In der abstrakten Algebra ist ein zerreißendes Feld eines Polynoms mit Koeffizienten in einem Feld eine kleinste Felderweiterung dieses Feldes, über das sich das Polynom aufspaltet oder sich in geradlinige Faktoren zersetzt.

Definition

Ein zerreißendes Feld eines Polynoms p (X) über Feld K ist eine Felderweiterung L von K über der p Faktoren in geradlinige Faktoren

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und solch dass die Koeffizienten ein Erzeugen L über K. Die Erweiterung L ist dann eine Erweiterung des minimalen Grads über K, in dem sich p aufspaltet. Es kann gezeigt werden, dass solche zerreißenden Felder bestehen und bis zum Isomorphismus einzigartig sind. Wie man bekannt, ist der Betrag der Freiheit in diesem Isomorphismus die Gruppe von Galois von p (wenn wir annehmen, dass es trennbar ist).

Tatsachen

Eine Erweiterung L, der ein zerreißendes Feld für vielfache Polynome p (X) über K ist, wird eine normale Erweiterung genannt.

In Anbetracht eines algebraisch geschlossenen Feldes A, K enthaltend, gibt es ein einzigartiges zerreißendes Feld L von p zwischen K und A, der durch die Wurzeln von p erzeugt ist. Wenn K ein Teilfeld der komplexen Zahlen ist, ist die Existenz automatisch. Andererseits wird die Existenz von algebraischen Verschlüssen gewöhnlich im Allgemeinen 'den Übergang der Grenze' vom zerreißenden Feldergebnis bewiesen; der, wie man deshalb beweist, direkt das kreisförmige Denken vermeidet.

In Anbetracht einer trennbaren Erweiterung K′ K, ein Verschluss von Galois L K′ ist ein Typ, Feld und auch eine Erweiterung von Galois von K zu spalten, der K&prime enthält; das ist in einem offensichtlichen Sinn minimal. Solch ein Galois Verschluss sollte ein zerreißendes Feld für alle Polynome p über K enthalten, die minimale Polynome über K von Elementen K′. sind

Das Konstruieren zerreißender Felder

Motivation

Entdeckung von Wurzeln von Polynomen ist ein wichtiges Problem seit der Zeit der alten Griechen gewesen. Einige Polynome haben jedoch keine Wurzeln solcher als, die reellen Zahlen. Indem man das zerreißende Feld für solch ein Polynom baut, kann man die Wurzeln des Polynoms im neuen Feld finden.

Der Aufbau

Lassen Sie F ein Feld und p (X) sein, ein Polynom im polynomischen Ring F [X] des Grads n sein. Der allgemeine Prozess, um K, das zerreißende Feld von p (X) über F zu bauen, soll eine Folge von solchen Feldern bauen, der eine Erweiterung ist, eine neue Wurzel von p (X) zu enthalten. Seitdem p (X) hat an den meisten N-Wurzeln, die der Aufbau bei den meisten n Erweiterungen verlangen wird. Die Schritte für das Konstruieren werden wie folgt gegeben:

• Faktorisieren Sie p (X) in nicht zu vereinfachende Faktoren.
• Wählen Sie jeden nichtlinearen nicht zu vereinfachenden Faktor.
• Bauen Sie die Felderweiterung als der Quotient-Ring, wo (f (X)) das Ideal im erzeugten durch f (X) anzeigt
• Wiederholen Sie den Prozess für bis p (X) völlig Faktoren.

Der nicht zu vereinfachende im Quotient-Aufbau verwendete Faktor kann willkürlich gewählt werden. Obwohl verschiedene Wahlen von Faktoren zu verschiedenen Teilfeld-Folgen führen können, werden die resultierenden zerreißenden Felder isomorph sein.

Seitdem f (X) ist nicht zu vereinfachend, (f (X)) ist ein maximales Ideal und ist folglich, tatsächlich, ein Feld. Außerdem, wenn wir lassen, der natürliche Vorsprung des Rings auf seinen Quotienten dann zu sein

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so ist eine Wurzel von f (X) und von p (X).

Der Grad einer einzelnen Erweiterung ist dem Grad des nicht zu vereinfachenden Faktors f (X) gleich. Der Grad der Erweiterung [K: Durch F] wird gegeben und ist am grössten Teil von n!.

Feld K [x] / ((x) ƒ)

Wie oben erwähnt ist der Quotient-Ring ein Feld, wenn f (X) nicht zu vereinfachend ist. Seine Elemente sind der Form wo in zu sein, und. (Wenn man als ein Vektorraum dann die Mächte für die Form eine Basis betrachtet.)

Die Elemente dessen können als Polynome in vom Grad weniger betrachtet werden als n. Hinzufügung darin wird durch die Regeln für die polynomische Hinzufügung gegeben, und Multiplikation wird durch die polynomische Multiplikation modulo f (X) gegeben. D. h. für und im Produkt, wo r (X) der Rest von g (X) h (X) geteilt durch f (X) darin ist.

