckten Verdreifachen zu Einblicken über die Vermutung und über die Zahlentheorie mehr allgemein führen werden.

, ABC@Home hat 20.9 Millionen gefunden verdreifacht sich, und seine gegenwärtige Absicht ist vorzuherrschen eine ganze Liste des ganzen Abc verdreifacht sich (a, b, c) mit c nicht mehr als 10.

wo die Qualität q (a, b, c) des dreifachen (a, b, c), definiert durch:

:

Raffinierte Formen und Generalisationen

Eine stärkere Ungleichheit vorgeschlagen 1996 von Alan Baker stellt fest, dass in der Ungleichheit man rad (Alphabet) durch ersetzen kann

:εrad (Alphabet),

wo ω die Gesamtzahl der verschiedenen Blüte ist, die sich a, b und c teilt. Eine zusammenhängende Vermutung von Andrew Granville stellt fest, dass auf dem RHS wir auch stellen konnten

:O (rad (Alphabet) Θ (rad (Alphabet)))

wo Θ (n) die Zahl von ganzen Zahlen bis zum n teilbar nur durch die Blüte ist, die sich n teilt.

formuliert die N-Vermutung — eine Version der Vermutung von Alphabet, die ganze Zahlen einschließt.

Siehe auch

• Lehrsatz des Maurers-Stothers, eine analoge Behauptung für Polynome.

Referenzen

Links

• ABC@home Verteiltes Rechenprojekt genannt ABC@Home.
• Leicht als Abc: Leicht, ausführlich berichtete Erklärung durch Brian Hayes zu folgen.
• Das Abc von Abderrahmane Nitaj vermutet Hausseite
• Das Abc von Bart de Smit Verdreifacht webpage

http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf

• Das erstaunliche Abc vermutet
• Das Abc der Zahlentheorie durch Noam D. Elkies