Der Rest r (X) kann durch die lange Abteilung von Polynomen geschätzt werden, jedoch gibt es auch eine aufrichtige Verminderungsregel, die verwendet werden kann, um direkt zu rechnen. Lassen Sie zuerst. (Das Polynom ist über ein Feld, so kann man f (X) nehmen, um monic ohne Verlust der Allgemeinheit zu sein.) Jetzt ist α eine Wurzel von f (X), so. Wenn das Produkt einen Begriff damit hat, kann wie folgt reduziert werden:

:.

Als ein Beispiel der Verminderungsregel, nehmen Sie der Ring von Polynomen mit vernünftigen Koeffizienten und nehmen Sie. Lassen Sie und seien Sie zwei Elemente dessen. Die Verminderungsregel, die durch f (X) gegeben ist, ist so

:

Beispiele

Die komplexen Zahlen

Denken Sie den polynomischen Ring R [x] und das nicht zu vereinfachende Polynom, das Der Quotient-Raum durch die Kongruenz Infolgedessen gegeben wird, die Elemente (oder Gleichwertigkeitsklassen) dessen sind von der Form, wo a und b R gehören. Um das zu sehen, bemerken Sie dass seitdem hieraus folgt dass usw.; und so, zum Beispiel

Die Hinzufügungs- und Multiplikationsoperationen werden durch das erste Verwenden gewöhnlicher polynomischer Hinzufügung und Multiplikation, aber dann das Reduzieren modulo, d. h. das Verwenden der Tatsache dass usw. gegeben. So:

::

Wenn wir uns damit identifizieren (a, b) dann sehen wir, dass Hinzufügung und Multiplikation durch gegeben werden

::

Wir behaupten, dass, als ein Feld ist der Quotient zu den komplexen Zahlen, C isomorph. Eine allgemeine komplexe Zahl ist der Form, wo a und b reelle Zahlen sind und Hinzufügung und Multiplikation durch gegeben werden

::Wenn wir uns damit identifizieren (a, b) dann sehen wir, dass Hinzufügung und Multiplikation durch gegeben werden::

Die vorherigen Berechnungen zeigen, dass sich Hinzufügung und Multiplikation derselbe Weg in und C benehmen. Tatsächlich sehen wir, dass die Karte zwischen und C, der dadurch gegeben ist, ein Homomorphismus in Bezug auf die Hinzufügung und Multiplikation sind. Es ist auch offensichtlich, dass die Karte sowohl injective als auch surjective ist; Bedeutung, die ein bijektiver Homomorphismus, d. h. ein Isomorphismus ist. Hieraus folgt dass, wie gefordert:

Kubikbeispiel

Lassen Sie K die rationale Zahl Feld Q und sein

:p (X) = X − 2.

Jede Wurzel von p kommt Zeiten ein gleich

Würfel-Wurzel der Einheit. Deshalb, wenn wir anzeigen, dass der Würfel einwurzeln lässt

der Einheit durch

:

: und

:

jedes Feld, das zwei verschiedene Wurzeln von p enthält, wird den Quotienten enthalten

zwischen zwei verschiedenen Würfel-Wurzeln der Einheit. Solch ein Quotient ist ein

primitive Würfel-Wurzel der Einheit - entweder oder

). Hieraus folgt dass

ein zerreißendes Feld L von p, wird enthalten

sowie die echte Würfel-Wurzel 2; umgekehrt, jede Erweiterung von

Q, diese Elemente enthaltend, enthält alle Wurzeln von p. So

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Andere Beispiele

• Ein zerreißendes Feld dessen ist; das Polynom hat keine Wurzeln in, d. h., 1 ist nicht ein Quadrat dort, weil 7 zu 1 (mod 4) nicht gleichwertig ist.
• Das zerreißende Feld dessen ist seitdem bereits Faktoren in geradlinige Faktoren.
• Lassen Sie das Grundfeld F = Z / 2Z, das Feld von zwei Elementen {0, 1}, und lassen Sie f (x) = x + x + 1. Es ist leicht nachzuprüfen, dass f (x) keine Wurzeln in F hat, folglich f (x) ist in F [x] nicht zu vereinfachend. Gestellter r = x + (f (x)) in F [x] / (f (x)) so F(r) ist ein Feld und x + x + 1 = (x + r) (x + Axt + b) in F(r) [x]. Bemerken Sie, dass wir + für schreiben können - da die Eigenschaft zwei ist. Der Vergleich von Koeffizienten zeigt dass = r und b = 1 + r. Die Elemente von F(r) können als c + Dr + er verzeichnet werden, wo c, d, e in F sind. Es gibt acht Elemente: 0, 1, r, 1 + r, r, 1 + r, r + r und 1 + r + r. Wenn wir diese in x + rx + 1 + r einsetzen, reichen wir (r) + r (r) + 1 + r = r + r + 1 + r = 0, seitdem r = r + 1 und r = r + r. Folglich x + Axt + b Faktoren in geradlinige Faktoren in F(r) [x] und E = ist F(r) ein zerreißendes Feld von x + x + 1 über F.

Siehe auch

• Bruch-Feld
• Dummit, David S., und Foote, Richard M. (1999). Abstrakte Algebra (2. Hrsg.). New York: Internationale Standardbuchnummer von John Wiley & Sons, Inc 0-471-36857-1.